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Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zufallsvektoren Funktionen eines Zufallsvektors Monte-Carlo-Methode Unscharfe Vektoren.

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Präsentation zum Thema: "Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zufallsvektoren Funktionen eines Zufallsvektors Monte-Carlo-Methode Unscharfe Vektoren."—  Präsentation transkript:

1 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zufallsvektoren Funktionen eines Zufallsvektors Monte-Carlo-Methode Unscharfe Vektoren

2 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Begriffe Zufallsvektor: mehrdimensionale Zufallsvariable – ein Vektor, dessen Elemente Zufallsgrößen sind Zufallsvektor in der Vermessung: L Beobachtungsvektor l : Realisierung eines Zufallsvektors Elemente im Beobachtungsvektor: Messwerte

3 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zufallsvektor Hat einen Erwartungswert und einen wahren Wert Hat wahre, systematische und zufällige Abweichungen Besitzt eine Verteilungs- und Dichte- funktion wie bei Zufallsvariable aber mehrdimensional Dichtefunktion des Zufallsvektors

4 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

5 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kovarianz Gemeinsame Streuung zweier Zufalls- größen Bei unabhängigen Größen: Cov(X,Y)=0 Positive Kovarianz: Größen verhalten sich tendenziell eher gleich, sonst entgegengesetzt

6 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kovarianzmatrix Varianzen und Kovarianzen eines Zufallsvektors Auch: Varianz-Kovarianz-Matrix Auch aus empirisch abgeschätzten Kovarianzen, dann mit C xx bezeichnet

7 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Korrelation Kovarianz abhängig von der Dimension der beiden beteiligten Größen Normierung durch Division durch Standard- abweichungen: Korrelationskoeffizient (dimensionslos) -1 (r) +1

8 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Woher kommt die Korrelation? Viele Einflüsse auf Messungen (Atmosphäre, Aufstellung, Schwerefeld,...) Einflüsse nicht vollständig erfasst Einflüsse wirken auf eine Gruppe von Beobachtungen in ähnlicher Weise Korrelation

9 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Arten der Korrelation mathematisch korrelierte Größen: Unabhängige Messgrößen, gemeinsames Berechnungsmodell physikalisch korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen gemischt korrelierte Größen: Korrelierte Messgrößen in gemeinsamem Berechnungsmodell

10 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Korrelationsmatrix Zusammengefasste Korrelationskoeffizienten Hauptdiagonale: 1

11 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Stochastische Abhängigkeit Beispiel: Würfeln – Wetterprognose Würfeln: Wahrscheinlichkeit unabhängig vom letzten Wurf Wetter: Temperatur stark vom Wetter des Vortrages abhängig Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(X=a|Y=b)

12 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bedingte Wahrscheinlichkeit (1) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses X = a unter der Bedingung, dass Y = b bereits eingetreten ist. P(X=a|Y=b) X und Y stochastisch unabhängig, wenn gilt P(X=a|Y=b) = P(X=a) Korrelationskoeffizient: Maß für den linearen stochastischen Zusammen- hang

13 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Bedingte Wahrscheinlichkeit (2) Zwei Komponenten eines Zufallsvektors sind unkorreliert, wenn sie stochastisch unabhängig sind Umkehrschluss nicht immer zutreffend (bei Normalverteilung ist der Umkehrschluss zutreffend)

14 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Anmerkungen zur Korrelation Korrelation betrachtet die Variablen als gleichwertig: Abhängigkeit zwischen X und Y Korrelation beschreibt keine expliziten kausalen Zusammenhänge Korrelation beschreibt nur den linearen Zusammenhang (nicht: Abhängigkeit schlechthin)

15 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Funktionen eines Zufallsvektors Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors Übergang von der Abweichung zur Standardabweichung Kovarianzfortpflanzungsgesetz

16 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Abweichungen von Funktionen eines Zufallsvektors Gegeben: Messwerte x 1,…, x n mit Abweichungen x 1, …, x n Gesucht: Abweichung x für Funktion f(x 1,…, x n )

17 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Eindimensionaler Fall y=f(x)y 0 + y=f(x 0 )+ y=f(x 0 + x) Frage: Wie groß ist y bzw. die Standard- abweichung von y Taylorreihe: f(x 0 +dx)=f(x 0 )+f(x 0 )dx y = f(x 0 )dx Verallgemeinerung:

18 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Übergang zur Standardabweichung Varianz = Quadratsumme der Abweichung- en dividiert durch Anzahl der Freiheitsgrade Quadrieren:Summieren: f 2 xi 2 ij Wenn die Messgrößen stochastisch unabhängig sind Varianzfortpflanzungsgesetz für stochastisch unabhängige Beobachtungen Einfaches Fehlerfortpflanzungsgesetz

19 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Kovarianzfortpflanzungsgesetz Parameter nicht stochastisch unabhängig: In Matrizenschreibweise: Mehrere Funktionen:

20 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Monte-Carlo-Methode Varianzfortpflanzungsgesetz und Kovarianz- fortpflanzungsgesetz sind Näherungslösungen (abgebrochene Taylor-Entwicklung) Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode Verteilung der Parameter eine Realisierung ein Ergebnis Oft wiederholt Verteilung des Funktionsergebnisses Genauigkeit der Abschätzung proportional n Versuche, D … konst. Faktor

21 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Unscharfe Vektoren Vektoren, bei denen die Elemente unscharfe Zahlen sind Charakterisierende Funktion -Schnitt ist Teilmenge des IR n Funktion ist dann und ist eine unscharfe Zahl

22 Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil Zusammenfassung Mehrdimensionale Zufallsereignisse (z.B. geodätische Messungen) werden in Zufallsvektoren zusammengefasst Gemeinsame Streuung von Zufallsereignissen: Kovarianz Zusammengefasst in Kovarianzmatrix Lineare stochastische Abhängigkeit: Korrelation Kovarianzfortpflanzungsgesetz beschreibt Auswirkung von Varianzen auf Funktion Exakte Lösung: Monte-Carlo-Methode


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