Alternativ: Direkte schrittweise Berechnung dieser sogenannten gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten auf Grund der Einzelwahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit.

Präsentation zum Thema: "Alternativ: Direkte schrittweise Berechnung dieser sogenannten gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten auf Grund der Einzelwahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit."—  Präsentation transkript:

1 Alternativ: Direkte schrittweise Berechnung dieser sogenannten gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten auf Grund der Einzelwahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeit der Ereignisse im Merkmals-Stichprobenraum Das führt i.a. zu einer sparsameren Darstellung der Ereignisse, die Anzahl der Ausprägungs- konstellationen können höchstens sein. Die Menge dieser Ausprägungskonstellationen ist dann der (Merkmals-)Stichprobenraum. Bisher wurden die Wahrscheinlichkeiten jeweils für alle physikalisch realisierbaren Elementkonstellationen unter der Gleichwahrscheinlichkeitsannahme des klassischen Wtsbegriffs. Auch beim Simulationsexperiment musste bei der Zufallsauswahl der Elemente die gleiche Chance angestrebt werden; das führt allerdings zu riesig vielen Konstellationen (bei Ziehen mit Zurücklegen etwa im diskreten Fall zu, das wären bei 55 Elementen in der Population insgesamt 9 150 625 Elementarergebnisse für eine Stichprobengröße von nur 4 ). Bei eingeschränkten Fragestellungen kann der Stichprobenraum gravierend reduziert werden; hier auf die Merkmals-Ausprägungskonstellationen. Fragestellungsgeleitete Reduktion des Stichprobenraums: Diese als gemeinsame Wten bezeichneten Werte können auch schrittweise direkt berechnet werden. P(X 1 =0, X 2 =0, X 3 =0, X 4 =0) =, als das Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. 3 3 3 3 10 10 ·· · Diese gemeinsame Wt kann auch als Produkt aus den Einzelwahrscheinlichkeiten dargestellt werden: P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,…, X n =x n ) = P(X 1 =x 1 ) · P(X 2 =x 2 ) · ··· · P(X n =x n ). Das bedeutet im vorigen Spezialfall nur, den Bruch als Produkt von Teilbrüchen zu schreiben. g 1 g 1 N N ······ Angenommen, eine Urne mit N Kugeln enthalte g 1 Kugeln mit der Ausprägung x 1, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei allen n Zügen x 1 resultiert, P(X 1 =x 1, X 2 =x 1,…, X j =x 1,…, X n =x 1 ) g 1 · g 1 · ··· · g 1 · ··· · g 1 N · N· ··· · N · ··· · N Darstellung der Wt beim Ziehen MIT Zurücklegen. 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 81 189 441 189 441 1029 189 441 1029 441 1029 2401 Günstige 10 Mögliche Fälle =10000 / 10000 / Mögliche Fälle /10 Die Urne enthalte 7 1-Kugeln und 3 0-Kugeln. Die Beschreibung der Merkmalskonstellation 0010 hat die Urlistenwerte x 1 (=0), x 2 (=0), x 3 (=1), und x 4 (=0) ; das ergibt x-Verteilungswerte: x 1, x 1, x 2, x 1. Zur Beschreibung des zufälligen Ziehens werden die Stichprobenvariablen verwendet: X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 =1, X 4 = 0. Beispiel: Bei dichotomen Merkmalen ist I=2; bei einer Vierer- Stichprobe gibt es 16 Konstellationen: {0000 0001 0010 0011... 