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Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Marc Schwärzli SS 2013.

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Präsentation zum Thema: "Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Marc Schwärzli SS 2013."—  Präsentation transkript:

1 Lineare Optimierung mit dem Simplexverfahren Marc Schwärzli SS 2013

2 Konvex - Konkav Eine Funktion heißt konvex, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten unter einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = x²

3 Konvex - Konkav Eine Funktion heißt konkav, wenn die Funktionswerte zwischen 2 Punkten über einer Verbindungsgeraden liegen. F(x) = -x²

4 Eine Konvexe Punktmenge Alle Punkte auf einer Verbindungsgeraden zwischen zwei Punkten liegen innerhalb der Zielmenge.

5 Lineare Optimierung (LO) Eine lineare Optimierungsaufgabe besteht aus einer Zielfunktion, die unter bestimmten Nebenbedingungen zu maxi- bzw. minimieren ist. Eine LO-Aufgabe kann entweder grafisch durch Schneiden der Nebenbedingungen oder mit dem Simplexverfahren gelöst werden. Bei der grafischen Lösung werden die Nebenbedingungen als Geraden dargestellt.

6 Beispiel: Gewinnmaximierung Der Fabrikant Hugo V. stellt auf seinen Maschinen 2 verschiedene Stoffe her (Umrüstzeiten sind zu vernachlässigen): – Pro Minute können 8m Baumwolle oder 4m Seide auf Maschine 1 hergestellt werden. – Auf der 2. Maschine könne höchstens 6m/ Minute Stoff bedruckt werden. – Arbeiter Manfred verpackt 5m Baumwolle pro Minute und Arbeiter Herfried 3m Seide pro Minute. – Der Gewinn je Meter Baumwolle beträgt 9 und je Meter Seide 14.

7 Ableiten der Gleichungen aus dem Text: Maschine 1: Maschine 2: Manfred: Herfried: Nichtnegativbedingung: Zielfunktion: Als Gerade:

8 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Die Nebenbedingungwird als Gerade konstruiert:

9 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Nebenbedingung

10 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Nebenbedingungen und:

11 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Bestimmung des Maximalen Gesamtgewinns durch Erstellung der Isogewinngeraden: – Zielfunktion = 9X X 2 Maximum – Die Ziefunktion wird nach X 2 = kX 1 + d umgeformt, damit das k ablesbar ist. – d = 0, da die Gerade durch (0/0) Ursprung geht. – X 2 = kX 1 – 14X 2 = -9X 1 – X 2 = -9/14 X 1 k ist als -9/14 erkennbar.

12 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Konstruktion der Isogewinngeraden mit der Steigung k = -9/14 durch den Ursprung: X1 X2

13 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe Durch Parallelverschieben der Isogewinngeraden zum äußersten Punkt kommt man zum Punkt mit dem maximalen Gewinn:

14 Grafische Lösung einer LO-Aufgabe 4m Baumwolle und 2m Seide stellen das optimale Produktionsprogramm dar. Durch Einsetzen des Punktes in die Zielfunktion 9X X 2 ergibt sich der Gewinn für das optimale Produktionsprogramm mit 64 Der Bereich der zulässigen Lösungen bildet stets eine konvexe Punktmenge. (Schraffierter Bereich)

15 Rechnerische Lösung einer LO-Aufgabe nach dem Simplexverfahren Transformation der Ungleichungen in Gleichungen mithilfe von Schlupfvariablen: – X1 + X2 + S1= 8 – X1 + X2+S2= 6 – X1+S3= 5 – X2+S4 = 3 Basisvariablen Nichtbasis= variablen

16 Allgemeines zum Simplexverfahren Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV)

17 Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform Maschine 1: x 1 + 2x 2 <= 8 Meter Maschine 2: x 1 + x 2 <= 6 Meter Manfred: x 1 <= 5 Meter Herfried x 2 <= 3 Meter Nichtnegativbedingung: x 1 >= 0; x 2 >= 0 Zielfunktion: Z(x 1, x 2 ) = 9 x x 2 -> max.

18 Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform Die rechte Seite (RHS) einer Restriktion (Nebenbedingung) darf nicht negativ sein. Einführung der Schlupfvariablen (Y1-4) Zielfunktion (F) ist mit (-1) multipliziert (optional).

