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Folie 1 §11 Skalarprodukt. Euklidische Räume (11.1) Definition: Das euklidische Standard-Skalarprodukt auf dem Vektorraum R n ist die Abbildung In einem.

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1 Folie 1 §11 Skalarprodukt. Euklidische Räume (11.1) Definition: Das euklidische Standard-Skalarprodukt auf dem Vektorraum R n ist die Abbildung In einem sehr abstrakten Sinne werden diese Größen durch ein Skalarprodukt auf eine Vektorraum beschrieben. Beispielsweise: Zur Geometrie gehören unbedingt auch Längen und Winkel. für Spaltenvektoren x und y aus R n mit den Komponenten x k bzw. y k, k = 1,2,... n. Dieses Skalarprodukt bestimmt die Länge oder Norm von Vektoren x aus R n durch 1o1o

2 Folie 2 Kapitel II, §11 x1x1 x2x2 x = (x 1,x 2 ) T Abbildung: Die Norm eines Vektors x in R 2 oder eines Vektors x = x 1 v + x 2 w für Vektoren v,w aus dem Grundraum (R n bzw. V mit euklidischem Skalarprodukt, vgl. 11.3). Das Skalarprodukt bestimmt auch den Winkel zwischen Vektoren x und y : 2 o Die Distanz zwischen Punkten P und Q aus R n ist d(P,Q) =. Beginnen wir mit y = (1,0) T und mit einem weiteren Vektor x der Länge 1 in R 2 : Ein solcher Vektor hat die Form

3 Folie 3 Kapitel II, §11 Es gilt also:. mit. x = (x 1,x 2 ) T Im Falle von und, also eine Drehung der Konfiguration um den Winkel Das Additionstheorem des Cosinus liefert nun:

4 Folie 4 Kapitel II, §11 In beiden Fällen lässt sich aus zurückgewinnen (bestimmen). Das gilt auch für Vektoren beliebiger Länge, wenn die Länge berücksichtigt wird. Daher kommen wir zur Definition: 3 o Der Winkel zwischen zwei Vektoren x und y aus V\{0} ist durch die Formel (Die Funktion cos hat auf dem Intervall eine Umkehrfunktion, cos –1 wie in der Analysisvorlesung in Kürze gezeigt werden wird). definiert. Beachte (Beweis in 11.6).

5 Folie 5 Kapitel II, §11 (11.2) Definition: Ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum V über R ist eine Abbildung 1 o σ ist bilinear, das heißt für alle r,s aus R und für alle x,y,v,w aus V gilt: mit den folgenden Eigenschaften: σ(rx + sy,v) = rσ(x,v) + sσ(y,v) σ(x,rv + sw) = rσ(x,v) + sσ(x,w). 3 o Es gibt eine Zerlegung V = V + + V - in Untervektorräume V + und V - von V mit σ(x,x) > 0 für x aus V + \{0} und σ(y,y) < 0 für y aus V - \{0}. 2 o σ ist symmetrisch, das heißt für x,y aus V gilt stets σ(x,y) = σ(y,x).

6 Folie 6 Kapitel II, §11 (11.3) Beispiele: 1 o V = R n. Das übliche euklidische Skalarprodukt: 2 o V = R 4. Das übliche Minkowski-Skalarprodukt: (11.4) Definition: Das Skalarprodukt heißt euklidisch, wenn V + = V und V - = {0} gilt, also wenn σ(x,x) > 0 für x aus V\{0}. für Spaltenvektoren x und y mit den Komponenten x k bzw. y k. Ein Vektorraum über R zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum. (11.3) Beispiel: 3 o Der Vektorraum = {x aus F: x ist quadratsummierbar} mit ist ein euklidischer Vektorraum.

7 Folie 7 Kapitel II, §11 In einem euklidischen Vektorraum V sind Norm bzw. Länge von Vektoren, Winkel zwischen Vektoren und Distanz zwischen Punkten genau wie in o -3 o definiert. (11.5) Lemma: Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt σ ( ) und der zugehörigen Norm Die Norm erfüllt dann die folgenden Eigenschaften. Für alle x,y aus V und alle r aus R gilt: 1o1o 2o2o 3 o (Dreiecksungleichung) (11.6) Ungleichungen von Cauchy-Schwarz: Sei V ein euklidi- scher Vektorraum mit Skalarprodukt Dann gilt für x,y aus V:

8 Folie 8 Kapitel II,§11 Beweis: Ohne Einschränkung der Allgemeinheit sei die Norm von y gleich 1. Setze (11.7) Definition: Unter einem euklidischen affinen Raum oder einfach einem euklidischen Raum verstehen wir einen affinen Raum (A,T,t) zusammen mit einem euklidischen Skalarprodukt auf dem R- Vektorraum T. Es gilt dann und daraus folgt die Behauptung.


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