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Seite 1 Zufallsfelder Def. Zufallsfeld: Sei V eine endliche Menge (von Orten). Für jedes v V existiere eine (endliche) Menge X(v) von Zuständen x(v). Der.

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1 Seite 1 Zufallsfelder Def. Zufallsfeld: Sei V eine endliche Menge (von Orten). Für jedes v V existiere eine (endliche) Menge X(v) von Zuständen x(v). Der Raum der Konfigurationen x = {x(v):v V} ist das Produkt X = Π v X(v). Ein strikt positives Wahrscheinlichkeits- maß Π auf X heißt dann Zufallsfeld.

2 Zufallsfelder 2 Unter Zufallsfeld versteht man auch den Zufallsvektor X auf dem Wahrscheinlichkeitsraum (X,Π). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsfeldern wird i.d.R. Über die bedingte Verteilung definiert Seite 2

3 Beispiel: Gibbs-Feld Sei X(v) = {-1,1} für alle v V. Dann hat das Gibbs- Feld der Ising-Energie die Form Dabei bedeutet s~v, dass s und v Nachbarn sind Seite 3

4 Nachbarn Def. Nachbarschaftssystem: Eine Menge von Orten = {{v}: v V} ist ein Nachbarschaftssystem, wenn gilt: Alle s {v} heißen Nachbarn von v. Eine Teilmenge C von V heißt Clique, falls alle Elemente von C untereinander Nachbarn sind. Seite 4

5 Beispiele für Nachbarschaftssysteme Seite 5

6 Markovfelder Def. Markovfeld: Ein Zufallsfeld Π ist ein Markovfeld bezüglich des Nachbarschaftssystems, falls für alle x X gilt Für endliche Räume X ist jedes Zufallsfeld auch ein Markovfeld. Interessant sind Markovfelder mit kleinen Nachbarschaften. Seite 6

7 Bedingte Unabhängigkeit Def. Bedingte Unabhängigkeit: Seien X, Y und Z Zufallsvariablen mit endlichem Zufallsraum. Dann sind X und Y bedingt unabhängig bezüglich Y, falls für alle x, y, z gilt: Satz 3.1: Π ist genau dann ein Markovfeld, wenn X v und X V\{{v}Uv} bedingt unabhängig gegeben X {v} sind. Seite 7

8 Brooks Lemma

9 Clique

10 Hammersley-Clifford Meist nur Cliquen aus 2 Elementen

11 Auto-logistisches Modell

12 Gauss-Markov-Zufallsfelder Gehen wir von einem eindimensionalen autoregressiven Prozess aus: Dann gilt für alle t = 2,...,T Seite 12

13 GMRF 2 Falls x 1 ~ N(0,1/(1- ϕ 2 )), gilt mit Seite 13

14 GMRF 3 Erweitern wir obiges auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen: Def. Gauss-Markov-Zufallsfeld: Ein Zufallsfeld Π heißt Gauss-Markov-Zufallsfeld, falls für jedes v aus einer Menge von Orten v gilt Es läßt sich zeigen: Seite 14

15 Intrinsische GMRF Seite 15

16 Zusammenfassung Zufallsvektoren mit Kovarianzstruktur Nachbarschaftsstrukturen Markovfelder Bedingte Unabhängigkeit Gauss-Markovzufallsfelder Seite 16


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