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1 Geometrische Algebra (GA) Werner Benger, 2005. 2.

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1 1 Geometrische Algebra (GA) Werner Benger, 2005

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3 3 Abgeschlossene Vektoralgebra? Invertierbares Produkt von Vektoren? Was bedeutet Vektordivision a/b ? ab=C b=a -1 C Beachte: C nicht notwendigerweise Vektor! Inneres Produkt (nicht assoziativ): a b Skalar Nicht invertierbar Nicht invertierbar z.B. a b =0 mit a0, b0 aber orthogonal Äusseres Produkt (assoziativ): a b Bivektor Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3D: a b Verallgemeinertes Kreuzprodukt des 3D: a b Nicht invertierbar Nicht invertierbar z.B. a b =0 mit a0, b0 aber parallel Multiplikation von Vektoren

4 4 Bivektoren a b Beschreibt die durch a und b aufgespannte Fläche, Vorzeichen ist Orientierung a b b a = -a b Definiert in beliebigen Dimensionen, antisymmetrisch ( nicht kommutativ), assoziativ, distributiv, benötigt keine weitere Struktur Multiplikation von Vektoren

5 5 Konstruktion von Bivektoren Kein eindeutiger Rückschluss auf erzeugende Vektoren möglich a b = (a+λb) b a+λba+λba+λba+λb b = = b b =0 b b =0 Basiselement |a| |b| sin |a| |b| sin Multiplikation von Vektoren

6 6 Bivektoren im R 3 3 Basiselemente e x e y, e y e z, e z e x Erweiterung: e x e y e z ist Volumen Multiplikation von Vektoren

7 7 Anforderung an das Geometrische Produkt Für Elemente A,B,C eines Vektorraumes mit quadratischer Form Q(v) auf Vektoren v soll gelten: 1. Assoziativ: (AB)C = A(BC) 2. Links-distributiv: A(B+C) = AB+AC 3. Rechts-distributiv: (B+C)A= BA+CA 4. Skalarprodukt: a 2 = Q(a) 1 |a| 2 Das Geometrische Produkt

8 8 Eigenschaften des GP Satz von Pythagoras: |a+b| 2 = |a| 2 +|b| 2 |a+b| 2 = |a| 2 +|b| 2 (A+B)(A+B) = A 2 + B 2 (A+B)(A+B) = A 2 + B 2 =AA+AB+BA+BB =AA+AB+BA+BB AB = -BA für A B = 0 antisymm. wenn orthogonal AB = -BA für A B = 0 antisymm. wenn orthogonal Jedoch: nicht rein antisymmetrisch wegen |AB| 2 =|A| 2 |B| 2 für A B = 0 (d.h. A,B colinear: B= A) Das Geometrische Produkt

9 9 Geometrisches Produkt William Kingdon Clifford ( ): Zusammenlegen von innerem und äusserem Produkt zu geometrischem Produkt AB (1878): AB := A B A B Ergebnis kein Vektor, sondern Skalar + Bivektor! Operiert auf Multivektoren Untermenge der Tensoralgebra Geometrisches Produkt ist invertierbar! Das Geometrische Produkt

10 10 Multivektorkomponenten R 2 : A = A 0 + A 1 e 0 + A 2 e 1 + A 3 e 0 e 1 R 3 : A = A 0 A 0+ A 1 e 0 + A 2 e 1 + A 3 e 2 + A 4 e 0 e 1 +A 5 e 1 e 2 +A 6 e 0 e 2 + A 7 e 0 e 1 e 2 A 7 e 0 e 1 e 2 Struktur von Multivektoren …

11 11 Struktur von Multivektoren Linearkombination antisymm. Potenzen - 2 n Komponenten 0D 1 Skalar 1D 1 Skalar, 1 Vektor 2D 1 Skalar, 2 Vektoren, 1 Bivektor 3D 1 Skalar, 3 Vektoren, 3 Bivektoren, 1 Volumen 4D 1 Skalar, 4 Vektoren, 6 Bivektoren, 4 Volumen, 1 Hypervolumen 5D … Struktur von Multivektoren

