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Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1 2.1 Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung Portfolio Marktparameter Beoboachtungszeitraum.

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1 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Grundlegende Prämissen der VaR-Berechnung Portfolio Marktparameter Beoboachtungszeitraum Liquidationszeitraums Wahrscheinlichkeitsniveau 2. Marktpreisrisiko Festlegung der Prämissen Varianz- Kovarianz- Ansatz Value at Risk Histor. Simulation Monte-Carlo-Sim.

2 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Festlegung des Portfolios Portfolio = Zusammenfassung von Finanzinstrumenten (z.B. Kauf oder Verkauf von Aktien, Anleihen, OTC-Optionen, Gewährung von Krediten) Gesamtportfolio Teilportfolio Frage der Aggregation Bildung der Teilportfolios in Abhängigkeit der Organisationsstruktur (z.B. nach Regionen und Produkten) Zerlegung von komplexen Finanzinstrumente in ihre Bestandteile

3 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Identifikation der Marktparameter Marktparameter ( ) (z.B. Währungskurse, Zinssätze, Aktienkurse, Aktienindizes, implizite Volatilitäten) Funktion zur Bestimmung des Portfoliowertes in Abhängigkeit der Parameter (z.B. Optionspreisformel von Black-Scholes) Festlegung des Beobachtungszeitraums Beobachtungen der Vergangenheit = Zeitreihe Frage, wie viele und welche Werte aussagekräftig für Zukunft ? Anzahl der einbezogenen Werte meist Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Beobachtungszeitraum von mind. 1 Jahr ! (250 Tage/52 Wochen)

4 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Festlegung des Liquidationszeitraums/Haltedauer Betrachtungszeitraum, für den Wertveränderungen aufgrund von Markteinflüssen beobachtet werden Annahme: Positionen werden während Haltedauer nicht verändert (stattfindende Handelsaktivitäten werden vernachlässigt) Haltedauer abhängig von Möglichkeit der Glattstellung Glattstellung durch Verkauf der Position oder Hedging Glattstellung abhängig von Liquidität der einzelnen Märkte Handelsaktivitäten - häufig Haltedauer von 1 Tag (overnight) Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Haltedauer von mind. 10 Tagen! (bei Optionen auch kürzer)

5 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Festlegung des Wahrscheinlichkeitsniveaus VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein- lichkeit P während der Haltedauer nicht überschritten wird VaR = Verlustpotential, das mit einer bestimmten Wahrschein- lichkeit p (p = 1 - P) während der Haltedauer überschritten wird P = Konfidenzniveau p = Quantil Berechnung des Verlustes aus Normalverteilung in Abhängigkeit von und Konfidenzniveau P meist zwischen 95% - 99% Bankenaufsicht: Interne Modelle mit Konfidenzniveau von 99% !

6 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Varianz- Kovarianz-Ansatz verschiedene Verfahren, die sich hinsichtlich der Modellvariablen unterscheiden (Wertänderungen, Rendite, Marktparameter) jede der Modellvariablen = Zufallsgröße mit bekannter Verteilung Darstellung der Berechnungsverfahren in Realität Verteilung der Zufallsgröße unbekannt statistische Verfahren zur Ermittlung der Verteilung

7 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Varianz-Kovarianz- Ansatz mit Wertänderungen Annahme: Wertänderung ( V = V t - V t-1 ) während Haltedauer einer Position ist normalverteilt! Normalverteilung: V Mittelwert der Wertänderung V Standardabweichung, Preisvolatilität bei vorgegebenem Konfidenzniveau Bestimmung des VaR durch Quantil Ein Investor hält am eine Position von 100 Millionen CHF (Gegenwert 121,33 Mio DM). In den letzten drei Monaten hatten die täglichen Erträge aus dieser Position einen Mittelwert von ,75 DM und eine Standardabweichung von ,96 DM. Das VaR zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% kann nun über das 2,5%-Quantil bestimmt werden.

8 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Annahme: Wertänderungen eines Portfolios normalverteilt ?? Annahme: Wertänderungen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !! Ein Investor hält am zwei Positionen: 1. Position: vgl. vorne 2. Position: Shortposition in Höhe von 50 Mio USD (Gegenwert 69,19 Mio DM); Tägliche Erträge der letzten 3 Monate : Mittelwert von 2.679,69 DM (je 1 Mio USD); Standardabweichung von ,68 DM (je 1 Mio USD) U 1 = 100, V 1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM U 2 = -50, V 2 = -69,19 Mio DM, V1 = ,69 DM, V2 = ,68 DM

9 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS U 1 = 100, V 1 = 121,33 Mio DM, V1 = 460,94 DM, V1 = 2.686,98 DM U 2 = -50, V 2 = -69,19 Mio DM, V1 = ,69 DM, V2 = ,68 DM Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios PF = U 1 · V1 + U 2 · V2 PF = 100 · 460,94 + (-50) · (-2.679,69) = 0,1801 Mio DM Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios Intuition!!???? PF = U 1 · V1 + U 2 · V2 PF = 100 · 2.686,98 + (-50) · ,68 = i.d.R. falsch!!!

