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Das Skalarprodukt Beispiel: Arbeit, Skalarprodukt zwischen Kraft- und Weg-Vektor.

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Präsentation zum Thema: "Das Skalarprodukt Beispiel: Arbeit, Skalarprodukt zwischen Kraft- und Weg-Vektor."—  Präsentation transkript:

1 Das Skalarprodukt Beispiel: Arbeit, Skalarprodukt zwischen Kraft- und Weg-Vektor

2 Inhalt Arbeit bei unterschiedlicher Richtung von Kraft und Weg Das Skalarprodukt

3 Joule 1 0 Hub Arbeit bei unterschiedlicher Richtung von Kraft und Weg F G ·cos φ

4 Joule 1 0 Projektion des Wegs auf die Richtung der Kraft Arbeit ist das Skalarprodukt aus Kraft- und Weg-Vektor

5 SI EinheitAnmerkung 1 J Konstante Kraft auf dem Weg s 1 NKraftvektor 1 mVektor des Wegs 1 J Der Winkel zwischen Weg und Kraft sei φ Die Arbeit: Skalarprodukt von Kraft mit Weg

6 Skalarprodukt aus zwei Vektoren 1.Einander entsprechende Komponenten werden multipliziert 2.Die Produkte werden addiert Einheiten 1 N, 1mAusgangs-Vektoren 1 Nm= 1 J Summe der Produkte der Komponenten Erfordert – gegenüber der Definition F·s·cos α - die Einführung eines orthonormierten Koordinatensystems für Kraft und Weg Beispiel: R 2, Analoges gilt für R 3 : W = F x s x + F y s y + F z s z

7 Joule 1 0 Berechnung der Arbeit in orthonormierten Koordinatensystemen szsz sysy FzFz W = F x ·s x + F y ·s y + F z ·s z = F z ·s z x z y

8 Vektoren der Kraft und des Wegintervalls stehen immer senkrecht, deshalb wird keine Arbeit verrichtet Speziell: Zentrifugalkraft und Kreisbahn

9 Das Skalarprodukt Produkt zwischen zwei Vektoren: Das Ergebnis ist eine Zahl, ein Skalar Rechenvorschrift: –Produkt aus dem Betrag des ersten Vektors und dem Betrag der Projektion des zweiten auf den ersten oder: – Produkt der Beträge beider Vektoren und dem Cosinus des Winkels zwischen ihnen

10 Anmerkung In einer Dimension genügt die skalare Behandlung Aber: Wir Lebewesen sind im drei dimensionalen Raum realisiert: –Man hat die Wahl zwischen unterschiedlichen Richtungen, z. B. für Kraft und Weg –Zur Behandlung dieser Fälle werden Vektoren und ihre Produkte, Skalar- und Vektorprodukt –eingeführt

11 Zusammenfassung Das Skalarprodukt ist ein Produkt zwischen zwei Vektoren: Das Ergebnis ist eine Zahl, einSkalar Rechenvorschrift: F·s = F·s·cos α –α ist der Winkel zwischen den Vektoren F und s –In Worten: Erster Vektor mal Projektion des zweiten auf den ersten Oder, wenn die orthonormierten Koordinaten der Vektoren (F 1,F 2,F 3 ), (s 1,s 2,s 3 ) in R 3 bekannt sind: F·s = F 1 ·s 1 + F 2 ·s 2 + F 3 ·s 3 Eine wichtige Anwendung: –Mechanische Arbeit: Skalarprodukt zwischen Kraft- und Weg-Vektor –Die Hub-Höhe bestimmt die Hubarbeit, nicht der Weg

12 Finis Joule 1 1


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