19 Das Simplexverfahren Erstellen der Standardform Basisvariablen Nichtbasis= variablen Basisvariablen

20 Das Simplexverfahren Bestimmen der Pivotspalte Der erste kleinste Zielfunktionskoeffizient weist auf die Pivotspalte:

21 Das Simplexverfahren Berechnung der Pivotzeile Die Quote (Q) wird durch Division der rechten Seite (RHS) durch die Pivotspalte bestimmt (Zeilenweise). RHS/Pivotspalte

22 Das Simplexverfahren Berechnung der Pivotzeile Die Zeile mit der niedrigsten positive Quote bildet die Pivotzeile (hier 3). Bei gleichen Werten wird die erste Schlupvariable durch die Pivotspalte dividiert(Y 1 / Pivotspalte). Das niedrigere Ergebnis weist auf die Pivotzeile. (S. 29 Studienbrief oben)

23 Das Simplexverfahren Bestimmung des Pivotelements Im Schnittpunkt der Pivotzeile und der Pivotspalte befindet sich das Pivotelement.

24 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Da X 2 den maximal möglichen Wert 3 annehmen soll, kommt X 2 in die Basis und Y 4 wird Nichtbasisvariable. BasisX1X1 X2X2 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 Y4Y4 RHS Y1Y1 0 Y2Y2 0 Y3Y3 0 Y4Y4 1 F0 Inhalt der Y4-Spalte

25 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Bestimmung der restlichen Elemente der Pivotzeile inkl. RHS. BasisX1X2Y1Y2Y3Y4RHS Y10 Y20 Y30 X21 F0

26 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle BasisX1X2Y1Y2Y3Y4RHS Y10 Y20 Y30 X F0

27 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Neuberechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) -9 – (0 x -14 : 1) BasisX1X2Y1Y2Y3Y4RHS Y10 Y20 Y30 X F-90

28 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Umrechnung der restlichen Werte nach Schema: Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement) 8 – (3 x 2 : 1) BasisX1X2Y1Y2Y3Y4RHS Y102 Y20 Y30 X F-90

29 Das Simplexverfahren Berechnung der 2. Simplextabelle Nach Berechnung der restlichen Werte ergibt sich das 2. Simplextableau mit dem Zielwert 42 BasisX1X2Y1Y2Y3Y4RHS Y Y Y X F

30 Das Simplexverfahren Berechnung der 3. Simplextabelle Die Iterationsschritte werden solange fortgesetzt bis alle Werte der Zielzeile positiv sind, dann ist keine weitere Verbesserung des Zielwertes mehr möglich. Bestimmung des Pivotelements

31 Das Simplexverfahren Berechnung der 3. Simplextabelle Pivotelement zur 4. Simplextabelle: 3. Tabelle

32 Das Simplexverfahren Berechnung der 4. Simplextabelle Erst mit der 4. Tabelle ist die Lösung mit Z = 64 erreicht: Alle Nichtbasisvariablen in der Z-Zeile (hier F) haben einen positiven Koeffizienten Optimalitätskriterium Z BasIsBasIs (Wurde eingangs nicht mit -1 multipliziert müssen alle Koeffizienten negativ sein)

33 Übungsaufgabe grafisch Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen, deren Verkauf vielversprechend erscheint. Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich das Material den Unterschied ausmacht. Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 je kg Giga und 250 je kg Nano. Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe grafisch. SiliziumKupferAluminium Chip Giga75%25%- Chip Nano75%-25%

34 Lösung 400 x 160kg x 80kg = SiliziumKupferAluminium Chip Giga75%25%- Chip Nano75%-25%

35 Übungsaufgabe Simplex Eine Studentin gründet eine Gesellschaft zur Produktion von Computerchips. Sie hat die Möglichkeit monatlich bis zu 200 kg Silizium, 40 kg Kupfer, 20 kg Aluminium zuzukaufen. Die Entwicklungsabteilung entwirft 2 verschiedene Chip-Architekturen deren Verkauf vielversprechend erscheint. Die Herstellungskosten sind für beide Bauarten gleich, so daß lediglich die Materialkosten den Unterschied ausmachen. Die Marktanalyse ergibt einen erwarteten Gewinn von 400 je kg Giga und 250 je kg Nano. Welche Menge sollte sie monatlich herstellen und verkaufen um einen größtmöglichen Gewinn zu erwirtschaften. Stellen Sie das mathematische Modell auf und lösen Sie die Aufgabe mit dem Simplexverfahren. SiliziumKupferAluminium Chip Giga75%25%- Chip Nano75%-25%

36 Lösung SiliziumKupferAluminium Chip Giga75%25%- Chip Nano75%-25%

37 Lösung

38 Das Simplexverfahren Die Zweiphasenmethode Diese bisherige Form der Lösung eines Ungleichungssystems ist nur möglich wenn für alle Ungleichungen gilt. Kommen auch Bedingungen vor, so ist die Aufgabe nur mit der Zweiphasenmethode zu lösen.

