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Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.1 Vorlesung Prozessidentifikation z-Transformation für zeitdiskrete Signale /

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Präsentation zum Thema: "Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.1 Vorlesung Prozessidentifikation z-Transformation für zeitdiskrete Signale /"—  Präsentation transkript:

1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.1 Vorlesung Prozessidentifikation z-Transformation für zeitdiskrete Signale / Bestimmung des Frequenzganges und Ortskurve aus der digitalisierten Sprungantwort / Identifizierung im Amplitudengang 15. Mai 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr Saarbrücken

2 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.2 z - Transformation Themen Herleitung der z-Transformation als Beschreibung des Übertragungsverhaltens von zeitdiskreten Signalen Definition der z-Transformation Korrespondenztabellen Beispiele

3 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.3 Digitalisierung kontinuierlicher Signale Abtastung:periodische Abtastung / Impulsfolge im Abstand Abtastzeit / Eingangssequenz für Prozessmodell Prozessmodell:Algorithmus / Errechnung der Ausgangssequenz Berechnung benötigt Bearbeitungszeit Tr Kern des Regelkreises / Prozessrechner Ausgangssequenz:Durch Modell entsteht modifizierte Signalfolge y d (kTo) -> u d (kTo)

4 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.4 Diskrete Systemantwort g(k) G(s) u(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 k=m Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem! Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge. Alternative Lösung durch Einführung und Anwendung der z- Transformation

5 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.5 Kontinuierliche vs. diskrete Systeme Kontinuierlichdiskret Faltung y(t) = u(t)g(t- )d y(m) = Σu(k)g(m-k) Übertragungs- Funktion Differential- gleichung G(s) U(s) Y(s) G(z) U(z) Y(z) Y(s) = G(s)U(s) Y(z) = G(z)U(z) d m y/dt m + a m-1 d m-1 y/dt m a 0 y = b n d n u/dt + b n-1 d n-1 u/dt n b 1 du/dt + b o u y(k+m) + a m-1 y(k+m-1) a o y(k) = b n u(k+n) + b n-1 u(k+n-1) b 1 u(k+1 + b o u(k)

6 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.6 Lineare zeitinvariante diskrete Systeme Lineares SystemSuperposition y 1 (n) = T[u 1 (n)] y 2 (n) = T[u 2 (n)] u(n) =a 1 u 1 (n) + a 2 u 2 (n) y(n) = T[u(n)] = a 1 T[u 1 (n)] + a 2 T[u 2 (n)] Zeitinvariantes SystemSystemreaktion ist unabhängig vom Startzeitpunkt der Anregung mit u(k) y(n) = T[u(n)] y(n-n o ) = T[u(n-n o )]

7 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.7 Differenzengleichung y(k+m) + a m-1 y(k+m-1) a o y(k) = u(k+n) + b n-1 u(k+n-1) b 1 u(k+1) + b o u(k) Beispiel: y(k+2) + a 1 y(k+1) + a o y(k) = b o u(k)Differenzgleichung 2. Ordnung y(k+2) = b o u(k) - a 1 y(k+1) - a o y(k)Zur Bestimmung von y(k+2) werden die Vorgänger y(k+1) und y(k) benötigt. Die Lösung der Gleichung erfordert Additions-, Multiplikations- und Speicherglieder (Speicherglied Integrator).

8 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.8 Graphische Darstellung für Differenzengleichungen

9 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.9 Berechnungsvorschrift Beispiel: Differenzgleichung 2. Ordnung: y(k+2) = b o u(k) - a 1 y(k+1) - a o y(k) Für k = 3 gilt:

10 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.10 Blockschaltbild Differenzengleichung 2. Ordnung

11 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.11 Beispiel Differenzengleichung 1. Ordnung y(k+1) = ay(k) + u(k) k = 0,1,2,3,.... Für k=0:y(1) = ay(0) + u(0)y(0) muß bekannt sein. Anfangsbedingung, unabhängig von Eingangssequenz u(k) Für k=1:y(2) = ay(1) + u(1) = a 2 y(0) +au(0) +u(1) Für k=2:y(3)= a 3 y(0) +a 2 u(0) + au(1) + u(2) Allgemein:y(k)= a k y(0) + Σu(j)a k-1-j Die Lösung besteht aus 2 Anteilen: a k y(0) Anfangsbedingung / homogener Teil Σu(j)a k-1-j Erzwungener Anteil, abhängig von Eingangssequenz j=0 j=k-1

