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Fraktale: 1/24 Dynamik komplexer Systeme Fraktale.

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Präsentation zum Thema: "Fraktale: 1/24 Dynamik komplexer Systeme Fraktale."—  Präsentation transkript:

1 Fraktale: 1/24 Dynamik komplexer Systeme Fraktale

2 Fraktale: 2/24 Dimensionen 0-dimensionale Menge –Punkt –endliche Punktwolke 1-dimensionale Menge –Linie Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels 2-dimensionale Menge –Fläche Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche 3-dimensionale Menge –Volumen Raum, Kugelvolumen

3 Fraktale: 3/24 Topologische Dimension Wenn man zur Beschreibung eines Punktes einer Menge mindestens D reelle Zahlen braucht, dann ist die topologische Dimension dieser Menge D. Die topologische Dimension einer Menge ist immer eine ganze Zahl.

4 Fraktale: 4/24 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius: N(R) 1 / R

5 Fraktale: 5/24 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch eins: N(R) 1 / R 1

6 Fraktale: 6/24 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Fläche zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius zum Quadrat: N(R) 1 / R 2

7 Fraktale: 7/24 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um einen Raum zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch drei: N(R) 1 / R 3

8 Fraktale: 8/24 Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine D-dimensionale Menge zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch D: N(R) 1 / R D = R D Die Dimension D ist nicht immer ganzzahlig.

9 Fraktale: 9/24 How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R) R D (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R) R N(R) = R 1 D

10 Fraktale: 10/24 How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R) R D (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R) R N(R) = R 1 D R [km] N(R)L(R) [km] 986,48 0,79778,30 548,64 1,45792,80 209,90 4,811009,30 101,89 12,851309,00 29,95 59,911794,90 10,43 251,802626,30

11 Fraktale: 11/24 Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R) R D (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R) R N(R) = R 1 D doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) = R 1 D log(L(R)) = log( ) + (1 D) log(R)

12 Fraktale: 12/24 Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R) R D (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R) R N(R) = R 1 D doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) = R 1 D log(L(R)) = log( ) + (1 D) log(R)

13 Fraktale: 13/24 How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, N(R) R D (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R) R N(R) = R 1 D

14 Fraktale: 14/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. Ausgangskonfiguration

15 Fraktale: 15/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 1 Iteration

16 Fraktale: 16/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 2 Iterationen

17 Fraktale: 17/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 3 Iterationen

18 Fraktale: 18/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 4 Iterationen

19 Fraktale: 19/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 5 Iterationen

20 Fraktale: 20/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 6 Iterationen

21 Fraktale: 21/24 Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: –Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. –Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 7 Iterationen

22 Fraktale: 22/24 2 Iterationen Wie lang ist eine Koch-Kurve? Ausgangssituation: z.B. 1 m nach 1 Iteration: 4/3 m nach 2 Iterationen: 16/9 m nach n Iterationen: (4/3) n m nach Iterationen... m

23 Fraktale: 23/24 Selbstähnlichkeit Eine Menge ist streng selbstähnlich, wenn eine Vergrößerung einer Teilmenge zu derselben Struktur führt wie die Struktur der gesamten Menge. Die Koch-Kurve ist streng selbstähnlich. Die Mandelbrot-Menge (s. Chaos) ist quasi selbstähnlich: ähnliche Struktur Die Westküste Britanniens ist statistisch selbstähnlich: ähnliche statistische Eigenschaften

24 Fraktale: 24/24 N(R/m) = k N(R) N(R) R D N(R) = R D (R/m) D = k R D m D = k D = log(k) / log(m) Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension Eine selbstähnliche Menge sei aus k Teilmengen zusammengesetzt, die der Gesamtmenge im Maßstab 1 : m entsprechen. Für die Gesamtmenge benötigt man N(R) Kugeln des Radius R zur Überdeckung. Für eine der k Teilmengen benötigt man dieselbe Zahl von Kugeln mit Radius R/m. Die Gesamtmenge kann man auch überdecken mit k N(R) Kugeln des Radius R/m. N(R/m)


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