Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren

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1 Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren
Operations Research Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Marc Schwärzli SS 2013

2 Konvex - Konkav Eine Funktion heißt konvex, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten unter einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = x²

3 Konvex - Konkav Eine Funktion heißt konkav, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten über einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = -x²

4 Eine Konvexe Punktmenge
Alle Punkte auf einer Verbindungsgeraden zwischen zwei Punkten liegen innerhalb der Zielmenge.

5 Lineare Optimierung (LO)
Eine lineare Optimierungsaufgabe besteht aus einer Zielfunktion, die unter bestimmten Nebenbedingungen zu maxi- bzw. minimieren ist. Eine LO-Aufgabe kann entweder grafisch durch Schneiden der Nebenbedingungen oder mit dem Simplexverfahren gelöst werden. Bei der grafischen Lösung werden die Nebenbedingungen als Geraden dargestellt.

6 Beispiel: Gewinnmaximierung
Der Fabrikant Hugo V. stellt auf seinen Maschinen 2 verschiedene Stoffe her (Umrüstzeiten sind zu vernachlässigen): Pro Minute können 8m Baumwolle oder 4m Seide auf Maschine 1 hergestellt werden. Auf der 2. Maschine könne höchstens 6m/ Minute Stoff bedruckt werden. Arbeiter Manfred verpackt 5m Baumwolle pro Minute und Arbeiter Herfried 3m Seide pro Minute. Der Gewinn je Meter Baumwolle beträgt € 9 und je Meter Seide € 14.

7 Ableiten der Gleichungen aus dem Text:
Als Gerade: Maschine 1: Maschine 2: Manfred: Herfried: Nichtnegativbedingung: Zielfunktion:

8 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe
Die Nebenbedingung wird als Gerade konstruiert:

9 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe
Nebenbedingung

10 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe
Nebenbedingungen und :

11 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe
Bestimmung des Maximalen Gesamtgewinns durch Erstellung der Isogewinngeraden: Zielfunktion = 9X1 + 14X2  Maximum Die Ziefunktion wird nach X2 = kX1 + d umgeformt, damit das k ablesbar ist. d = 0, da die Gerade durch (0/0)  Ursprung geht. X2 = kX1 14X2 = -9X1 X2 = -9/14 X1 k ist als -9/14 erkennbar.

12 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe
Konstruktion der Isogewinngeraden mit der Steigung k = -9/14 durch den Ursprung: X2 X1

13 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe
Durch Parallelverschieben der Isogewinngeraden zum äußersten Punkt kommt man zum Punkt mit dem maximalen Gewinn:

14 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe
4m Baumwolle und 2m Seide stellen das optimale Produktionsprogramm dar. Durch Einsetzen des Punktes in die Zielfunktion 9X1 + 14X2 ergibt sich der Gewinn für das optimale Produktionsprogramm mit €64 Der Bereich der zulässigen Lösungen bildet stets eine konvexe Punktmenge. (Schraffierter Bereich)

15 Rechnerische Lösung einer LO-Aufgabe nach dem Simplexverfahren
Transformation der Ungleichungen in Gleichungen mithilfe von Schlupfvariablen: X1 + X2 + S1 = 8 X1 + X2 +S2 = 6 X1 +S3 = 5 X2 +S4 = 3 Nichtbasis= variablen Basisvariablen

16 Allgemeines zum Simplexverfahren
Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV)

17 Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform
Maschine 1: x1 + 2x2 <= 8 Meter Maschine 2: x1 + x2 <= 6 Meter Manfred: x1 <= 5 Meter Herfried x2 <= 3 Meter Nichtnegativbedingung: x1 >= 0; x2 >= 0 Zielfunktion: Z(x1, x2) = 9 x x2 -> max.

18 Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform
Die rechte Seite (RHS) einer Restriktion (Nebenbedingung) darf nicht negativ sein. Einführung der Schlupfvariablen (Y1-4) Zielfunktion (F) ist mit (-1) multipliziert (optional).

19 Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform
Basisvariablen Basisvariablen Nichtbasis= variablen

20 Das Simplexverfahren Bestimmen der Pivotspalte
Der erste kleinste Zielfunktionskoeffizient weist auf die Pivotspalte:

21 Das Simplexverfahren Berechnung der Pivotzeile
Die Quote (Q) wird durch Division der rechten Seite (RHS) durch die Pivotspalte bestimmt (Zeilenweise).  RHS/Pivotspalte

22 Das Simplexverfahren Berechnung der Pivotzeile
Die Zeile mit der niedrigsten positive Quote bildet die Pivotzeile (hier 3). Bei gleichen Werten wird die erste Schlupvariable durch die Pivotspalte dividiert(Y1/ Pivotspalte) . Das niedrigere Ergebnis weist auf die Pivotzeile. (S. 29 Studienbrief oben)

23 Das Simplexverfahren Bestimmung des Pivotelements
Im Schnittpunkt der Pivotzeile und der Pivotspalte befindet sich das Pivotelement.

