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Zeitreihenanalyse WS 2003/2004 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften.

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Präsentation zum Thema: "Zeitreihenanalyse WS 2003/2004 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften."—  Präsentation transkript:

1 Zeitreihenanalyse WS 2003/2004 Definition einer Zeitreihe, Eigenschaften Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Fouriertransformationen, Powerspektrum, Lomb-Scargle Methode Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis Kausalität, Transferfunktionen, multivariate Methoden Skalierung, (Multi-)Fraktale Komplexität und Information von Zeitreihen Wavelets Michael Hauhs/ Holger Lange

2 Ökosystem Wissenschaften einfacher Systeme Physik Chemie Mathematik Kontexte der Veranstaltung Wissenschaften komplexer Systeme Biologie Ökologie Sozial- Wirtschaftswissenschaften Ingenieur- Wissenschaften Informatik Umwelttechnik Kreislaufwirtschaft Nutzungstraditionen Land- Forstwirtschaft Wasserwirtschaft Naturschutz

3 Spezial- Wissenschaften: Biogeografie Bodenkunde Geologie Hydrologie Meteorologie Toxikologie... Wissenschaften einfacher Systeme Kontexte der Veranstaltung Das Lehrangebot der Ökologischen Modellbildung Wissenschaften komplexer Systeme Ingenieur- Wissenschaften Nutzungstraditionen Einführung Ökologie G5 Modellbildung in der Geoökologie G5 Ökologische Modellbildung M103 Entwicklung von Simulations- Modellen M103 Zeitreihenanalyse M103, 409, 509

4 Lehrveranstaltungen im WS 04/05 Zeitreihenanalyse (Do 11-13): –Methoden Auswertung von Monitoringdaten, die internen Prozesse der zugehörigen Systeme sind unbekannt. –Praktikum am Ende des Semesters Umweltinformationssysteme (Mi 8-10) –Methoden zu Organisation und Bewertung von Daten und Abläufen im Umweltbereich Simulation von sozialen und ökologischen Systemen ( Wallenfels) –Agentensimulationen, zusammen mit P&E (Hegselmann) Mustererkennung in der Fernerkundung terrestrischer Ökosysteme (Lange/Lischeid) –Blockseminar, nach Vereinbarung Entwicklung von Simulationsmodellen (M103) (Knauft) (Di 12-13, Mi 14-17) –Vorlesung (1) mit Praktikum (3) zum Erlernen einer Simulationssprache (Vensim)

5 Literatur zum Thema K.W. Hipel und A.I. McLeod: Time Series Modelling of Water Resources and Environmental Systems, Elsevier 1994 H. Tong: Non-linear Time Series, Oxford Science Publ R. Schlittgen: Angewandte Zeitreihenanalyse, Oldenbourg 2001 Brillinger, D.R. (1981): Time Series. Data Analysis and Theory. J. Honerkamp: Stochastic Dynamical Systems, VCH 1994

6 Wozu Zeitreihenanalyse ? Direkteste Verbindung zur experimentellen Beschreibung von Systemen (Datenerhebung) kommt (i.d.R.) ohne Annahme von Prozessen aus kommt mit gar keinem bis wenigen Parametern aus konkrete empirische Beschreibung des zeitlich variablen (dynamischen) Verhaltens Vorhersage oft erfolgreicher als bei Prozessmodellen Klassifikation von Modellen nach ihrer Erklärungsleistung Sensibler Test von Modellen ("mehr als r 2 ")

7 Zugänge aus der Physik: - Suche nach der Dynamik des erzeugenden Systems (z.B. Geophysik, Meteorologie) - der typische Zugang in den Geowissenschaften aus der Mathematik: - als Beispiel für geordnete (oder partiell geordnete) Mengen aus den Ingenieurwissenschaften (z.B. Hydrologie): - als Ausdruck des empirischen Wissens (Abflüsse) aus der Modellbildung: - als wichtiges Beispiel zur Demonstration der heutigen technischen Möglichkeiten - gibt es einen typischen Zugang für Ökosysteme ?

8 Was ist eine Zeitreihe? Definition: Eine Zeitreihe ist eine Menge von Werten, die in einer festgelegten (und bekannten!) Reihenfolge vorliegen: Die Zuordnung der Werteposition zum Referenzzeitpunkt ist eine monotone Funktion Ist der zeitliche Abstand zweier Messungen konstant: heißt die Zeitreihe äquidistant. Es gilt dann Fehlt ein i in dieser Liste, hat die Zeitreihe eine Lücke. Wie behandelt man Lücken? Was ist eine Lücke bei Nicht-Äquidistanz?

