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Vom Ganzen zum Fraktal Thomas Westermann 6. Lange Nacht der Mathematik Hochschule Karlsruhe, 7.5.2010 Vom unendlich Kleinen Was ergibt ?

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Präsentation zum Thema: "Vom Ganzen zum Fraktal Thomas Westermann 6. Lange Nacht der Mathematik Hochschule Karlsruhe, 7.5.2010 Vom unendlich Kleinen Was ergibt ?"—  Präsentation transkript:

1 Vom Ganzen zum Fraktal Thomas Westermann 6. Lange Nacht der Mathematik Hochschule Karlsruhe, Vom unendlich Kleinen Was ergibt ?

2 Von Eisblumen …

3 … und anderen Formen Blitz Blutgefäße der Niere Blumenkohl

4 Ganze Zahlen 1, 2, 3; viele 1, 2, 3, 4,..., 9, 10, 11,... usw. Prinzip der natürlichen Zahlen: 1. Sie beginnen bei Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger. N = {1, 2, 3, 4,...} natürliche Zahlen Es gibt viele natürliche Zahlen Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...} ganze Zahlen

5 Problem: Was bleibt einem noch übrig, wenn man von seiner Hälfte ein Drittel abgeben muss? Gebrochene Zahlen Lösung: TV-Quiz: Was erhält man, wenn man 50 durch einhalb teilt? a) 25b) 50 c) 75d) 100 BW-Antwort: Q = {p/q: p Z und q N} gebrochenrationale Zahlen

6 Noch mehr Zahlen? Pythagoras a 2 + b 2 = c 2 a c b d 2 = = 2 1 d 1 Beispiel:

7 p 2 = 2 q 2 p 2 ist gerade p ist gerade p = 2 m 4 m 2 = 2 q 2 q 2 = 2 m q ist gerade NEIN! Wenn keine gebrochenrationalen Zahlen, was dann?? Was sind dies für Zahlen? Gebrochenrational? mit p und q teilerfremd?

8 Zahlenfolgen (a n ) n N = a 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... 1.) Explizites Bildungsgesetz: n a n CAS 2.) Rekursives Bildungsgesetz konvergente Folgen: a n a: besitzen Grenzwert a divergente Folgen: besitzen keinen Grenzwert

9 Reelle Zahlen Reelle Zahlen = {gebrochenrationale Zahlen und Grenzwerte aller konvergenten Zahlenfolgen}

10 Berechnung von

11 Von kantiger Form zu glatter Struktur

12 Eigenschaften: - Anzahl der Linien geht gegen Unendlich - Länge der Einzellinien geht gegen Null - Umfang bleibt endlich! - Fläche bleibt begrenzt! Kreis: Von kantig zu rund

13 Von kantig zu kantiger CAS Kochsche Schneeflocke

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15 Anzahl der Seiten SeitenlängeUmfangFläche 3a3a3a n = 13 4 n = n3 4 n A n n-1 A 0 + A 0 A 0 +3 A Zusammenfassung:

16 Kochsche Schneeflocke Eigenschaften: - Anzahl der Linien geht gegen Unendlich - Umfang geht gegen Unendlich - Fläche bleibt begrenzt! Geometrische Eigenschaften - Gebilde entsteht durch eine Iteration (Rekursion) - Besitzt bei beliebiger Vergrößerung immer noch Feinstruktur - Selbstähnlich - Bei unendlichem Umfang doch beschränkter Flächeninhalt Objekte, welche die obigen Eigenschaften besitzen bezeichnet man als Fraktale (lat. fractus = gebrochen).

17 Sierpinski-Dreieck

18 Was unterscheidet die Kochsche Scheeflocke vom Sierpinski-Dreieck? Fraktale Dimension Umfang pro Dreieck: Gesamtumfang: Fläche pro Dreieck: Gesamtfläche:

19 Fraktale Dimension Allgemein: N: Anzahl der Teile s: Skalierungsfaktor Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3 Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=9 Skalierungsfaktor s=1/2 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=8

20 Berechnung der fraktalen Dimension Skalierungsfaktor s=1/2 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=3 Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=2 Skalierungsfaktor s=1/3 Anzahl der selbstähnlichen Teile N=4

21 Mandelbrot-Menge Iterationsvorschrift Man startet immer mit z 0 =0. Die Konvergenz der Iteration hängt nur vom Parameter c ab. CAS Die Mandelbrot-Menge besteht aus der Menge von c-Werten, bei denen die Iterationswerte nach einer bestimmten Anzahl von Durchgängen (z.B. 100) einen vorgegebenen Betrag (z.B. 2) noch nicht überschritten haben.

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23 Die fraktale Beschreibung liefert uns ein Modell, um Formen, Muster und Erscheinungen in unserer realen Welt adäquat mathematisch zu beschreiben. Mit etwas Phantasie und Intuition findet man so Zugang zu virtuellen Welten, imaginären Größen und komplexen Zusammenhängen, die ohne die Fraktale nicht möglich wären … … und man findet auf diesem Weg nicht nur gebrochene Zahlen, sondern sogar gebrochene Dimensionen!! Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!! Und noch eine schöne Nacht!!

24 Ende


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