1111} =, das ist der Merkmals-Stichprobenraum. i 1 2 0 1 xixi P(X 1 =0, X 2 =0, X 3 =0, X 4 =0) = 3 3 3 3 10 10 = 81 10000 Zuerst soll das Ziehen MIT Zurücklegen behandelt werden. Berechnen der Anzahl günstiger Fälle: Astmultiplikationsregel. Berechnen der gemeinsamen Wt: Astmultiplikationsregel. P(X 1 =x 1 ) P(X 1 =x I ) P(X 2 =x 1 ) P(X 2 =x I ) P(X 2 =x 1 ) P(X 2 =x I ) P(X n =x 1 ) P(X n =x I ) P(X n =x 1 ) P(X n =x I ) P(X n =x 1 ) P(X n =x I ) P(X n =x 1 ) P(X n =x I ) Die Wt für eine Konstellation P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,…, X j =x j,…, X n =x n ) kann durch den Rückgriff auf das ursprüngliche Urnenmodell berechnet werden: Günstige / Mögliche Fälle. Gemeinsame Wten Zur Beschreibung der Merkmalskonstellationen bei Ziehungen genügen die Gleichheiten in Stichprobenvariablen:. Dabei sind die X j jeweils die Stichprobenvariablen des j. Ziehens, die Werte (aus Urliste) stehen stellvertretend für bestimmte Ausprägungen x 1, x 2,…, x i,…, x I (aus Verteilung) bei der j. Ziehung. xjxj X 1 = x 1, X 2 = x 2,..., X j = x j,..., X n = x n P(X 1 =x I, X 2 =x 1,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x I, X 2 =x 1,…, X n =x I ) P(X 1 =x I, X 2 =x I,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x I, X 2 =x I,…, X n =x I ) P(X 1 =x 1, X 2 =x I,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x 1, X 2 =x I,…, X n =x I ) P(X 1 =x 1, X 2 =x 1,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x 1, X 2 =x 1,…, X n =x I )

2 Alternativ: Direkte schrittweise Berechnung der gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten auf Grund der Einzelwahrscheinlichkeiten x1x1 xIxI x1x1 x1x1 x1x1 xIxI xIxI xIxI Darstellung der gemeinsamen Wten beim Ziehen OHNE Zurücklegen. P(X1=x1)P(X1=x1) P(X1=xI)P(X1=xI) P(X 2 =x 1 | X 1 =x 1 ) P(X 2 =x I | X 1 =x 1 ) P(X 2 =x 1 | X 1 =x I ) P(X 2 =x I | X 1 =x I ) P(X n =x 1 | X 1 =x 1 …) P(X n =x I | X 1 =x 1 …) P(X n =x 1 | X 1 =x 1 …) P(X n =x I | X 1 =x I …) P(X n =x 1 | X 1 =x I …) Die Urne enthält 7 1-Kugeln und 3 0-Kugeln. Beim Ziehen OHNE Zurücklegen verändert sich die Zusammensetzung der Urne. Die gemeinsame Wten bezeichneten Werte können auch hier schrittweise berechnet werden: P(X 1 =0, X 2 =0, X 3 =0, X 4 =0) =, 3 2 1 0 10 9 8 7 ·· · P(X 1 =0, X 2 =0, X 3 =0, X 4 =0) = = 0 / 5040. 3 · 2 · 1 · 0 10 · 9 · 8 · 7 Die Wahrscheinlichkeit P(X 1 = 0, X 2 = 0, X 3 = 0, X 4 =0) ist dann nach Wts- Definition gleich dem Bruch: Anzahl günstige / Anzahl mögliche Fälle. 