24 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle
Da X2 den maximal möglichen Wert 3 annehmen soll, kommt X2 in die Basis und Y4 wird Nichtbasisvariable. Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 F Inhalt der Y4-Spalte

25 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle
Bestimmung der restlichen Elemente der Pivotzeile inkl. RHS. Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 F

26 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle
Neubrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement  0/1; 0/1; 0/1; 1/1; 3/1 Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 3 F

27 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle
Neuberechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) -9 – (0 x -14 : 1) Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 3 F -9

28 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle
Umrechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) 8 – (3 x 2 : 1) Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 2 1 3 F -9

29 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle
Nach Berechnung der restlichen Werte ergibt sich das 2. Simplextableau mit dem Zielwert 42 Basis X1 X2 Y1 Y2 Y3 Y4 RHS 1 -2 2 -1 3 5 F -9 14 42

30 Das Simplexverfahren Berechnung der 3. Simplextabelle
Die Iterationsschritte werden solange fortgesetzt bis alle Werte der Zielzeile positiv sind, dann ist keine weitere Verbesserung des Zielwertes mehr möglich. Bestimmung des Pivotelements

31 Das Simplexverfahren Berechnung der 3. Simplextabelle
Pivotelement zur 4. Simplextabelle:

32 Das Simplexverfahren Berechnung der 4. Simplextabelle
Erst mit der 4. Tabelle ist die Lösung mit Z = 64 erreicht: Bas Is Z Alle Nichtbasisvariablen in der Z-Zeile (hier F) haben einen positiven Koeffizienten  Optimalitätskriterium (Wurde eingangs nicht mit -1 multipliziert müssen alle Koeffizienten negativ sein)

33 Übungsaufgabe grafisch
Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen, deren Verkauf vielversprechend erscheint. Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich das Material den Unterschied ausmacht. Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano. Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe grafisch. Silizium Kupfer Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano

34 Lösung €400 x 160kg + €250 x 80kg = € 84.000.- Silizium Kupfer
Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano €400 x 160kg + €250 x 80kg = €

35 Übungsaufgabe Simplex
Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen deren Verkauf vielversprechend erscheint. Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich die Materialkosten den Unterschied ausmachen. Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 € je kg Giga und 250 € je kg Nano. Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe mit dem Simplexverfahren. Silizium Kupfer Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano

36 Lösung Silizium Kupfer Aluminium Chip Giga 75% 25% - Chip Nano

37 Lösung

38 Das Simplexverfahren Die Zweiphasenmethode
Diese bisherige Form der Lösung eines Ungleichungssystems ist nur möglich wenn für alle Ungleichungen gilt. Kommen auch Bedingungen vor, so ist die Aufgabe nur mit der Zweiphasenmethode zu lösen.

39 Die Zweiphasenmethode
Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit einer Restriktion (negative rechte Seite) I Z = 2X1 + X2 +2X3  max II X1 - X X2 + 2X X X3 = 8 III X1, X2, X

40 Leitfaden zur Zweiphasenmethode
Umformen Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen. Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k1 - …. kn.

41 Leitfaden zur Zweiphasenmethode
Erste Phase Künstliche Variablen K gegen Null minimieren (Zk=-k1 … -kn;). Addition von Zk mit k-Restriktionen. Daraus entsteht eine neu Zielfunktion Zneu. Die neue Zielfunktion wird gemeinsam mit den Restriktionen nach der Umformung (Kanonische Form) in eine Simplextabelle übergeführt. Lösen des Simplexalgorithmus. Weglassen der Spalten mit einem k, Z sollte null sein.

42 Leitfaden zur Zweiphasenmethode
Zweite Phase Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit der Zielfunktion aus der Angabe, ZOriginal. , harmonisiert. Elimination der Basisvariablen aus der Zielfunktion durch Subtraktion des x-fachen Wertes der Restriktionen, die diese Basisvariablen enthalten. Dadurch ergibt sich eine neue Zielzeile, Z2. Phase. Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit Z2. Phase in einem weiteren Simplextableau verbunden. Das Lösen des Simplexalgorithmus bringt das Ergebnis

43 Die Zweiphasenmethode
Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar: Umformen der in Bedingung zur Lösung! I Z = 2X1 + X2 +2X3  max II X1 + X X2 + 2X X X3 = 8 III X1, X2, X  Negative rechte Seite nach Umformung