12 12 Umkehrung Vektoren a,b: a b = ½ (ab + ba) symmetrischer Anteil a b = ½ (ab + ba) symmetrischer Anteil a b = ½ (ab - ba) antisymmetrischer Anteil a b = ½ (ab - ba) antisymmetrischer Anteil a b = -(a b) (e x e y e z ) Dual in 3D a b = -(a b) (e x e y e z ) Dual in 3D Rechnen mit Multivektoren

13 13 Reflexion an einem Vektor Einheitsvektor n, Vektor v v +v Einheitsvektor n, Vektor v v +v Vektor v auf n projiziert: v =(v n) n Reflektierter Vektor w = v – v = v – 2v Reflektierter Vektor w = v – v = v – 2v somit w = v – 2(v n) n mit GP w = v – 2[½(vn+nv) ] n = v – vnn – nvn w = -nvn w = -nvn Rechnen mit Multivektoren

14 14 Geometrisches Quadrat Betrachte (AB) 2 von Bivektorbasiselement mit |A|=1, |B|=1, A B = 0 AB=A B=-BA AB=A B=-BA (AB) 2 = (AB) (AB) = -(AB) (BA)=-A(BB) A= -1 Basiselement Rotation

15 15 Quaternionen Algebra mittels GA In 2D: Komplexe Zahlen i:= e x e y, i 2 = -1 In 3D: Quaternionen i:= e x e y = e x e y, j:= e y e z = e y e z, k:=e x e z =e x e z i 2 = -1, j 2 = -1, k 2 = -1 ijk = (e x e y )(e y e z )(e x e z ) = -1 In 4D: Biquaternionen Rotation

16 16 Multiplikation von Vektoren und Bivektoren Rechtsmultiplikation entspricht Rotation (CCW) e x i = e x (e x e y ) = (e x e x ) e y = e y = e y i = e y (e x e y )=-e y (e y e x )= -e x = Rotation

17 17 Allgemeine Rotation in 2D Mehrfache Rotation e x i i = (e x i) i = e y i = -e x = -1 e x Beliebiger Vektor: (A x e x + A y e y ) i = A x e x i + A y e y i = A x e y - A y e x Rotation um beliebigen Winkel: A cos + A i sin A e i A cos + A i sin A e i rotiert Vektor A um Winkel in Fläche i rotiert Vektor A um Winkel in Fläche i Rotation

18 18 Rotor Rotor R:=e i =cos + i sin mit i Bivektor, i²=-1 R -1 =e -i =cos - i sin inverser Rotor R -1 =e -i =cos - i sin inverser Rotor In 2D äquivalent: v R -2 = R 2 v = R v R -1 In 2D äquivalent: v R -2 = R 2 v = R v R -1 Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil: Jedoch bei Dim>2 Trivektor-Anteil: Rv = v cos + sin (i v + i v ) R v R -1 = v + e i v e - i = v + v e -2 i R v R -1 = v + e i v e - i = v + v e -2 i wegen i v = 0 R v R -1 = v wegen i v = 0 R v R -1 = v Produkt von Rotoren ist mehrfache Rotation R=ABCD, R -1 =DCBA ist reverse von R R=ABCD, R -1 =DCBA ist reverse von R Rotor anwendbar auf beliebige Multivektoren Rotor anwendbar auf beliebige Multivektoren Rotation i

19 19 Symmetrien Mehrfachreflexionen an r 1,r 2,r 3, … sind Hintereinanderausführung von Vektoren: r 3 r 2 r 1 v r 1 r 2 r 3 (nicht mögl. mit Quaternionen) r 3 r 2 r 1 v r 1 r 2 r 3 (nicht mögl. mit Quaternionen) Symmetriegruppen in Molekülen und Kristallen sind charakterisiert durch drei Einheitsvektoren a,b,c drei Einheitsvektoren a,b,c ganzzahliges Triplet {p,q,r} ganzzahliges Triplet {p,q,r} mit (ab) p = (bc) q = (ca) r = -1 mit (ab) p = (bc) q = (ca) r = -1 z.B.: Methan (Tetraeder) {3,3,3}, Benzol {6,2,2}