0 42 252 42 252 630 42 252 630 252 630 840 Günstige Fälle 10 9 87 Mögliche Fälle =5040 / 5040 / Mögliche /10 /9 /8 /7 /9 /10 /9 /8 /8/8 /7 /8 /7 /8 P(X 2 = 1) = 0.70, P(X 3 = 1) = 0.70, P(X 4 = 1) = 0.70. P(X 1 = 1) = 0.70,Die Randwahrscheinlichkeiten sind: Randwten sind die Wten, die nur Teile der Konstellation enthalten, z.B. P(X 1 =x i ), P(X 2 =x i ), usw. d.h. über alle gemeinsamen Wten summieren, für die X j = x i gilt. 12n n21 iii iniji2i1ij )xX,,xX,,xX,xX(P...)xX(P P(X 1 =0) ·P(X 2 =0 | X 1 =0) · P(X 2 =0 | X 1 =0, X 2 =0) · P(X n =0 | X 1 =0, X 2 =0, X 3 =0). als Produkt der einzelnen bedingten Wten = Gemeinsame Wten P(X 1 =x I, X 2 =x 1,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x I, X 2 =x 1,…, X n =x I ) P(X 1 =x I, X 2 =x I,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x I, X 2 =x I,…, X n =x I ) P(X 1 =x 1, X 2 =x I,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x 1, X 2 =x I,…, X n =x I ) P(X 1 =x 1, X 2 =x 1,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x 1, X 2 =x 1,…, X n =x I ) 3 2 1 0 3 7 7 6 7 6 2 2 3 1 1 2 1 2 2 3 5 7 6 6 5 6 6 5 4 5 Urnenzustand feststellen, in Abhängigkeit von der Vorgeschichte. Randwahrscheinlichkeiten Die gemeinsame Wt kann auch als Produkt aus einzelnen Wten dargestellt werden; hier verändert sich die Urnenzusammensetzung je nach der Vorgeschichte; diese Vorgeschichte wird unter der Bezeichnung Bedingung, unter der gezogen wird, zusammengefasst: Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Wt für eine Konstellation P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,…, X j =x j,…, X n =x n ) kann durch den Rückgriff auf das ursprüngliche Urnenmodell berechnet werden: Günstige / Mögliche Fälle. Die Wten, die Bedingungen enthalten, heißen bedingte Wahrscheinlichkeiten. P(X 1 =x 1 ) · P(X 2 =x 2 | X 1 =x 1 ) · ··· ··· · P(X n =x n | X 1 =x 1, X 2 =x 2,…, X n-1 =x n-1 ). P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,…, X n =x n ) =

3 2 1 Beispiel: n=2, Bei der bivariaten Normalverteilung ist die gemeinsame Dichte die Höhe des Berges an jeder Stelle der (x 1,x 2 ) –Koordinaten. Unter Unabhängigkeit kann diese Höhe als Produkt den eindimensionalen Dichten f( x 1 ) und f( x 2 ) berechnet werden. x1x1 xIxI x1x1 x1x1 x1x1 xIxI xIxI xIxI Unabhängigkeit von Zufallsvariablen P(X1=x1)P(X1=x1) P(X1=xI)P(X1=xI) P(X 2 =x 1 | X 1 =x 1 ) P(X 2 =x I | X 1 =x 1 ) P(X 2 =x 1 | X 1 =x I ) P(X 2 =x I | X 1 =x I ) P(X n =x 1 | X 1 =x 1 …) P(X n =x I | X 1 =x 1 …) P(X n =x 1 | X 1 =x 1 …) P(X n =x I | X 1 =x I …) P(X n =x 1 | X 1 =x I …) 0.0000 0.0083 0.0500 0.0083 0.0500 0.1250 0.0083 0.0500 0.1250 0.0500 0.1250 0.1667 Gem.Wten /10 /9 /8 /7 /9 /10 /9 /8 /8/8 /7 /8 /7 /8 Für die Unabhängigkeit mehrerer Zufallsvariablen gilt: alle bedingten Wahrscheinlichkeiten sind gleich den entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten. Definition: (Stochastische) Unabhängigkeit von Zufallsvariablen X 1 und X 2 sind unabhängig, genau dann wenn P(X 2 =x 2 | X 1 =x 1 ) P(X 2 =x 2 ) für alle x 1 und x 2 d.h. die bedingten Wten sind gleich den entsprechenden Randwahrscheinlichkeiten = Unter Verwendung der Multiplikationseigenschaft der kann die Unabhängigkeit von X 1 und X 2 auch so definiert werden: P(X 1 =x 1, X 2 =x 2 ) = P(X 1 =x 1 )P(X 2 =x 2 ) Bei Unabhängigkeit der Zufalls- variablen X 1, X 2,…, X n gilt: P(X 1 =x 1, X 2 =x 2,…, X n =x n ) = P(X 1 =x 1 ) P(X 2 =x 2 ) … P(X n =x n ) Die