10 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Kovarianz Korrelationskoeffizient (-1 1) Varianz des Portfolios Position 1: und Position 2: und Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios Analyse der Varianz eines Portfolios muß die Kovarianz bzw. den Korrelationskoeffizienten der Assets berücksichtigen !

11 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Möglichkeitenkurve in Abhängigkeit von keinerlei Diversifikationseffekt bei = +1, bei perfekter positiver Korrelation maximaler Diversifikationseffekt bei = -1 Portfolio-Volatilität von 0 und sichere Rendite i.d.R. hyperbelförmiger Verlauf der Möglichkeitenkurve (-1 < < +1)

12 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS VaR des Portfolios zu einer Wahrscheinlichkeit von 97,5% bei gegebener Korrelation: 12 = -0,5870 PF = 0,7555 Mio DM

13 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Übertragung auf beliebig große Portfolios Mittelwert der Wertänderungen des Portfolios Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios VaR des Portfolios

14 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Nachteil: Theoretische Fundierung der Normalverteilung der Wertänderungen kaum möglich Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen Renditen der Assets in Portfolio gemeinsam sind normalverteilt !! Rendite während der Haltedauer gemeinsame Normalverteilung der Renditen bestimmt durch

15 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Wert der N Assets des Portfolios V T = (V 1, V 2,..., V N ) alternativer Anteilsvektor nach Lintner Anteilsvektor v T = (v 1, v 2,..., v N ) mit Mittelwert der Renditen des Portfolios Standardabweichung der Wertänderungen des Portfolios

16 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS negative Rendite, deren Betrag mit der vorgegebenen Wahr- scheinlichkeit während der Haltedauer nicht überschritten wird Rendite-Quantil zu einer Wahrscheinlichkeit Aus folgt V = V t-L · r lin Berechnung der negativen Wertänderung bei vorgegebener Wahrscheinlichkeit während der Haltedauer : VaR = V PF · r VaR,lin

17 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Ein Investor hält am zwei Positionen: 1. Position: Long-Position über 100 Mio CHF (= Mio DM) 2. Position: Shortposition über 50 Mio USD (= 69,19 Mio DM) Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - CHF: Mittelwert von 0,0387% ; Standardabweichung von 0,2260% Tägliche Rendite der letzten 3 Monate - USD: Mittelwert von -0,1794% ; Standardabweichung von 0,7807% Korrelation der Renditen r1,r2 = -0,5845

18 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Rendite-Quantil bei Wahrscheinlichkeitsniveau von 97,5% VaR

19 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Normalverteilungsannahme der Renditen nicht unproblematisch! Ränder der tatsächlichen Häufigkeitsverteilung werden durch Normalverteilung unterschätzt Häufigkeitsverteilung hat um den Mittelwert höhere Werte als die Normalverteilung Verteilung oft linksschief (mehr Beobachtungen in der linken als in der rechten Seite) Renditen sind zeitlich korreliert Aufgabe der Normalverteilungsannahme vernichtet Vorteil, daß Risiko relativ einfach durch Mittelwert und Standardab- weichung Zeitreihenanalyse um Volatilität der Verteilung der Zufalls-variablen zu prognostizieren beschreibbar!

20 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Darstellung der Schätzverfahren Varianz-Kovarianz-Ansatz: Zufallsvariable = normalverteilt Spezifizierung der unbekannten Verteilung durch Schätzung von,, (Kovarianzmatrix) Zeitreihenanalyse, um Volatilität der Verteilung der Zufalls- variablen zu prognostizieren (für Haltedauer = 1 Tag) Verfahren: - Empirische Schätzungen - Exponentielles Glätten - ARCH und GARCH Modelle - Implizite Volatilitäten

21 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Empirische Schätzungen Annahme: Entwicklung der Parameter gemeinsam folgt einem stationären stochastischen Prozeß ohne zeitliche Korrelation Beobachtungswerte eines Parameters = Realisation der Zufallsvariable Schätzung des Mittelwertes durch empirischen Mittelwert, Schätzung der Volatilität durch empirische Standardabweichung der Zeitreihe

22 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Betrachtung mehrerer Parameter z.B. Zeitreihen zweier Parameter 1 und 2 Bestimmung des empirischen Korrelationskoeffizienten mit

23 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Wahl des Beobachtungszeitraums!! Fiktiver Kursverlauf mit steigender Volatilität Grundannahmen?! - konstante Mittelwerte und Volatilitäten der einzelnen Parameter - Werte einzelner Parameter unkorreliert im Zeitablauf - verschiedene Parameter unkorreliert im Zeitablauf

24 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Korrelationsschätzungen (B = 90 Tage) am Beispiel USD/DEM mit JPY/DEM in der Zeit vom bis zum zwischen 0,07 und 0,72


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