39 Gegeben sei folgende LO-Aufgabe mit einer Restriktion ( negative rechte Seite) IZ = 2X 1 + X 2 +2X 3 max II 2X 1 - X 2 4 X 2 + 2X 3 15 X 1 + X 3 = 8 IIIX 1, X 2, X 3 0 Die Zweiphasenmethode

40 Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen. Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k 1 - …. k n. Leitfaden zur Zweiphasenmethode Umformen

41 Künstliche Variablen K gegen Null minimieren (Z k =-k 1 … -k n ;). Addition von Z k mit k-Restriktionen. Daraus entsteht eine neu Zielfunktion Z neu. Die neue Zielfunktion wird gemeinsam mit den Restriktionen nach der Umformung (Kanonische Form) in eine Simplextabelle übergeführt. Lösen des Simplexalgorithmus. Weglassen der Spalten mit einem k, Z sollte null sein. Leitfaden zur Zweiphasenmethode Erste Phase

42 Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit der Zielfunktion aus der Angabe, Z Original., harmonisiert. Elimination der Basisvariablen aus der Zielfunktion durch Subtraktion des x-fachen Wertes der Restriktionen, die diese Basisvariablen enthalten. Dadurch ergibt sich eine neue Zielzeile, Z 2. Phase. Die verbleibenden Gleichungen (Restriktionen) werden jetzt mit Z 2. Phase in einem weiteren Simplextableau verbunden. Das Lösen des Simplexalgorithmus bringt das Ergebnis Leitfaden zur Zweiphasenmethode Zweite Phase

43 Durch Multiplikation mit -1 wäre die negative rechte Seite erkennbar: Umformen der in Bedingung zur Lösung! IZ = 2X 1 + X 2 +2X 3 max II -2X 1 + X 2 -4 X 2 + 2X 3 15 X 1 + X 3 = 8 IIIX 1, X 2, X 3 0 Die Zweiphasenmethode Negative rechte Seite nach Umformung

44 Umwandeln in Gleichungen durch das Einführen von nichtnegativen Schlupfvariablen S (auch in der Zielfunktion). IZ = 2X 1 + X 2 +2X 3 + 0S 1 + 0S 2 max II 2X 1 - X 2 -S 1 = 4 X 2 + 2X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 = 8 IIIX 1, X 2, X 3, S 1, S 2 0 Die Zweiphasenmethode

45 Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten plus Eins besitzt (nur S 2 erfüllt dies): IZ = 2X 1 + X 2 +2X 3 + 0S 1 + 0S 2 max II 2X 1 - X 2 -S 1 = 4 X 2 + 2X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 = 8 IIIX 1, X 2, X 3, S 1, S 2 0 Die Zweiphasenmethode Koeffizient -1 Kein S 3

46 Umwandeln in ein Gleichungssystem von kanonischer Form durch Einführung künstlicher Variablen k: II 2X 1 - X 2 -S 1 +k 1 = 4 X 2 + 2X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 +k 2 = 8 IIIX 1, X 2, X 3, S 1, S 2 0 Die Zweiphasenmethode

47 Ein Gleichungssystem heißt von kanonischer Form, wenn es in jeder Gleichung eine Unbekannte gibt, die nur in dieser vorkommt und dort den Koeffizienten Eins besitzt. Diese Unbekannten bezeichnet man als Basisvariablen (BV), die übrigen als Nichtbasisvariablen (NBV). II 2X 1 - X 2 -S 1 +k 1 = 4 X 2 + 2X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 +k 2 = 8 IIIX 1, X 2, X 3, S 1, S 2 0

48 So stellt das Gleichungssystem ein äquivalentes Gleichungssystem kanonischer Form dar, deren künstliche Nichtbasisvariablen k den Wert Null aufweisen. Damit dem so ist, sollten die künstlichen Variable möglichst nahe bei Null sein. Einführung einer neuen Zielfunktion (minimiere K): Die Zweiphasenmethode Z = k1 + k2 min entspricht: `Z = -Z=-k1-k2 max

49 Die erste Phase der Hilfsaufgabe dient dazu eine kanonische Form und eine erste Basislösung zu gewinnen. I `Z = - k 1 – k 2 max II 2X 1 - X 2 -S 1 +k 1 = 4 X 2 + 2X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 +k 2 = 8 IIIX 1, X 2, X 3, S 1, S 2 0 Die Zweiphasenmethode

