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Der Simplexalgorithmus
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Typische Aufgabenstellung:
In einem Betrieb werden aus drei Grundstoffen G1 ( zur Verfügung stehen 45 t) G2 ( zur Verfügung stehen 11 t) G3 ( zur Verfügung stehen 27 t) die beiden Produkte P1 und P2 hergestellt. Für eine Einheit P1 benötigt man: 3t von G1, 1t von G2 und 3t von G3 . Für eine Einheit P2 benötigt man: 5t von G1, 1t von G2 und 1t von G3 . Der Nettogewinn pro produzierter Einheit P1 : 4 Euro pro produzierter Einheit P2 : 3 Euro. Durch einen Produktionsplan ist der Nettogewinn zu maximieren!
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Mathematisches Modell
x1 : Anzahl der herzustellenden Einheit P1 x2 : Anzahl der herzustellenden Einheit P2 Zielfunktion: f(x1, x2) = x1 + 3 x2 = max oder ( f(x1, x2) = 4 x1 3 x = min) Nebenbedingungen: 3x x2 45 1x x2 11 3x x2 27 x1 , x2 0
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Wie findet man den maximalen Nettogewinn?
Zielfunktion: f(x1, x2) = 4x1 + 3 x2 = max Nebenbedingungen: 3x1 + 5 x2 45 II) x1 + x2 11 III) 3x1 + x2 27 x2 x1
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Zielfunktion: f(x1, x2) = 4x1 + 3 x2 = Gewinn (= maximieren!) g: 4x1 + 3 x2 = C (konst.) x2 = - 4/3 x1 + C/3 Die punktierten Geraden entsprechen einem konstanter Gewinn C. „Gewinn maximieren“ : Gerade g soweit wie möglich vom Ursprung weg nach außen verschieben. Die Lösung ist also immer ein Eckpunkt. Hier: P(8/3), also C = 41
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Ergebnis: Die Zielfunktion nimmt ihren optimalen Wert in (mindestens) einer der Ecken des konvexen Polyeders an !
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Erfinder: George B. Dantzig
Geb. : 8. Nov 1914 Portland, Oregon, USA arbeitete als Zivilist im Pentagon; war mathematischer Berater für den obersten Rechnungsprüfer der us-amerikanischen Air Force. suchte 1947 nach einer Lösungsmethode
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Zulässiges Gebiet bildet ein Polytop (Simplex)
Das Optimum befindet sich an einer Ecke ! ZF hat an (fast) jeder Ecke einen anderen Wert wähle eine Ecke, wandere an den Kanten entlang zum nächsten Eckpunkt und verbessere den ZF-Wert!
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Beispiel 1 NB (in Normalform): 3x1 + 5x2 + x3 = 4 x x x4 = 11 3x1 + x x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5 0 ZF : f(x1, x2) = x x x3 + 0 x x = max
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Was kann man über die Ecken aussagen ?
NB (in Normalform): 3x1 + 5x2 + x3 = 4 x x x4 = 11 3x1 + x x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5 0 ZF : f(x1, x2) = 4 x x x3 + 0 x x = max Es ist n = 5 (Variablenzahl), m = 3 (Anzahl der Gleichungen) wenn man nun n – m = 2 Variablen gleich Null setzt, dann erhält man ein anderes LGS mit m Variablen und m Gleichungen. Eine Lösung eines solchen LGS heißt Basislösung und die Variablen, die nicht Null sind bilden eine Basis. Ecken haben 2 Nullkomponenten und eine Basislösung.
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Erste Ecke bzw. erste Lösung des LGS
NB (in Normalform): 3x1 + 5x2 + x3 = 4 x x x4 = 11 3x1 + x x5 = 27 x1 , x2, x3 , x4 , x5 0 ZF : f(x1, x2, x3, x4, x5) = 4 x x x3 + 0 x x = max Erste Ecke (sofort ersichtlich): x1 = ( 0, 0, 4, 11, 27) f(x1) = 0 ; entspricht im x1 / x2 - Koordinatensystem der Ursprungsecke. Wandern nun in x1 - Richtung, da in diese Richtung die Zielfunktion am meisten wächst (Koeffizient in der Zielfunktion ist am größten).
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Tafelanschrieb
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Aufstellen der Simplextableaus
NB: 3x1 + 5x2 + x3 = 4 x x x4 = 11 3x1 + x x5 = 27 ZF : f(x1, x2, x3, x4, x5) = x x x3 + 0 x x5 = max f(x1, x2, x3, x4, x5) = – 4 x1 – 3 x x3 + 0 x x5 = max 3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1)
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3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1) 3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1)
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3 5 1 45 11 27 -4 -3 0 = f (x1) 4 1 -1/3 18 2/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1)
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4 1 -1 18 2/3 -1/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1) 4 1 -1 18 2/3 -1/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1)
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4 1 -1 18 2/3 -1/3 2 1/3 9 -5/3 4/3 36 = f (x1) 1 -6 6 3/2 -1/2 3 2/3 8 5/2 1/2 41 = f (x1)
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