20 20 Differentalgeometrie Ableitungsoperator: := e μ μ mit μ = / x μ, e μ e = μ := e μ μ mit μ = / x μ, e μ e = μ Anwendbar auf beliebige Multivektoren z.B.: mit v Vektorfeld: v = v + v v = v + v mit v Gradient (Skalar) und v Rotation (Bivektor)

21 21 Maxwell in 3D Faraday-Feld: F = E + B :=e x e y e z Faraday-Feld: F = E + B :=e x e y e z Stromdichte: J = - j Stromdichte: J = - j Maxwell-Gleichung: F/ t + F = J Maxwell-Gleichung: F/ t + F = J F = E + B = E + E + B + B F = E + B = E + E + B + B Skalar : E= Skalar : E= Vektor : E / t + B= -j Bivektor: B / t + E= 0 Pseudoskalar: B= 0

22 22 Cl 3 (R) & Spinoren GA in 3D ist repräsentierbar durch Paulimatrizen: 4 komplexe Zahlen 8 Komponenten = 2 3 Basisvektoren {e x,e y,e z } mit GP haben gleiche algebraische Eigenschaften wie Pauli-Matrizen { x, y, z } Pauli-Spinor (2 komplexe Zahlen, 4 Komponenten) wegen *= reell: = ½ e B = ½ e B ein Rotor (gerader Multivektor: 1 Skalar, 3 Bivektorkomponenten), d.h. ist eine Anweisung zu strecken und zu rotieren beschreibt Interaktion mit dem Magnetfeld i +i x = ( ) x = ( ) y = ( ) y = ( ) z = ( ) z = ( )

23 23 Spacetime Algebra (STA) GA in 4D mit Minkowski-Metrik (+,-,-,-) Wähle orthogonale Basis { 0, 1, 2, 3 } Mit 2 μ ν = μ ν + ν μ = 2η μν d.h. 0 2 = - k 2 = 1 Mit 2 μ ν = μ ν + ν μ = 2η μν d.h. 0 2 = - k 2 = 1 Struktur: 1,4,6,4,1 ( n 4, 16-dimensional ) Bivektor-Basis: k := k 0 Bivektor-Basis: k := k 0 Pseudoskalar: = Pseudoskalar: = { μ } { k, k } { μ } 1 { μ } { k, k } { μ } 1 Skalar 4 Vektor 6 Bivektoren 4 Pseudovektoren 1 Pseudoskalar

24 24 Basis-Bivektoren der STA k : 3 zeitartige Bivektoren k : 3 zeitartige Bivektoren k : 3 raumartige Bivektoren k : 3 raumartige Bivektoren x y z x y z x y z

25 25 Struktur von Bivektoren Beliebiger Bivektor darstellbar als B = B k k = a k k + b k k = a + b B = B k k = a k k + b k k = a + b a,b: 3-Vektoren (relativ zu 0 ) a,b: 3-Vektoren (relativ zu 0 ) a zeitartiger Anteil a zeitartiger Anteil b raumartiger Anteil b raumartiger Anteil Einteilung in komplexer Bivektor: komplexer Bivektor: keine gemeinsamen Richtungen, spannt vollen Raum auf simpler Bivektor: simpler Bivektor: eine Richtung gemeinsam, reduzierbar auf einzelnes Blatt

26 26 Spacetime-Rotor Raumzeit-Rotor: R = e B =e a+ b e |B| B/|B| R = e a+ b = e a e b = R = e a+ b = e a e b = [cosh a + sinh a ] [ cos b + sin b ] = [cosh |a| + a/|a| sinh |a| ] [cos |b| + b/|b| sin|b| ] Interpretation: Rotation in raumartiger Ebene b um Winkel |b| Hyperbolische Rotation in zeitartiger Ebene a= a 0 mit Boost-Faktor (Geschwindigkeit) tanh|a| Lorentz-Transformation in a, 0 ! Lorentz-Transformation in a, 0 !