44 Die Zweiphasenmethode
Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S (auch in der Zielfunktion). I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2  max II X1 - X S = 4 X2 + 2X S2 = 15 X X = 8 III X1, X2, X3 , S1, S

45 Die Zweiphasenmethode
Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten plus Eins besitzt (nur S2 erfüllt dies): I Z = 2X1 + X2 +2X3 + 0S1 + 0S2  max II X1 - X S = 4 X2 + 2X S = 15 X X = 8 III X1, X2, X3 , S1, S Koeffizient -1 Kein S3

46 Die Zweiphasenmethode
Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k: II X1 - X S k = 4 X2 + 2X S = 15 X X k = 8 III X1, X2, X3 , S1, S

47 Die Zweiphasenmethode
Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV). II X1 - X S k = 4 X2 + 2X S = 15 X X k = 8 III X1, X2, X3 , S1, S

48 Die Zweiphasenmethode
So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null aufweisen. Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable möglichst nahe bei Null sein. Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K): Z = k1 + k2  min entspricht: `Z = -Z=-k1-k2max

49 Die Zweiphasenmethode
Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und eine erste Basislösung zu gewinnen. I `Z = - k1 – k2  max II X1 - X S k1 = 4 X2 + 2X S = 15 X X k2 = 8 III X1, X2, X3 , S1, S

50 Die Zweiphasenmethode
Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durch Addition der Gleichungen in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten: I `Z = k1 – k2  max II 2X1 - X S k = 4 X2 + 2X S = 15 X X k = 8 III X1, X2, X3 , S1, S

51 Die Zweiphasenmethode
Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z‘) + Zeile Zeile 5 ergibt die neue Zielfunktion Z. X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot. -1 2+1+0=3 0-1+0= 1+0+0=1 0+0+0=0 0+1-1=0 1+0-1=0 8+4+0=12 2 1 4 15 8 + `Z Zneu + +

52 Die Zweiphasenmethode
Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu zwei Zielfunktionen abgebildet. Die untere Zielfunktionszeile stellt das Ergebnis der Addition dar. X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot. -1 3 1 12 2 4 15 8 `Z + Zneu + +

53 Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine erste zulässige Basislösung zu gewinnen. Achtung S1 ist keine Basisvariable. X1 X2 X3 S1 S2 k1 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8 Ordnen der Basisvarialen: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8

54 Bestimmen einer neuen Basisvariablen:
X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8 X1 wird neue Basisvariable dann folgt die Umrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 1 -0,5 0,5 2

55 Ausfüllen der restlichen Werte:
X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 3 -1 1 12 2 4 15 8 Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement): X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 15

56 2. Iteration: Z Z X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2
0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 - 15 7,5 Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z 1

57 2. Iteration: Z Z X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. 0,5 1 -1,5 6 -0,5 2
0,5 1 -1,5 6 -0,5 2 - 15 7,5 Bestimmen der restliche Werte: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z -1 1 -0,5 0,5 2 -2 3 6

58 Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen Variablen k, kommt man zu einem Gleichungssystem von kanonischer Form: X1 X2 X3 S1 k1 S2 k2 r.S. Quot. Z -1 1 -0,5 0,5 2 -2 3 6 Basisvariablen:

59 Die Zweiphasenmethode
Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst: Die ursprüngliche Zielfunktion Z = 2X1 + X2 + 2X3 soll nur durch die Nichtbasisvariablen ausgedrückt werden. (in diesem Fall X2)

60 Die Zweiphasenmethode
Dies wird durch Elimination der Basisvariablen X1 und X3 aus der Zielfunktion erreicht.

61 Nebenrechnung: Subtraktion des 2-fachen der 1. wie des 2-fachen der 3. Zeile von der Zielzeile: |2x |2x Nebenrechnung X1 X2 X3 S1 S2 Z 2 1 - -1 4 12 -16 Neue Zielzeile:

62 Neues Starttableau: Ordnen nach Basisvarialen: Z Z X1 X2 X3 S1 S2 r.S.
Quot. Z 1 -16 -0,5 2 -1 3 0,5 6 Ordnen nach Basisvarialen: X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot. Z 1 -16 -0,5 2 - -1 3 0,5 6 12

63 Neues Starttableau: Bestimmen des Pivotelements: Z Z X2 S1 X1 S2 X3
r.S. Quot. Z 1 -16 -0,5 2 - -1 3 0,5 6 12 Ergebnistableau mit Z = 28, X1 = 8, X2 = 12, S2 = 3: X2 S1 X1 S2 X3 r.S. Quot. Z -1 -2 -28 8 3 1 2 12

64 Beispiel Übungsklausur zur Zweiphasenmethode: