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1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS 2005 1.März 2005. 2 Literatur Bleymüller, Gehlert, Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, Verlag Vahlen Hartung:

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1 1 STATISIK LV Nr.: 1375 SS März 2005

2 2 Literatur Bleymüller, Gehlert, Gülicher: Statistik für Wirtschaftswissenschaftler, Verlag Vahlen Hartung: Statistik. Lehr- und Handbuch der angewandten Statistik, Oldenburg Verlag München Wien

3 3 Einführung Statistik: Abgeleitet vom neulateinischen Begriff status (Bed.: Staat, Zustand) 18. und 19. Jhdt: Lehre von der Zustandsbeschreibung des Staates (Sammeln und verbales oder numerisches Beschreiben von Daten) Heute: im doppelten Sinne gebraucht –Quantitative Informationen (z.B. Bevölkerungsstatistik) –Formale Wissenschaft

4 4 Einführung Statistik befasst sich mit –Erhebung (Sammeln von Daten. Wie kommt man zu der benötigten Information?) –Aufbereitung (Präsentation; Reduktion von Daten, wobei ein Großteil der Information erhalten bleiben soll; wenige Kenngrößen; einfache Grafiken) –Analyse (Welche Schlüsse kann man ziehen? Allgemeine Aussagen basierend auf Stichproben?) von (numerischen) Daten.

5 5 Einführung Warum Statistik? –Entscheidungshilfe z.B. 2 verschiedene Produkte – welches soll am Markt eingeführt werden? –Tieferes Verständnis bei Problemen z.B. Welche Faktoren beeinflussen die Kaufentscheidung? Richtung des Einflusses?

6 6 Einführung Wie Statistik? –Planung (Untersuchungsziel, Organisation,...) –Erhebung Befragung (schriftlich, mündlich) Beobachtung (in Wirtschaftswissenschaften selten) Experiment (v.a. Naturwissenschaften) Automatische Erfassung (z.B. Scannerkassen) –Aufbereitung (Verdichtung der Daten) –Analyse (deskriptive u. induktive Methoden) –Interpretation

7 7 Deskriptiv - Induktiv Deskriptive Statistik beschreibende Statistik Beschreibung und Zusammenfassung Darstellung von Daten (Tabellen u. Grafiken) Kennzahlen (z.B. Mittelwerte, Streuungs- maße) Induktive Statistik schließende Statistik Von Stichproben auf Grundgesamtheiten Schätzer Tests Entscheidungstheorie Multivariate Methoden

8 8 Statistische Daten Von Interesse sind nie einzelne elementare Objekte (statistische Einheiten, Elemente) sondern immer Mengen von Elementen (statistische Gesamtheiten, statistische Massen). –Reale und hypothetische Gesamtheiten z.B. Bevölkerung eines Staates, Menge der Ergebnisse eines theoretisch fortlaufend ausgespielten Würfels –Endliche und unendliche Gesamtheiten

9 9 Statistische Daten Bestandsmassen (Streckenmassen): –Objekte mit Lebensdauer –Werden zu einem Zeitpunkt erfasst –z.B. Einwohner Österreichs am , Lagerbestand am Bewegungs- oder Ereignismassen (Punktmassen) –Ereignisse –Werden innerhalb einer Zeitspanne erfasst –z.B. Geburten in Österreich im Jahr 2004, bei einer Bank eingegangene Schecks im April 2004

10 10 Statistische Daten Beziehung Bestands- und Bewegungsmasse: Für jedes Element einer Bestandsmasse stellt der Beginn und das Ende der Existenz ein Ereignis dar Fortschreibungsformel: Anfangsbestand + Zugang – Abgang = Endbestand BestandsmasseBewegungsmasse

11 11 Statistische Daten Angehörige der Massen: Merkmalsträger / Beobachtungseinheit (Personen, Objekte) Erhoben werden Werte von Merkmalen / Variablen (Merkmalsausprägungen) der Merkmalsträger (statistische) Population: Gesamtheit aller Beobachtungseinheiten Bsp: Haarfarbe = Merkmal, Person X = Merkmalsträger, blond = Merkmalsausprägung des Merkmals Haarfarbe des Merkmalsträgers X

12 12 Datenerhebung Vollerhebung Es werden Daten von allen Elementen der Population erhoben. Stichprobenerhebung Es werden Daten von einer Teilmenge (Stichprobe) der Population erhoben.