27 27 Maxwell Gleichungen in 4D Vierdimensionaler Gradient := μ μ Elektromagnetisches 4-Potential A: F = A = A - A F = A = A - A wobei A=0 in Lorentz-Eichung Faraday-Feld: F = (E + B) 0 Faraday-Feld: F = (E + B) 0 Reiner Bivektor (vgl. 3D), jedoch komplex: E zeitartiger Anteil, B raumartig E zeitartiger Anteil, B raumartig Maxwell-Gleichung: F = J vgl. Formenkalkül: d*F = J mit F eine 2-Form, F=dA vgl. Formenkalkül: d*F = J mit F eine 2-Form, F=dA

28 28 Dirac-Gleichung Relativistischer Impuls in Schrödingergleichung: E=p 2 /2m E 2 = m 2 – p 2 E=p 2 /2m E 2 = m 2 – p 2 ( α 0 mc² + α j p j c ) = i ħ / t mit α j Dirac-Matrizen (4 4) in Dirac-Basis: 0 = α 0, i = α 0 α i mit [ μ, ν ] = 2 η μν Kovariante Schreibweise μ μ = mc² μ μ = mc² In GA haben Basisvektoren { 0, 1, 2, 3 } gleiche algebraischen Eigenschaften wie Dirac- Matrizen: = mc² 0 = mc² 0

29 29 GA in der Computergraphik Homogene Koordinaten (4D): Zusätzliche Koordinate e, 3-Vektor: A i / A Zusätzliche Koordinate e, 3-Vektor: A i / A Erlaubt einheitliche Beschreibung von Richtungen und Punkten, Standard z.B. in OpenGL Konforme, homogene Koordinaten (5D): Zusätzliche Koordinaten e 0, e Zusätzliche Koordinaten e 0, e Signatur (+,+,+,+,-), e 0 e =-1, |e 0 | = |e | =0 Erlaubt Beschreibung geometrischer Objekte (Kugel, Linie, Ebene, …) als Vektoren in 5D Vereinigungen und Schnitte von Objekten sind algebraische Operationen (meet, join)

30 30 Objekte in Konformer 5D GA Punkt x + e 0 + |x| 2 /2 e x + e 0 + |x| 2 /2 e Paar von Punkten a b Linie a b e a b e Kreis a b c Ebene a b c e a b c e Kugel a b c d

31 31 Implementierungen Auswertung zur Laufzeit geoma ( ), GABLE (symbolic GA) geoma ( ), GABLE (symbolic GA)Matrix-basiert CLU (2003) CLU (2003)Code-Generator Gaigen (-2005) Gaigen (-2005) Template Meta Programming GLuCat, BOOST (~2003) GLuCat, BOOST (~2003) Erweiterung von Programmiersprachen

32 32 Literatur David Hestenes: New Foundations for Classical Mechanics (Second Edition). ISBN , Kluwer Academic Publishers (1999) ISBN ISBN Oersted Medal Lecture 2002: Reforming the Mathematical Language of Physics (David Hestenes) Geometric (Clifford) Algebra: a practical tool for efficient geometrical representation (Leo Dorst, University of Amsterdam) An Introduction to the Mathematics of the Space-Time Algebra (Richard E. Harke, University of Texas) EUROGRAPHICS 2004 Tutorial: Geometric Algebra and its Application to Computer Graphics (D. Hildenbrand, D. Fontijne, C. Perwass and L. Dorst) Rotating Astrophysical Systems and a Gauge Theory Approach to Gravity (A.N. Lasenby, C.J.L. Doran, Y. Dabrowski, A.D. Challinor, Cavendish Laboratory, Cambridge), astro-ph/


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