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Die Ableitung im. Erinnerung Die Ableitung bei Funktionen Wir sehen: die rote Funktion (Tangente) ist die Gerade, die die Abbildung f am Punkt P am besten.

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Präsentation zum Thema: "Die Ableitung im. Erinnerung Die Ableitung bei Funktionen Wir sehen: die rote Funktion (Tangente) ist die Gerade, die die Abbildung f am Punkt P am besten."—  Präsentation transkript:

1 Die Ableitung im

2 Erinnerung Die Ableitung bei Funktionen Wir sehen: die rote Funktion (Tangente) ist die Gerade, die die Abbildung f am Punkt P am besten approximiert.

3 Verallgemeinerung im Idee: Verallgemeinerung des Prinzips der Tangente im Mehrdimensionalen Betrachte dafür eine Funktion, wie etwa Was ist nun die Ableitung im Punkt a?

4 Aus der VL, Def. 2.1, ist die Abbildung in einer Umgebung von t = 0 definiert.

5 Der blaue Strahl (also die Abbildung ) ist im Endeffekt eindimensional Die Ableitung von an der Stelle 0 nennt man die Richtungsableitung von f bei a in Richtung v. Grafik blau: grün:

6 Klar: Gleiche Prozedur am gleichen Punkt a nur in eine andere Richtung.

7 Die beiden Geraden spannen eine Ebene auf: Fakt: Jede weitere Richtungsableitung liegt in dieser Ebene

8 Oft nimmt man bei der Richtungsableitung als Richtung die x- bzw. y- Richtung, die sog. Partiellen Ableitungen. (Berechnung: Ersetze für v einfach bzw. ) Die totale-/Fréchet Ableitung in a ist per Definition die lineare Abbildung L, die f bei a am besten approximiert, also aufzufassen mit unserer Tangentialebene.

9 Zusatz: Existieren alle Richtungsableitungen in einem Punkt a und ist die Abbildung linear, so istdie sog. Gâteaux-Ableitung von f in a und f heißt Gâteaux-diffbar in a. Beachte: Fréchet-d.b. Gâteaux-d.b alle Richtungsabl. ex.


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