12 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.12 Beispiel System 1. Ordnung Anregung mit u(k) = Δ(k) = 1 für k=0, sonst 0 y(k) = a k-1 für k>= 1 Gewichtsfolge für System 1. Ordnung Σu(j)a k-1-j Die Summe entspricht der zeitdiskreten Faltung von Eingangssequenz und Stoßantwort g(k) = a k-1. vgl. y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 k=m j=0 j=k-1

13 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.13 Einführung z-Transformation: g(k) G(s) u(k) y(k) Voraussetzung LTI-System ges: y(k) = f(g(k), u(k)) vgl. y(t) = f(g(t), u(t)) -> Y(s) = G(s) U(s) u(k) = u*(t) = Σu(kT) δ(t-kT) = u(0) δ(t) + u(T) δ(t-T) + u(2T) δ(t-2T) +... Transformation in den Frequenzbereich: U*(s) = u(0) 1 + u(T) e -sT + u(2T)e -s2T u(kT)e -skT = Σu(kT)e -skT Setzt man formal z = e sT so gilt: U(z) = Σu(kT)z -k {u(kT)} U(z) K=0 k= K=0 k=

14 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.14 z-Transformation Interpretationen der z-Transformation: Die z-Transformation beschreibt den Zusammenhang zwischen einer Zahlenfolge {u(kT)} und der Funktion U(z). Die Herkunft der Zahlen- folge ist unerheblich. Die z-Transformation kann als Spezialfall der Laplace- Transformation aufgefaßt werden u*(t) U*(s) = U(z) mit z=e sT ZeitkontinuierlichG(s) = Y(s)/U(s) DiskretG(z) = Y(z)/U(z) y(m) = Σu(k)g(m-k) Y(z) = U(z)G(z) Y(z) = Σy(m)z -m = Σz -m Σu(k)g(m-k) = Σz -m Σu(k)g(m)z -k = Σz -m g(m)Σu(k)z -k =G(z)U(z)

15 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.15 Korrespondenztabelle 1

16 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.16 Korrespondenztabelle 2

17 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.17 Beispiel Berechnung der z-Transformierten zur Folge u(k) = {1,1,1,1,1,1.....} mit k= 0,1,2,3,4,5,..... U(z) = Σu(k)z -k = Σz -k = 1 + 1/z + 1/z 2 + 1/z 3 + 1/z U(z) = lim Σu(k)z -k = lim{Σz -k } = 1 + 1/z + 1/z 2 + 1/z 3 + 1/z /z n zU(z) = zΣu(k)z -k = lim{zΣz -k } = z /z + 1/z 2 + 1/z 3 + 1/z /z n-1 U(z)(z-1) = lim(z-z -n ) = z -> U(z) = z/(z-1) K=0 k= K=0 k=n K=0 k=n K=0 k=n K=0 k= n->

18 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.18 Beispiel / Übung Gegeben ist u(k) = {1,1,1,1,1....} für k = 0, 1, 2, 3, 4,.... u(k) U(z) = z/(z-1) Rechtsverschiebung um eine Stelle:u(k-1) z -1 U(z) = 1/(z-1) Rechtsverschiebung um zwei Stellen:u(k-2) z -2 U(z) = 1/[z(z-1)] Linksverschiebung um eine Stelle:u(k+1) zU(z) – zu(0) = z 2 /(z-1) – z = z/(z-1) Linksverschiebung um zwei Stellen:u(k+2) z 2 U(z) – z 2 u(0) –zu(1) = z 2 /(z-1) – z 2 - z = z/(z-1)