13 13 Datenerhebung Messen von Merkmalsausprägungen Kriterien für Messungen: –Objektivität das zu ermittelnde Merkmal wird eindeutig festgestellt, Ergebnis ist unabhängig von der Person die misst –Validität (Gültigkeit) Messinstrument misst was es messen soll –Reliabilität (Zuverlässigkeit) Ergebnis der Messung wird exakt festgestellt, bei mehrmaligem Messen (approximativ) gleiches Ergebnis

14 14 Statistische Merkmale Qualitative Merkmale –Messen durch Klassifikation (z.B. Geschlecht) Quantitative Merkmale –Messen durch Zählen (z.B. Alter, Körpergröße) Diskrete Merkmale –Messen mit ganzen Zahlen (z.B. Anzahl Familienmitglieder) Stetige Merkmale –Messen mit reellen Zahlen (z.B. Körpergröße)

15 15 Merkmalsskalen Nominalskala –Werte unterliegen keiner Rangfolge und sind nicht vergleichbar (z.B. Farbe, Geschlecht,...) Ordinalskala –Werte unterliegen einer Rangfolge, Abstände zw. verschiedenen Ausprägungen lassen sich nicht interpretieren (z.B. Schulnoten, Güteklassen,...) Intervallskala –Rangfolge, Abstände zw. verschiedenen Ausprägungen sind interpretierbar (z.B. Temperatur in Grad Celsius, Kalenderzeitrechung,...) Verhältnisskala –Rangfolge, interpretierbare Abstände, absoluter Nullpunkt (z.B. Körpergröße, Alter)

16 16 Merkmalsskalen Zulässige Transformationen (informationserhaltend) Nominalskala: symmetrische Transformationen nur Änderung der Klassenbezeichnungen Ordinalskala: streng monotone Transformationen x * =f(x) so dass für x 1 < x 2 auch x 1 * < x 2 * Intervallskala: lineare Transformationen x * =ax + b (a > 0) Verhältnisskala: Ähnlichkeitstransformationen x * =ax (a > 0)

17 17 Empirische Verteilungen Häufigkeitsverteilung Beobachtete Daten, n Untersuchungseinheiten, Merkmal X k Merkmalsausprägungen (x 1,..., x k ) j-te Untersuchungseinheit (j=1,...,n), Ausprägung x i (i=1,...,k) Liste der beobachteten Merkmalsaus- prägungen: Beobachtungsreihe oder Urliste

18 18 Empirische Verteilungen Absolute Häufigkeiten: h i = Anzahl der Elemente, welche Merkmalsausprägung x i besitzen, i=1,...,k h i [0,n] und Σ i h i = n (i=1,...,k) Relative Häufigkeit: f i = 1/n·h i f i [0,1] und Σ i f i = 1 (i=1,...,k) Vorsicht: Anzahl der möglichen Werte oft Anzahl der tatsächlichen Werte

19 19 Empirische Verteilungen Diskrete Merkmale: Einzelwerte Stetige Merkmale: Klasseneinteilung In beiden Fällen werden Häufigkeiten gezählt. Sind x i Zahlen, werden sie ansteigend geordnet.

20 20 Darstellungsformen Tabelle Häufigkeitsverteilung

21 21 Darstellungsformen Grafik: Balkendiagramm für absolute und relative Häufigkeiten gleich – Skalierung der y-Achse

22 22 Darstellungsformen Grafik: Histogramm

23 23 Darstellungsformen Balkendiagramm: Abstand zwischen den Balken. Die Höhe stellt die Häufigkeit dar. Histogramm: Kein Abstand zwischen den Balken. Bei ungleich breiten Klassen ist die Fläche – nicht die Höhe – Maß für die Häufigkeit. Die Balkenhöhe entsteht durch Division von Häufigkeit und Klassenbreite (Höhe=h i /b i ).

24 24 Darstellungsformen Tortendiagramm

25 25 Darstellungsformen Stetige Merkmale: Klassen bilden Klassengrenzen: x 0, x 1,..., x k Häufigkeiten h i : Anzahl der Werte zwischen x i-1 und x i. Liegt ein Wert genau auf der Klassengrenze, wird er üblicherweise der unteren Klasse zugerechnet

26 26 Summenhäufigkeitsfunktion Absoluten Summenhäufigkeiten H i : –Fortlaufende Summierung (Kumulierung) der absoluten Häufigkeiten. –H i Anzahl der Elemente mit Merkmalswert x i. –H i = h 1 +h h i = Σ j h j für j=1,...,i und i=1,...,k Relative Summenhäufigkeiten F i : –Fortlaufende Summierung der relativen Häufigkeiten. –F i = f 1 +f f i = Σ j f j für j=1,...,i und i=1,...,k –F i = H i /n für i=1,...,k

27 27 Summenhäufigkeitsfunktion Häufigkeiten aus Summenhäufigkeiten berechnen: h i = H i – H i-1 (i=1,...,k) f i = F i – F i-1 (i=1,...,k) wobei H 0 = F 0 = 0

