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Energiebänder im Festkörper. Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit.

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Präsentation zum Thema: "Energiebänder im Festkörper. Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit."—  Präsentation transkript:

1 Energiebänder im Festkörper

2 Inhalt Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit Das Bändermodell für –Isolator –Halbleiter –Leiter

3 Freies Atom Energieniveaus eines freien Atoms nach dem Bohrschen Atommodell –Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms

4 Energie der Elektronen mal 0,0529 [nm] Abstand vom Kern Bindungsenergie K, n=1 M, n=3 L, n=2

5 Energieaufspaltung bei Annäherung von zwei Atomen K, n=1 M, n=3 L, n=2

6 Kristalline Festkörper Link zu einem Periodensystem mit Information zur Struktur::

7 Elektronen in kristallinen Materialien Die Elektronen der dicht gepackten Atome werden als ein einziger gebundener Zustand aufgefasst Anstelle der lokalisierten Elektronen treten stehende Wellen im Kasten –Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten Kastenlänge Anstelle der Energie der Elektronen in Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

8 1/m Wellenzahlen die in den Kasten passen 1 J Energie zur Welle mit Quantenzahl n Wellenzahl und Energie Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ? Folgt aus der Lösung der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

9 Wellenfunktionen für k=1,2,3,4 Energie E n Quantenzahl n Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Elektrons in einem Kasten für n=1,2,3,4. Die Farbstärke ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in Bereich der Abszisse anzutreffen W 4 =16W 3 =9W 2 =4W 1 =1 Umrechnung der Einheiten des Modells auf atomare Größen: x = 4 0,17 nm, W = 1 13,6 eV

10 Das Elektronengas Der Kristall bildet den Kasten, die Elektronen im Kristall werden als Wellen darin untergebracht

11 Eigenschaften der Elektronen im Kristall Es gilt die de Broglie-Beziehung: Eine Welle mit Wellenzahl k entspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k Elektronen sind Fermionen: Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden Daraus folgt das Bauprinzip: Der Festkörper (zunächst: lineare Kette) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen Man beginnt mit der Wellenzahl k 1 = π/L und ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu Man erhöhe die Wellenzahl bis k N = N·π/L

12 Energie W Energie der Elektronen im freien He-Atom K L Energie- niveau des freien Atoms

13 Energie W Energie der Elektronen bei Annäherung von zwei Helium Atomen K L Energie- niveau des freien Atoms 2-fach Aufspaltung durch Kopplung an die Elektronen des Nachbar- Atoms

14 Energie W Energie der Elektronen im Helium Kristall aus vier Zellen K L Energie- niveau des freien Atoms 4-fach Aufspaltung durch Kopplung an 4 Atome im Kristallgitter

15 Energie W Elektronen Dichte Wellen im Helium Kristall aus vier Zellen K L Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt Wellenzahl n

16 Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen: Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen Kristall aus He-Atomen Kristall aus Li-Atomen Besetzung mit Atomen Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen 5,6,7,8

17 Energie W Energie der Elektronen im freien Li-Atom K L

18 Energie W Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen K L Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Wellenzahl n

19 Energie W Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen Energetisch optimiert K L Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Wellenzahl n

20 Energie W Freie Energieniveaus im Lithium Kristall aus vier Zellen K L Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt Band L ist mit N Zuständen halb besetzt Diese Elektronen können Energie aufnehmen: metallische Leitung

21 Energie W Bei vielen Zellen bilden die N (Anzahl der Zellen) Niveaus praktisch ein Kontinuum n=1 n=2

22 Zusammenfassung In dicht gepackten Kristallen erscheinen die Valenzelektronen aufgrund ihrer dichten Packung als quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet –Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im Kasten –Elektronen sind Fermionen: Jeder Zustand kann nur einmal vergeben werden –Ein Band enthält 2 N Zustände, N ist die Anzahl der Elementarzellen im Kristall

23 Energie W finis n=1 n=2


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