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5. Elektronenhüllen der Atome 5.1. Symmetrie von Wellenfunktionen Atomkern: Z Ordnungszahl Zahl der Protonen A Massenzahl Zahl der Nukleonen A Z Zahl der.

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1 5. Elektronenhüllen der Atome 5.1. Symmetrie von Wellenfunktionen Atomkern: Z Ordnungszahl Zahl der Protonen A Massenzahl Zahl der Nukleonen A Z Zahl der Neutronen Atomhülle: Z Ordnungszahl Zahl der Elektronen Die Z Protonen, A Z Neutronen und Z Elektronen sind jeweils identische, d. h. prinzipiell ununterscheidbare Fermionen, genauer Spin-½-Teilchen. Beispiel: Heliumatom, Z 2, A 4 e e n n p p He-Kern Gesamtspin 0

2 Hüllen-Wellenfunktion: Stationäre Schrödingergleichung: e e n n p p M Kern kinetische Energie der Elektronen potentielle Energie der e im Kernfeld Wechselwirkungs- Energie der e faktorisiertes Problem zweier unabhängiger e ( jeweils wie H-Atom) Korrektur (i. a. groß) Erfolgreicher Näherungsansatz: Die e bewegen sich unabhängig in effektivem Kernpotential (Kern, jeweils abgeschirmt durch übrige e ).

3 Ununterscheidbarkeit der Elektronen Symmetrie des Hamilton-Operators unter Teilchen-Vertauschung Formalismus hierzu Permutationsoperator Definition: Im Spezialfall einer Zweiteilchen-Wellenfunktion wird der Permutationsoperator wie folgt definiert: Folge: e e n n p p M Kern

4 Das Spiel mit : Sei beliebig. Eigenwert p p 1 symmetrisch p 1 antisymmetrisch ununterscheidbar Folgerung (vgl. Theorie-VL): Die Eigenfunktionen von können so gewählt werden, dass sie auch gleichzeitig Eigenfunktionen von sind. Der Eigenwert von ist dann eine Konstante der Bewegung.

5 Empirische Tatsache:Die Natur realisiert sogar in einem beliebig großen System identischer Teilchen lediglich die total (anti-)symmetrischen Wellenfunktionen. Total bzgl. Vertauschung beliebiger zwei Teilchen.

6 5.2. Das Pauli-Prinzip Konstruktion der Helium-Wellenfunktion Faktorisierungsansatz: Räumliche Operatoren (,, ) wirken nur auf,. Spinoperatoren (,,,, ) wirken nur auf,. Ungestörte Schrödingergl. enthält keine Spin-abhängigen Terme. e e n n p p M Kern

7 Ortswellenfunktion: : 3 3 Spinwellenfunktion: Linearkombination der Basiszustände z.B. Produktbasis der Einzelspin-Räume Bezeichnung:Spin up Spin down e e n n p p M Kern

8 Passende Spinwellenfunktionen für Störung durch Spin-Spin-WW? Analogie: Spin-Bahn-Kopplung Erhaltungsgröße Gesamtspin Nomenklatur: Einzelelektronen Mehrelektron-Systeme

9 S 0 Parahelium ( Singulett)S 1 Orthohelium ( Triplett) antisymmetrischsymmetrisch Beweis: Tafelrechnung bzw. Vorlesung QM II

10 Die Ortswellenfunktion : Elektronen sind im effektiven Kernpotential unabhängig (Korrektur Störung) und und daher auch sind symmetrisch oder antisymmetrisch Quantenzahlen: ( n,, m ) ( n,, m ) Folgerung: Faktorisierte und (anti-)symmetrisierte Ortswellenfunktion

11 Nomenklatur: Konfiguration symmetrisch ( 1 s ) 2 Ortswellenfunktion des Grundzustandes:

12 Zusammenfassung: Gesamtwellenfunktion des Helium-Grundzustands Parahelium ( Singulett)Orthohelium ( Triplett) antisymmetrischsymmetrisch Identifizierung des Tripletts Aufspaltung in drei Linien durch ee-WW n 1 n 2 E L 0L 1L 0L 1 antisymmetrisch symmetrisch in der Natur nicht realisiert

13 Verallgemeinerung: Pauli-Prinzip: a)Identische Teilchen mit halbzahligem Spin (Fermionen) werden durch eine total antisymmetrische Wellenfunktion beschrieben. Sie unterliegen der Fermi-Dirac-Statistik. Zwei identischen Fermionen können nie identische QZ haben. Jeder Quantenzustand eines Systems identischer Fermionen ist entweder unbesetzt oder von genau einem Fermion besetzt. b)Identische Teilchen mit ganzzahligem Spin ( Bosonen ) werden durch eine total symmetrische Wellenfunktion beschrieben. Sie unterliegen der Bose-Einstein-Statistik. entspricht den empirischen Erkenntnissen beweisbar im Rahmen der Quantenfeldtheorie ( Spin-Statistik-Theorem)

14 5.3. Das Periodensystem der Elemente Atomare Grundzustände:Elektronen gehorchen Pauli-Prinzip Energie der Elektronen ist minimal Maximale Besetzungszahl einer Schale: Teilwellenfkt. einer vollen Schale: 2 kugelsymmetrisch 2 groß in Kernnähe Schale sehr stark an Kern gebunden Unterschalen: Teilsystem aller Elektronen zu festen (n, ) 1 s, 2 s, 2 p, Voll besetzt ebenfalls stark gebunden Elektronenschale: Teilsystem aller Elektronen zu festem n n 1: K-Schale n 2: L-Schale n 3: M-Schale

15 Folgerung: Die äußeren Elektronen ( Valenzelektronen) bewegen sich im Potential des Kerns, abgeschirmt durch die inneren stark gebundenen (Unter-)Schalen. Diese Valenzelektronen sind am leichtesten vom Kern zu trennen und bestimmen die chemischen Eigenschaften des Atoms.

16 Abfüllreihenfolge der Zustände: leicht unregelmäßig wegen ee-WW Hundsche Regel: Im Grundzustand eines Atoms hat der Gesamtspin den größten mit dem Pauliverbot vereinbaren Wert. Grund: Spin maximal Spinwellenfunktion maximal symmetrisch Ortswellenfunktion maximal antisymmetrisch Elektronen räumlich maximal separiert Wechselwirkungsenergie der Elektronen minimal

17 Identische äußere Elektronenkonfiguration ähnliche Chemie Beispiele: Edelgase: (1s) 2 bzw. (n s) 2 (n p) 6 stark gebunden chemisch inert hohe Ionisierungsenergie kleines Atomvolumen Alkalimetalle: (n s) 1 schwach gebunden chemisch aktiv kleine Ionisierungsenergie großes Atomvolumen

18 inertreaktiv Übergangselemente Innere Übergangselem. Lanthaniden (seltene Erden) Innere Übergangselem. Actiniden

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21 Atomvolumina vs. Z Ionisierungsenergie vs. Z

22 Chemische Eigenschaften äußere (s bzw. p) Elektronen Systematik in Eigenschaften der Atome: Periodensystem der Elemente (Mendelejev & Meyer, ) Gruppe Periode 1 7 IIIIIIIVVVIVIIVIII AlkalimetalleErdalkalimetalle Bor-Hauptgruppe Kohlenstoff-Hauptgruppe Stickstoff-Hauptgruppe Sauerstoff-Hauptgruppe HalogeneEdelgase

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