50 Elimination der Basisvariablen (k) aus der Zielfunktion durch Addition der Gleichungen in II zur Zielfunktion, die ein k beinhalten: I `Z = - k 1 – k 2 max II 2X 1 - X 2 -S 1 +k 1 = 4 X 2 + 2X 3 +S 2 = 15 X 1 + X 3 +k 2 = 8 IIIX 1, X 2, X 3, S 1, S 2 0 Die Zweiphasenmethode

51 X1X1 X2X2 X3X3 S1S1S2S2 k1k1 k2k2 r.S.Quot = = 1+0+0= = 0+0+0= = = = Nebenrechnung in einer Tabelle: Zeile 1 (Z) + Zeile 3 + Zeile 5 ergibt die neue Zielfunktion Z. `Z Z neu

52 Die Zweiphasenmethode X1X1 X2X2 X3X3 S1S1S2S2 k1k1 k2k2 r.S.Quot Zur besseren Übersicht sind im ersten Simplextableu zwei Zielfunktionen abgebildet. Die untere Zielfunktionszeile stellt das Ergebnis der Addition dar. `Z Z neu

53 X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 k1k1 k2k2 r.S.Quot. Z k1k S2S k2k Lösen des Simplextableaus in der ersten Phase um eine erste zulässige Basislösung zu gewinnen. Achtung S 1 ist keine Basisvariable. Ordnen der Basisvarialen: X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z k1k S2S k2k

54 Bestimmen einer neuen Basisvariablen: X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z k1k S2S k2k X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z0 X1X1 1-0,50 0,5002 S2S2 0 k2k2 0 X1 wird neue Basisvariable dann folgt die Umrechnung der Pivotzeile: Wert/ Pivotelement:

55 Ausfüllen der restlichen Werte: X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z k1k S2S k2k X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z00,51 -1,5006 X1X1 1-0,50 0,5002 S2S k2k2 00,51 -0,5016 Wert – (Zeilenwert x Spaltenwert / Pivotelement):

56 2. Iteration: X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z 00,51 -1,5006 X1X1 1-0,50 0,5002- S2S ,5 k2k2 00,51 -0,50166 X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z 0 X1X1 0 S2S2 0 X3X3 1 Bestimmen einer neuen Basisvariablen:

57 2. Iteration: X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z 00,51 -1,5006 X1X1 1-0,50 0,5002- S2S ,5 k2k2 00,51 -0,50166 X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z X1X1 1-0,50 0,5002 S2S X3X3 00,51 -0,5016 Bestimmen der restliche Werte:

58 Durch Weglassen der Spalten mit den künstlichen Variablen k, kommt man zu einem Gleichungssystem von kanonischer Form: X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 k1k1 S2S2 k2k2 r.S.Quot. Z X1X1 1-0,50 0,5002 S2S X3X3 00,51 -0,5016 Basisvariablen:

59 Aufbauend auf dieses Gleichungssystem, wird nun die ursprüngliche Aufgabe gelöst: Die ursprüngliche Zielfunktion Z = 2X 1 + X 2 + 2X 3 soll nur durch die Nichtbasisvariablen ausgedrückt werden. (in diesem Fall X 2 ) Die Zweiphasenmethode

60 Dies wird durch Elimination der Basisvariablen X 1 und X 3 aus der Zielfunktion erreicht. Die Zweiphasenmethode

61 Subtraktion des 2-fachen der 1. wie des 2-fachen der 3. Zeile von der Zielzeile: Nebenrechnung: Nebenrechnung X1X2X3S1S2 Z |2x Neue Zielzeile: |2x

62 Neues Starttableau: X1X1 X2X2 X3X3 S1S1 S2S2 r.S.Quot. Z X1X1 1-0,50 02 S2S X3X3 00,51 06 Ordnen nach Basisvarialen: X 2 S1S1 X1X1 S2S2 X3X3 r.S.Quot. Z X1X1 -0, S2S X3X3 0,

63 Neues Starttableau: Bestimmen des Pivotelements: X 2 S1S1 X1X1 S2S2 X3X3 r.S.Quot. Z X1X1 -0, S2S X3X3 0, X 2 S1S1 X1X1 S2S2 X3X3 r.S.Quot. Z X1X1 08 S2S2 03 X Ergebnistableau mit Z = 28, X1 = 8, X2 = 12, S2 = 3:

64 Beispiel Übungsklausur zur Zweiphasenmethode:


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