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Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung.

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Präsentation zum Thema: "Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung."—  Präsentation transkript:

1 Kombinatorische Topologie in der 3d Geomodellierung

2 - - ein geologischer Körper besteht aus einer unendlichen Menge von Punkten (Kristalle,Atome,Strings,...) im 3d- Raum - - Betrachtung der geologischen Körper als topologische Punktmengen mit Innerem und Rand (d.h. geol. Grenzfläche) - - Das Problem: unendliche Mengen kann man nicht im Computer speichern Können wir mit Punktmengen geomodellieren?

3 Die Lösung: Abstraktion durch Diskretisierung Die Idee: - - Alle Punkte einer Grenzfläche lassen sich als durch Triangulation interpolierte Punktmenge darstellen - - Die Grenzfläche teilt den Raum in 2 topologische Punktmengen - - der geologische Körper wird durch die Punktmenge in der geschlossenen Grenzfläche repräsentiert

4 Im Modell mit mehreren Objekten: - - Grenzflächen unterteilen den Raum in topologische Räume, die geologischen Einheiten entsprechen - - z.B. 2 Schichten, 1 Störung, 1 Box => 5 Räume:... wo ist der 5. Raum?

5 - - Standardmethode in CAD: Modellierung von Objekten durch simpliziale Zell-komplexe - - ein simplizialer Komplex besteht aus einer Menge gleichartiger, n-dimensionaler Simplex-Zellen: 0d - Punkt 1d - gerade Kante 2d - Dreieck 3d - Tetraeder Zellen im Detail: 0d, 1d, 2d, 3d

6 Zell-Hierarchie Simplexe höherer Dimension sind aus Simplexen niederer Dimension (Teilsimplexen) aufgebaut: - - Tetraeder besteht aus Grenzfläche + Innerem, Grenzfläche besteht aus 4 Dreiecken - - Dreiecke bestehen aus Rand(=3 Kanten) + Innerem - - Kanten bestehen aus 2 Knotenpunkten + Innerem

7 Simpliziale Komplexe Ein Simplizialkomplex besteht aus zusammenhängenden Simplexen. Beispielmodell mit 3 Simplizialkomplexen: in Gocad: 1 surface-Objekt "Störung" bestehend aus 1 part 1 surface-Objekt "Schichtgrenze" bestehend aus 2 parts

8 Von einzelnen Grenzflächen zu topologischen Geomodellen

9 2d-Simplizialkomplexe =triangulierte Punktmenge, Fläche Doch was passiert an den Berührungslinien mehrerer Flächen? (Berührungslinie = topologischer Rand der Fläche)

10 Boundary Representation (BRep)- Weiler Modell - - Hierarchisches topologisches Modell zur Behandlung nicht- mannigfaltiger Topologie (d.h. Elemente höherer Dimensionalität grenzen an Objekte niederer Dimensionalität) Region (topologischer 3d Raum, 3d-Makrozelle) Shell (Menge der Grenzflächen einer Region) Face (eine Grenzfläche) Loop (aneinandergrenzende Kanten einer Fläche) Edge (Kante) Vertex (Knotenpunkt)

11 Kante trifft Fläche:

12 Simpliz. Komplexe + Weiler Modell Realisierung in Gocad: Kombination von Simplizialkomplexen und Weiler - Modell

13 Beispiel - Gocad Model3d Datei GOCAD Model3d TSURF 2 boxGrenze... TSURF 1 innereGrenze... REGION 3 Universe -2 REGION 4 innen +1 REGION 5 aussen

14 Geometrie und Topologie - - Das topologische Modell ist abhängig von der Geometrie der Stützpunkte 2 Möglichkeiten der Modellerstellung: 1. ein topologisches Weiler-Modell kann aus einer Menge sich schneidender Flächen erzeugt werden (in Gocad: Model3d). Die Topologie ist hier implizit durch die Geometrie definiert. 2. man definiert die Topologie explizit, dann kann sie bei der Modellerstellung berücksichtigt werden (z.B. automatisches Beseitigen von Lücken durch snapping). Dabei wird die Geometrie der Topologie angepasst.

15 Zusammenfassung Ein Gocad-Geomodell umfasst im allgemeinen: - - hierarchische Diskretisierung in topologische Zellen in 2 Stufen Mikro-Zellen (Simplizialkomplexe) (triang. Surfaces mit Triangles, Segments, Nodes) Makro-Zellen (Weiler Modell) (Model3d mit Regions, Faces, Borders, BorderStones) - - Geometrie wird nur für Nodes der Mikro-Zellen definiert, sonst (meist linear) interpoliert - - Topologie und Geometrie werden auch im Datenformat getrennt gespeichert.

16 Vorteile der topologischen Geomodellierung - - Konsistenz: es gibt keine Lücken (...Vakuum) im Modell oder Überlappungen (ein Punkt kann nicht gleichzeitig zu 2 geol. Einheiten gehören) - - Änderungen der Geometrie (z.B. Faltung) sind möglich, ohne die Topologie zu ändern (topologische constraints) - - man kann die geologischen Strukturen (= topologische Grenzflächen) später bei der Modellierung von Eigenschaften in Gittern berücksichtigen - - Definition von Nachbarschaftsbeziehungen (GIS)

17 Der letzte Schrei: GMaps - - Datenstruktur für n-dimensionale kombinatorische Topologie - - einfacher geht's nicht: generalized maps haben nur einen Datentyp: Dart - - Darts stehen in Beziehung: Inzidenzgraph - - Vorteil gegenüber Weiler-Modell: generische, algebraische Formulierung

18 GMaps: Inzidenz-Graph, Beispiel

19 p(kalk)=1 p(granit)=1 Topologie und Wahrscheinlichkeit Kann ein Punkt zu mehreren Regionen gehören? - - eineindeutige Abbildung Natur topolog. Geo-Objekt ist bei kategoriellen Variablen (z.B. stratigraph. Einheit) möglich, wenn man die Geometrie exakt kennt - - Geodaten haben Unsicherheiten Punkt a gehört mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit 0.5


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