Die Ableitung im.

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1 Die Ableitung im

2 Erinnerung Die Ableitung bei Funktionen Wir sehen:
die rote Funktion (Tangente) ist die Gerade, die die Abbildung f am Punkt P am besten approximiert.

3 Verallgemeinerung im Idee: Verallgemeinerung des „Prinzips der Tangente“ im Mehrdimensionalen Betrachte dafür eine Funktion , wie etwa Was ist nun die Ableitung im Punkt a?

4 Aus der VL, Def. 2.1, ist die Abbildung
in einer Umgebung von t = 0 definiert.

5 Der blaue Strahl (also die Abbildung ) ist im Endeffekt „eindimensional“
Die Ableitung von an der Stelle 0 nennt man die Richtungsableitung von f bei a in Richtung v. Grafik blau: grün:

6 Klar: Gleiche Prozedur am gleichen Punkt a nur in eine andere Richtung.

7 Die beiden Geraden spannen eine Ebene auf:
Fakt: Jede weitere Richtungsableitung liegt in dieser Ebene

8 Oft nimmt man bei der Richtungsableitung als Richtung die x- bzw
Oft nimmt man bei der Richtungsableitung als Richtung die x- bzw. y- Richtung, die sog. Partiellen Ableitungen. (Berechnung: Ersetze für v einfach bzw. ) Die totale-/Fréchet Ableitung in a ist per Definition die lineare Abbildung L, die f bei a am besten approximiert, also aufzufassen mit unserer Tangentialebene.

9 Fréchet-d.b.  Gâteaux-d.b  alle Richtungsabl. ex.
Zusatz: Existieren alle Richtungsableitungen in einem Punkt a und ist die Abbildung linear, so ist die sog. Gâteaux-Ableitung von f in a und f heißt Gâteaux-diffbar in a. Beachte: Fréchet-d.b.  Gâteaux-d.b  alle Richtungsabl. ex. Tipp zur Berechnung der Richtungsableitung!