gemeinsamen Wten sind das Produkt von Randwahrscheinlichkeiten Gemeinsame Wten P(X 1 =x I, X 2 =x 1,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x I, X 2 =x 1,…, X n =x I ) P(X 1 =x I, X 2 =x I,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x I, X 2 =x I,…, X n =x I ) P(X 1 =x 1, X 2 =x I,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x 1, X 2 =x I,…, X n =x I ) P(X 1 =x 1, X 2 =x 1,…, X n =x 1 ) P(X 1 =x 1, X 2 =x 1,…, X n =x I ) 0.70 0.30 P(X i = 0) 0.70 0.30 0.70 0.30 0.70 0.30 P(X i = 1) 3 2 1 0 3 7 7 6 7 6 2 2 3 1 1 2 1 2 2 3 5 7 6 6 5 6 6 5 4 5 = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0.0081 0.0189 0.0441 0.0189 0.0441 0.1029 0.0189 0.0441 0.1029 0.0441 0.1029 0.2401 Gem.Wten /10 OHNE Zurücklegen Bedingte Wahrscheinlichkeiten an den Zweigen Randwahrscheinlichkeiten P(X 2 =x I ) P(X 2 =x 1 )... P(X n =x I ) P(X n =x 1 )... P(X 1 =x I ) P(X 1 =x 1 )... MIT Zurücklegen Verallgemeinerung auf stetig verteilte Variablen: Die Gleichheitszeichen müssen durch Kleiner-Gleichzeichen ersetzt werden. = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? = ? Die gemeinsame Dichte ist bei Unabhängigkeit ebenfalls das Produkt der Randdichten: f(x 1,x 2,..., x n ) = f(x 1 )f(x 2 )... f(x n ). = ? = ? = ? = ?

4 01 2 n 34 5 67... Binomialverteilung Beispiel: n=4; die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs im einzelnen Versuch sei. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Erfolgen k. Alle möglichen Ergebnisse können mit Hilfe eines Baumes dargestellt werden: 1- 1- 0 (1- ) 4 1 (1- ) 3 2 (1- ) 2 1 (1- ) 3 2 (1- ) 2 3 (1- ) 1 1 (1- ) 3 2 (1- ) 2 3 (1- ) 1 2 (1- ) 2 3 (1- ) 1 4 (1- ) 0 Gem.Wten Anzahl Erfolge k 0 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 3 4 ( ) = 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 2 1 1 1 1 1 3 3 1 5 10 1 4 6 1 7 1 6 1 15 6 20 5 1 1 1 4 1 7 10 15 20 35 20 0 2 2 2 1 1 6 3 3 3 5 5 5 4 4 4 7 7 7 6 6 6 7 7 7 6 6 6 5 5 5 4 3 4 7 7 k = 0 k = 1 k = 3 k = 4 k = 5 k = 6 k = 7 k = 2 0 1 0 2 1 0 0 2 1 3 4 3 5 3 2 4 6 5 7 5 4 6 3 2 4 2 1 3 1 0 2 0 0 1 0 1 Wie viele Äste im Baum haben eine bestimmte Anzahl von Erfolgen k? Für einen Ast mit k Erfolgen ist die Wt gleich: k (1- ) 4-k Für k=2: insgesamt 6. Die 1 kann je 2 Stellen der 4 möglichen Positionen stehen. Das entspricht der Einteilung von 4 Elementen in 2 Zweiergruppen, das ist: 2 4 (), P(Anzahl = 1) = 141 )1( 1 4 () Daher: P(Anzahl = 0) = 040 )1( 0 4 () P(Anzahl = 2) = 242 )1( 2 4 (), P(Anzahl = k) = k4k )1( k 4 () Für k=0: insgesamt 1. Eins ist auch. 0 4 () Was sind die Binomischen Formeln? (a+b) 2 = 1a 2 b 0 + 2a 1 b 1 + 1a 0 b 2 (a+b) 3 = 1a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3ab 2 + 1a 0 b 3 (a+b) 4 =1a 4 b 0 + 4a 3 b 1 + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + 1a 0 b 4 Binomial- koeffizient knk nn )1( k n )X(P)kX(P n k 1: 0 n mit, k)!(nk!k! n! : k n PASCALsches Dreieck (a+b) 1 = 1a 1 b 0 + 1a 0 b 1 (a+b) 0 = 1a 0 b 0 Für k=1: insgesamt 4. Die 1 kann an 1., 2., 3. oder 4. Stelle stehen: 1 4 ().).