28 28 Summenhäufigkeitsfunktion Summenhäufigkeitsfunktion - empirische Verteilungsfunktion F(x) - wird aus Summenhäufigkeiten bestimmt. F(x) gibt den Anteil der Elemente mit einem Merkmalswert x an. 0 für x < x 1 F(x) = F i für x i x < x i+1 (i=1,...,k-1) 1 für x x k

29 29 Summenhäufigkeitsfunktion Diskrete Merkmale

30 30 Summenhäufigkeitsfunktion Stetige Merkmale

31 31 Maßzahlen Parameter, Kollektivmaßzahlen Lageparameter (Mittelwerte) Streuungsparameter (Variabilitätsmaße, Variationsmaße) Schiefe Wölbung

32 32 Lagemaße und Mittelwerte Eigenschaften: –Liegen zwischen Minimum und Maximum der Daten –Wenn alle Daten derselben linearen Transformation unterworfen werden, macht auch das Lagemaß diese Transformation mit Harmonisches und geometrisches Mittel sind keine Lagemaße im strengen Sinn

33 33 Lagemaße und Mittelwerte Arithmetisches Mittel Median Modus Geometrisches Mittel Harmonisches Mittel Quantile

34 34 Arithmetisches Mittel Mittelwert, durchschnittlicher Wert. Für metrisch skalierte Merkmale. a 1,...,a n beobachtete Merkmalswerte eines Merkmals X

35 35 Arithmetisches Mittel Eigenschaften (Betrachte Einzelwerte a i (i=1,...,n)): Summe der Abweichungen der Einzelwerte von ihrem arithmetischen Mittel = 0 Summe der quadrierten Abweichungen der Einzelwerte von ihrem arithmetischen Mittel ist kleiner als von einem beliebigen anderen Wert

36 36 Arithmetisches Mittel Das arithmetische Mittel unterliegt der gleichen linearen Transformation wie die Einzelwerte Lineare Transformation: Arithmetische Mittel von zwei oder mehr Teilgesamtheiten:

37 37 Arithmetisches Mittel Gewogenes (gewichtetes) arithmetische Mittel Gewichte w 1,..., w n mit 0 w i 1 und Σ i w i =1 Für w 1 =...= w n =1/n ergibt sich das gewöhnliche arithmetische Mittel

38 38 Median Median (Zentralwert): mindestens 50% der Beobachtungen a i nehmen eine Wert größer oder gleich bzw. kleiner oder gleich dem Median an. Sind a 1... a n der Größe nach geordnet, ist der Median x̃ 0,5 : x ((n+1)/2) n ungerade x̃ 0,5 = ½(x (n/2) +x (n/2+1) ) n gerade

39 39 Median Häufigkeitsverteilung: Median ist diejenige Merkmalsausprägung, bei der die Summenhäufigkeitsfunktion den Wert 0,5 überschreitet. Klassifizierte Daten: Der Median liegt in der Klasse, in der die Summenhäufigkeitsfunktion den Wert 0,5 erreicht.

40 40 Modalwert Modalwert (Modus, häufigster Wert, dichtester Wert): Gibt die Ausprägung an, die die größte Häufigkeit in der Beobachtungsreihe besitzt. Für nominal skalierte Daten geeignet. Es gilt: h(x mod ) h(x i ) für alle Merkmalsausprägungen x i,...,x k. Klassifizierte Daten: Modalwert ist definiert als Klassenmitte der am dichtesten besetzten Klasse.

41 41 Geometrisches Mittel Voraussetzung: Daten verhältnisskaliert n Einzelwerte a 1,..., a n Merkmalsausprägungen relative Änderungen (z.B. Lohnerhöhung in %) Geometrisches Mittel:

42 42 Geometrisches Mittel Gewogenes (gewichtetes) geometrische Mittel Gewichte w 1,..., w n mit 0 w i 1 und Σ i w i =1 Für w 1 =...= w n =1/n ergibt sich das gewöhnliche geometrische Mittel

43 43 Harmonisches Mittel Beobachtungswerte a 1,...,a n Gewogenes harmonisches Mittel Gewichte w 1,..., w n mit 0 w i 1 und Σ i w i =1 Für w 1 =...= w n =1/n ergibt sich das gewöhnliche harmonische Mittel

44 44 Mittel Vergleich arithmetische- geometrisches- und harmonisches Mittel: Bei positiven Beobachtungswerten a 1,...,a n gilt stets die Beziehung Bei identischen Beobachtungen a 1 =...=a n sind die Mittel gleich.

45 45 Quantile Geordnete Beobachtungsreihe a (1)... a (n) α-Quantil a (k) falls n·α keine ganze Zahl (k ist die auf n·α folgende ganze Zahl) ã α = 1/2 (a (k) +a (k+1) ) falls n·α ganze Zahl k=n·α Spezielle Quantile: –Median = 0,5-Quantil –Unteres Quartil = 0,25-Quantil –Oberes Quartil = 0,75-Quantil


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