9 Eigenschaften und Bezeichnungen bei Zeitreihen Univariate Zeitreihe: Eine (reellwertige) Variable an einem Ort gemessen Multivariate Zeitreihe: mehrere Variablen am selben Ort Mehrdimensionale Zeitreihe: eine Variable an verschiedenen Orten zu jeweils gleichen Zeitpunkten Äquidistante Zeitreihe Lückenfreiheit Homogenität: pdf ändert sich nicht mit der Zeit Generelles Problem: viele Eigenschaften beziehen sich auf / sind nur definiert für unendlich lange Zeitreihen In der Mathematik werden Zeitreihen oft als Realisation eines stochastischen Prozesses definiert (oft unbrauchbar...)

10 Zeitreihen (ein Wettbewerb)

11 Zeitreihen: Eigenschaften

12 Grundlegende Definitionen I Eine Datenreihe liegt vor. Mittelwert: Varianz (Standardabweichung: ) q-tes zentrales Moment: Variationskoeffizient: Faustregel : Zur Berechnung des q-ten Moments benötig man mind. 2q Datenpunkte

13 Grundlegende Definitionen II Häufigkeitsverteilung: Histogramme Binbreite: Median: 50% der Werte sind kleiner Faustregel : 95% der Bins sollten je mind. 5 Datenpunkte enthalten Häufigkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilungen (pdf´s) Modus/Modalwert: Position des Maximums der pdf x%-Quantil: x % der Werte sind kleiner

14 Grundlegende Definitionen III Autokorrelationsfunktion: Nur Lags k < N/4 (Puristen) bzw. k < N/2 (Pragmatiker) vertrauen Faustregeln: Mindestens 30 Datenpunkte Daten müssen im Prinzip äquidistant vorliegen; Lücken sind ein echtes Problem! Autokovarianz:

15 Wann ist eine Zeitreihe eine Zeitreihe? Gibt es signifikante Autokorrelationen, ist die zeitliche Reihenfolge wichtig. Die einzelnen Werte sind dann nicht unabhängig. Unabhängigkeit erreicht man durch Aggregation Wahl einer gröberen Messauflösung Falls unabhängig: Zeitreihen als Realisationen eines stochastischen Prozesses I.a. liegen Mischtypen vor (z.B. additives Rauschen)

16 Test für (lineare) Unkorreliertheit Liegen weniger als 5% der Werte ausserhalb des Intervalls, liegen keine signifikanten Korrelationen vor Autokorrelationslänge Berechnung der Autokorrelation. Für unkorrelierte Daten gilt: Daher sind die 95%-Signifikanzlinien (evtl. Verbesserungen für kleine n ) (normalverteilt) Partielle Autokorrelation (PACF) später (AR-Modellierung)

17 Beispiel: Wolfers Sonnenfleckenrelativzahlen

18 Autokorrelation der Sonnenflecken

19 Lang- und Kurzzeitgedächtnis Definition: Gedächtnis einer Zeitreihe Eine Zeitreihe hat kurzes Gedächtnis

20 Autokovarianzmatrix symmetrisch positiv definit für stationäre Zufallsprozesse für multivariates Gaußsches Rauschen ausreichend zur vollständigen Charakterisierung (Mittel über alle Fenster)

21 Kreuzkorrelation zweier Zeitreihen

22 Eigenschaften der Kreuzkorrelation ist nicht symmetrisch: 95% Signifikanz: Lag-Beschränkung:

23 CCF Abstand (Jahre) Kreuzkorrelation: RP Trend gegen Sonnenflecken

24 Arten von Kausalitätsbeziehungen BeziehungEigenschaften der Kreuzkorrelation X verursacht Y Y verursacht X Instantane Kausalität Rückkopplung Y verursacht nicht X X und Y sind unabhängig

25 Kausalität für Zeitreihen nach Granger Gegeben zwei Zeitreihen und eine Informationsmenge die mindestensenthält. Ein-Schritt-Vorwärts-Prädiktor für mit minimalem mittleren quadratischen Fehler Def.: X verursacht Y X beeinflusst Y instantan X und Y sind rückgekoppelt X verursacht Y und Y verursacht X

26 Spezialfall: Korrelationskoeffizient mindestens 4 gemeinsame Datenpunkte (evtl. Ausdünnen) ist t-verteilt mit n-2 Freiheitsgraden Bei 95% Signifikanz: sehr robust gegen Nicht-Normalität

27 Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen Problem vieler Zeitreihen-Modelle und Analysemethoden: u.a. Stationarität vorausgesetzt Zwei Auswege: Geeignete Modellklasse wählen Vorbehandlung der Zeitreihen (Ggf. wünschenswerte) Eigenschaften von Zeitreihen: Ergodizität Stationarität Linearität Homoskedastizität Normalität Trendfreiheit (deterministisch/stochastisch) Unkorreliertheit (Identically Independently Distributed, IID)


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