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Vektoren Grundbegriffe für das Information Retrieval

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Präsentation zum Thema: "Vektoren Grundbegriffe für das Information Retrieval"—  Präsentation transkript:

1 Vektoren Grundbegriffe für das Information Retrieval
Karin Haenelt

2 Analytische Geometrie und Lineare Algebra
Geometrie: Konstruktionsverfahren mit Zirkel und Lineal Analytische Geometrie: Umsetzung geometrischer Fragen in rechnerische Probleme, um durch „Ausrechnen“ zu Lösungen gelangen 1637 von René Descartes begründet in „La Géométrie“ Lineare Algebra fasst einen Großteil der rechnerischen Methoden der Analytischen Geometrie in erweiterter Form zusammen Bosch. 2006: 1 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

3 Lineare Algebra Definition Vektorraum
Definition: ein Vektorraum V über einem Körper K ist eine Menge V mit zwei Verknüpfungen der Form und die man Addition (+) und Skalarmultiplikation () nennt, und für die folgende Axiome gelten: Artin 1998, 95/96 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

4 Lineare Algebra Definition Vektorraum
Definition (Fortsetzung) Bezüglich der Addition bildet V eine Abelsche Gruppe Abgeschlossenheit v + w ∊ V, für alle v,w ∊ V Assoziativität (v+w)+u = v+(w+u) , für alle u,v,w ∊ V Neutrales Element e es gibt ein neutrales Element e: v+e = v, für e ∊ V und alle v ∊ V (hier: e ist der Nullvektor ) Inverses Element i es gibt ein inverses Element i: v + i = i + v = e, für alle v ∊ V Kommutativität v+w = w+v , für alle v,w ∊ V Artin 1998, 95/96 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

5 Lineare Algebra Definition Vektorraum
Definition (Fortsetzung): Die Skalarmultiplikation ist assoziativ mit der Multiplikation in K: (ab)v = a(bv) für alle a, b ∊ K, v ∊ V Die Skalarmultiplikation mit der reellen Zahl 1 wirkt als identische Abbildung auf V: 1v = v, für alle v ∊ V Es gelten zwei Distributivgesetze (a+b)v = av+bv a(v+w) = av + aw für alle a, b ∊ K, v,w ∊ V und Artin 1998, 95/96 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

6 Lineare Algebra Definition Vektor
Definition: Elemente eines Vektorraums werden auch als Vektoren bezeichnet Bosch 2006: 26 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

7 Lineare Algebra Beispiel eines Vektorraumes: n-faches kartesisches Produkt
Kn = {(α1, …, αn); αi ∊ K für i = 1, …,n} die Addition Kn ⨁ Kn  Kn werde erklärt durch (α1, …, αn) + (β1, …, βn) = (α1+ β1, …, αn+ βn) die skalare Multiplikation K ⨂ Kn  Kn werde erklärt durch α(α1, …, αn) = (α α1, …, α αn) Bosch 2006: 28 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

8 Lineare Algebra Definitionen und Satz Linearkombination und Basis
Definition: Eine lineare Kombination von x1, …, xn hat die Form a1x1 + a2x2 + a3x3 + … + anxn wobei a1, …, an ∊  die Koeffizienten der Kombination sind. Definition: Sei V ein Vektorraum über einem Körper K, und sei (v1,…,vn) eine geordnete Menge von Elementen von V. Eine Linearkombination von (v1,…,vn) ist ein Vektor der Form w = c1v1 + c2v2 + …+cnvn, ci ∊ K Satz: eine Menge B = (v1,…,vn) ist genau dann eine Basis, wenn jeder Vektor w ∊ V auf eindeutige Weise als Linearkombination von B geschrieben werden kann Hefferon, 2012, 2 Artin, 1998, 97 Artin, 1998, 100 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

9 Geometrie Vektoren in der mehrdimensionalen Geometrie
Reeller n-dimensionaler Raum 1 eindimensionaler Raum, Zahlengerade 2 zweidimensionaler Raum, Ebene 3 dreidimensionaler Raum n n-dimensionaler Raum geometrische Auffassung eines Vektorraumes, Beispiel 2 2 (Menge aller Paare reeller Zahlen) als Modell einer Ebene E auffassen, indem man in E einen Nullpunkt und ein Koordinatensystem mit den Achsen x und y auszeichnet einem Punkt P ∊ E ordnet man das Paar (x1,y1) ∊ 2 zu Bosch, 2006:51 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

10 Geometrie Vektor Eine Vektor ist ein Objekt, das eine Größe und eine Richtung hat. Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Größe und die gleiche Richtung haben beschreibt den „eins nach rechts, zwei nach oben“-Vektor im Raum 2 wenn der Vektor in kanonischer Position ist (beginnend am Punkt (0,0) des Koordinatensystems), erstreckt er sich bis zum Endpunkt (1,2) des Koordinatensystems Hefferon, 2012, 34 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

11 Kurzfassung Basis, Komponentendarstellung, Dimension
ay ax az y z Linearkombination: Summe von Vielfachen der kombinierten Elemente Eine Basis eines Vektorraumes ist eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt (Beispiel: kartesisches Basissystem: drei Vektoren vom Größenwert 1, die senkrecht aufeinander stehen) Eine Komponentendarstellung eines Vektors ist die Darstellung eines Vektors durch Komponenten der Basis Komponenten eines Vektors sind die senkrechten Projektionen auf die Basis Dimension eines Vektors ist die Anzahl der benötigten Komponenten © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

12 Darstellung von Vektoren
ay ax az y z Linearkombination Komponentendarstellung © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

13 Länge bzw. Betrag eines Vektors
Betrag = „Länge des Pfeils“ Satz des Pythagoras a x y c a b „Im rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypothenuse“ © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

14 Skalarprodukt: Geometrische Deutung
Skalarprodukt: - Multiplikation der Beträge zweier Vektoren unter Berücksichtigung der Richtungsabhängigkeit der Vektoren - ergibt eine skalare Größe a b © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

15 Skalarprodukt: Komponentendarstellung
Skalares Produkt der Einheitsvektoren (hier: ex und ey) Herleitung (Weltner, 1999, 41) © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

16 Skalarprodukt: Beispiel
(Weltner, 1999, 42) © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,

17 Literatur Michael Artin (1998). Algebra. Aus dem Englischen übersetzt von Annette A‘Campo. Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser Verlag. Siegfried Bosch (2006). Lineare Algebra. Heidelberg: Springer Verlag. Jim Hefferon (2012). Linear Algebra Klaus Weltner (1999). Mathematik für Physiker. Basiswissen für das Grundstudium der Experimentalphysik. Wiesbaden: Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH. 11. Aufl. 1999 © Karin Haenelt, Math. Grundlagen: Vektoren,


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