19 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.19 Beispiel / Übung Differenzengleichung:y(k+2) = y(k+1)+y(k) z-Transformierte:z 2 Y(z) – z 2 y(0) - zy(1) = zY(z) - zy(0) + Y(z) Anfangsbedingungen:y(0) = 0; y(1) = 1 Y(z) = z/(z 2 -z-1)Polstellen bei z 1,2 = 0.5 (1± 5) Y(z)/z = 1/(z 2 -z-1) = A/(z-z 1 )+ B/(z-z 2 ) = Q(z) A = 1/ 5 und B = -1/ 5 Y(z) = A z/(z-z 1 ) + B z/(z-z 2 ) y(k) = A{1, z 1, z 1 2, z 1 3,...} + B{1, z 2, z 2 2, z 2 3,...} y(k) = {0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,.....}

20 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.20 Übertragungsfunktion Themen: Bestimmung des Frequenzganges aus der diskreten Sprungantwort eines LTI-Systems Berechungsgrundlagen Beispiele

21 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.21 Identifikation für diskrete Systemantwort g(k) G(s) u(k) y(k) y(m) = Σu(k)g(m-k) K=0 k=m Die Eingangsfolge und Ausgangsfolge sind bekannt. Gesucht ist die Gewichtsfolge des Übertragungssystem! Rückschluß der gemessenen Folge y(k) und u(k) auf die Gewichtsfolge. Neue Problemstellung/Ausgangssituation: Digitalisierte Sprungantwort (äquidistante Zeitabstände) Quantisierte Funktionswerte LTI-System Interpolation der Werte für den Zeitbereich außerhalb der Abtastung durch Geradenstücke Gesucht: Frequenzgang / Ortskurve / Real- und Imaginärteil

22 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.22 Lösungsansatz / Interpolation ~ ~ ~ Interpolation durch Geradenstücke: y(t) = y 0 + (y 1 -y 0 )/(t 1 -t 0 ) t σ(t)für 0<= t < t 1 1. Intervall y(t) = y 1 + (y 2 -y 1 )/(t 2 -t 1 ) (t-t 1 ) σ(t-t 1 )für t 1 <= t < t 2 2. Intervall y(t) = y 2 + (y 3 -y 2 )/(t 3 -t 2 ) (t-t 2 ) σ(t-t 2 )für t 2 <= t < t 3 3. Intervall

23 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.23 n-tes Intervall: y(t) = y n-1 + (y n -y n-1 )/(t n -t n-1 ) (t-t n-1 ) σ(t-t n-1 )für t n-1 <= t < t n Approximation der Sprungantwort (1. und 2. Intervall): y(t) = y 0 + (y 1 -y 0 )/(t 1 -t 0 ) t σ(t) y(t 1 ) = y 0 + (y 1 -y 0 )/(t 1 ) t 1 = y 1 Für t 1 t< t 2 Kompensation 1. Approximation y(t) = y 0 + (y 1 -y 0 )/T t σ(t) - (y 1 -y 0 )/T (t-t 1 ) σ(t-t 1 ) + (y 2 -y 1 )/T (t-t 1 ) σ(t-t 1 ) Verallgemeinerung Interpolation ~ y0y0 y1y1 y2y2 t1t1 t0t0 t2t2 ~ ~ ~

24 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.24 Frequenzgang und Ortskurve Damit ergibt sich: G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω)) Beispiel: Sprungantwort Zeittakt / Abtastung 20 s / Abtastfrequenz 1/T = 0,05 s -1 Systemverhalten zeigt PTx-Verhalten Ortskurve: Darstellung Imaginärteil über Realteil PT1-Glied: Ortskurve Halbkreis in IV. Quadranten ~ ~ ~

25 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.25 Verallgemeinerung Interpolation Damit ergibt sich als Approximation für das 2. Intervall: y(t) = y 0 + (y 1 -y 0 )/T t σ(t) + [y 2 -2y 1 +y 0 ]/T (t-t 1 ) σ(t-t 1 ) Formelmäßige Beschreibung der Approximation für den kompletten Zeitbereich: y(t) = y 0 + (y 1 -y 0 )/T t σ(t) + [y 2 -2y 1 +y 0 ]/T (t-t 1 ) σ(t-t 1 ) [(y k+1 -y k )/(t k+1 -t k ) – (y k -y k-1 )/(t k -t k-1 )](t-t k ) σ(t-t k ) [(y n+1 -y n )/(t n+1 -t n ) – (y n -y n-1 )/(t n -t n-1 )](t-t n ) σ(t-t n ) ~ ~ Δyo/Δt(y 2 -2y 1 -y 0 )/Δt =Δy 1 /Δt (y k+1 -2y k -y k-1 )/Δt =Δy k /Δt (y n+1 -2y n -y n-1 )/Δt =Δy n /Δt

