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Der Simplexalgorithmus. Typische Aufgabenstellung: In einem Betrieb werden aus drei Grundstoffen G 1 ( zur Verfügung stehen 45 t ) G 2 ( zur Verfügung.

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Präsentation zum Thema: "Der Simplexalgorithmus. Typische Aufgabenstellung: In einem Betrieb werden aus drei Grundstoffen G 1 ( zur Verfügung stehen 45 t ) G 2 ( zur Verfügung."—  Präsentation transkript:

1 Der Simplexalgorithmus

2 Typische Aufgabenstellung: In einem Betrieb werden aus drei Grundstoffen G 1 ( zur Verfügung stehen 45 t ) G 2 ( zur Verfügung stehen 11 t ) G 3 ( zur Verfügung stehen 27 t ) die beiden Produkte P 1 und P 2 hergestellt. Für eine Einheit P 1 benötigt man: 3t von G 1, 1t von G 2 und 3t von G 3. Für eine Einheit P 2 benötigt man: 5t von G 1, 1t von G 2 und 1t von G 3. Der Nettogewinn pro produzierter Einheit P 1 : 4 Euro pro produzierter Einheit P 2 : 3 Euro. Durch einen Produktionsplan ist der Nettogewinn zu maximieren!

3 Mathematisches Modell x 1 : Anzahl der herzustellenden Einheit P 1 x 2 : Anzahl der herzustellenden Einheit P 2 Zielfunktion: f(x 1, x 2 ) = 4 x x 2 = max oder ( f(x 1, x 2 ) = 4 x 1 3 x 2 = min) Nebenbedingungen: 3x 1 + 5x x x x 1 + 1x 2 27 x 1, x 2 0

4 Wie findet man den maximalen Nettogewinn? Zielfunktion: f(x 1, x 2 ) = 4x x 2 = max Nebenbedingungen: I)3x x 2 45 II) x 1 + x 2 11 III) 3x 1 + x 2 27 x2x2 x1x1

5 Die punktierten Geraden entsprechen einem konstanter Gewinn C. Gewinn maximieren : Gerade g soweit wie möglich vom Ursprung weg nach außen verschieben. Die Lösung ist also immer ein Eckpunkt. Hier: P(8/3), also C = 41 Zielfunktion: f(x 1, x 2 ) = 4x x 2 = Gewinn (= maximieren!) g: 4x x 2 = C (konst.) x 2 = - 4/3 x 1 + C/3

6 Ergebnis: Die Zielfunktion nimmt ihren optimalen Wert in (mindestens) einer der Ecken des konvexen Polyeders an !

7 Erfinder: George B. Dantzig Geb. : 8. Nov 1914 Portland, Oregon, USA - arbeitete als Zivilist im Pentagon; war mathematischer Berater für den obersten Rechnungsprüfer der us- amerikanischen Air Force. - suchte 1947 nach einer Lösungsmethode

8 Zulässiges Gebiet bildet ein Polytop (Simplex) Das Optimum befindet sich an einer Ecke ! ZF hat an (fast) jeder Ecke einen anderen Wert wähle eine Ecke, wandere an den Kanten entlang zum nächsten Eckpunkt und verbessere den ZF-Wert!

9 Beispiel 1 NB (in Normalform): 3x 1 + 5x 2 + x 3 =4 x 1 + x 2 + x 4 =11 3x 1 + x 2 + x 5 =27 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 ZF : f(x 1, x 2 ) = 4 x x x x x 5 = max

10 Was kann man über die Ecken aussagen ? NB (in Normalform): 3x 1 + 5x 2 + x 3 =4 x 1 + x 2 + x 4 =11 3x 1 + x 2 + x 5 =27 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 ZF : f(x 1, x 2 ) = 4 x x x x x 5 = max Es ist n = 5 (Variablenzahl), m = 3 (Anzahl der Gleichungen) wenn man nun n – m = 2 Variablen gleich Null setzt, dann erhält man ein anderes LGS mit m Variablen und m Gleichungen. Eine Lösung eines solchen LGS heißt Basislösung und die Variablen, die nicht Null sind bilden eine Basis. Ecken haben 2 Nullkomponenten und eine Basislösung.

11 Erste Ecke bzw. erste Lösung des LGS NB (in Normalform): 3x 1 + 5x 2 + x 3 =4 x 1 + x 2 + x 4 =11 3x 1 + x 2 + x 5 =27 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 ZF : f(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = 4 x x x x x 5 = max Erste Ecke (sofort ersichtlich): x 1 = ( 0, 0, 4, 11, 27) f(x 1 ) = 0 ; entspricht im x 1 / x 2 - Koordinatensystem der Ursprungsecke. Wandern nun in x 1 - Richtung, da in diese Richtung die Zielfunktion am meisten wächst (Koeffizient in der Zielfunktion ist am größten).

12 Tafelanschrieb

13 Aufstellen der Simplextableaus NB:3x 1 + 5x 2 + x 3 =4 x 1 + x 2 + x 4 =11 3x 1 + x 2 + x 5 =27 ZF : f(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = 4 x x x x x 5 = max f(x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) = – 4 x 1 – 3 x x x x 5 = max = f (x 1 )

14 = f (x 1 ) = f (x 1 )

15 = f (x 1 ) /318 02/301-1/32 11/ /3004/3 36 = f (x 1 )

16 /301-1/32 11/ /3004/3 36 = f (x 1 ) /301-1/32 11/ /3004/3 36 = f (x 1 )

17 /301-1/32 11/ /3004/3 36 = f (x 1 ) /2-1/ / /21/2 41 = f (x 1 )


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