26 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.26 Verallgemeinerung Interpolation Damit ergibt sich folgende vereinfachte Schreibweise: y(t) = y 0 + Σ Δy k /Δt (t-t k ) σ(t-t k ) mit Δy 0 = (y 1 -y 0 )/T; Δy 1 = (y 2 -2y 1 +y 0 )/T; Δy k = (y k+1 -2y k +y k-1 )/T Zwischenresultat: Approximation der diskreten Sprungantwort (Systemantwort) durch eine kontinuierliche Funktion in Form von Geradenstücken Erhöhung der Genauigkeit durch Reduzierung T und Quantisierung Basis für die Anwendung der Laplace-Transformation ~ k=0 N

27 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.27 Anwendung der Laplace-Trans- formation für Approximation y(t) = y 0 + Σ Δy k /Δt (t-t k ) σ(t-t k ) Transformation: Y(s) = y 0 /s + Σ Δy k /Δt 1/s 2 e -skΔt Damit ergibt sich für die Übertragungsfunktion G(s) bei Anregung mit einer Sprungfunktion U(s) = u 0 /s: G(s) = Y(s)/U(s) = y 0 /u 0 + 1/u 0 Σ Δy k /Δt 1/s e -skΔt ~ k=0 N ~ ~ N ~ N

28 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.28 Ermittlung des Frequenzganges / Ortskurve Durch Ersetzen von s -> jω erhält man aus der Übertragungsfunktion den Frequenzgang und Ortskurve: G(jω) = Y(jω)/U(jω) = 1/u 0 [ y 0 + Σ Δy k /Δt 1/jω e -jωkΔt ] =1/u 0 [ y 0 –j/(ωΔt) Σ Δy k e -jωkΔt ] =1/u 0 [ y 0 –j/(ωΔt) Σ Δy k {cos(ωkΔt) - j sin(ωkΔt)} Ermittlung des Real- und Imaginärteils: Re(G(jω)) = 1/u 0 [ y 0 +j 2 /(ωΔt) Σ {Δy k sin(ωkΔt)}] = 1/u 0 [ y 0 - 1/(ωΔt) Σ {Δy k sin(ωkΔt)}] Im(G(jω)) = -1/u 0 [ 1/(ωΔt) Σ {Δy k cos(ωkΔt)}] k=0 N N N ~ ~ ~

29 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.29 Beispiel Sprungantwort

30 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.30 Ortskurve

31 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.31 Ortskurve bis ω = 0,08 s -1

32 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.32 Weitere Beispiele Totzeitglied ideal / real

33 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.33 Ortskurve reales Totzeitglied

34 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.34 Weitere Beispiele DT1-Glied

35 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.35 Ortskurve Sprungfunktion mit negativer Flanke (DT1-Glied)

36 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.36 Weiteres Beispiel Allpaß-Glied

37 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.37 Ortskurve Allpaß-Glied

38 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.38 Thema Identifizierung im Amplitudengang Amplituden- und Frequenzgang: Ausgangssituation G(jω) in Form der Ortskurve (Real- und Imaginärteil) Bestimmung des Amplitudenganges durch Betragsbildung von G(jω) Bestimmung des Phasenganges durch Phasenbildung φ(jω) aus arctan-Bildung aus Imaginär- und Realteil G(jω) = Re(G(jω)) + j Im(G(jω)) ~ ~ ~ Amplitudengang:A(ω) [dB] = 20 log|G(jω)| Phasengang: φ(ω) = arctan{Im[G(jω)]/[ReG(jω)] }

39 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.39 Identifizierung aus dem Amplitudengang

40 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 5.40 Bewertung Identifizierung nur über Amplitudengang: Keine Berücksichtigung des Phasenganges Annahmen nur minimalphasige Systeme Keine Berücksichtigung z.B. von Totzeiteinflüssen (Betrag = 1) Kein Beitrag zum Amplitudengang Alternative Verfahren sind bekannt (nicht Bestandteil dieser Vorlesungsreihe).


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