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Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon.

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Präsentation zum Thema: "Polygone und Polyeder. Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon."—  Präsentation transkript:

1 Polygone und Polyeder

2 Reguläre Polygone Dreieck Quadrat Pentagon Hexagon Oktagon

3 120º 30º

4

5 108º 54º 72º 54º

6 108º 36º 72º 36º

7 108º 36º 72º 36º 1 1 y x 1

8 1 1 y x 1 A B C D E Dreieck ADF ist ähnlich Dreieck BCF. F Also.Aber.

9 1 1 y x 1 A B C D E F

10 Der Goldene Schnitt 1 x1-x

11 Konstruktion von 1 2

12 Pentagon: 1)Konstruiere das Goldene Dreieck 2)Konstruiere das Pentagon

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15 Welche regulären Polygone können mit Zirkel und Lineal konstruiert werden? Welche regulären Polygone können mit Zirkel und Lineal konstruiert werden? The reguläre Septagon (Heptagon) kann nicht mit Zirkel un Lineal konstruiert werden!

16 Platonische Körper Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele Flächen zusammen. Reguläre Polyeder, welche konvex sind und kongruente reguläre Polygone als Seitenflächen haben, und an jedem Eckpunkt treffen gleich viele Flächen zusammen. Es gibt genau fünf: Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder Es gibt genau fünf: Tetraeder, Cubus = Hexaeder, Oktaeder, Ikosaeder und Dodekaeder 2012

17 Beispiel Oktaeder Boot konvex nicht konvex

18 Photography by Gayla Chandler of a Fractal Nature http://www.public.asu.edu/~starlite/

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24 Warum fünf Platonische Körper? Schritt 1 : Peripheriewinkel der Seitenflächen Jede Seitenfläche ist ein reguläres Polygon Partition des Polygons in n Dreiecke Summe aller Winkel: Summe aller Winkel im Zentrum: Summe der Peripheriewinkel: Ein Peripheriewinkel:

25 Peripheriewinkel: Dreieck: Quadrat: Pentagon: Hexagon: Septagon: Warum fünf Platonische Körper?

26 Schritt 2: An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie- winkel kleiner als sein: An einem Eckpunkt muss die Summe der Peripherie- winkel kleiner als sein: Warum fünf Platonische Körper?

27 Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein:. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein:. Dreiecke: Warum fünf Platonische Körper?

28 Quadrat: Warum fünf Platonische Körper? Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein:. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein:.

29 Pentagon: Warum fünf Platonische Körper? Schritt 3: In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. In einem Eckpunkt treffen mindestens 3 Seitenflächen zusammen. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein:. Also müssen die Peripheriewinkel kleiner als sein:.

30 Flächen, Kanten, Ecken, … FlächenKanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke 46433 Tetraeder

31 FlächenKanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke 612843 Hexaeder Flächen, Kanten, Ecken, …

32 FlächenKanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke 812634 Oktaeder Flächen, Kanten, Ecken, …

33 FlächenKanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke 20301235 Ikosaeder Flächen, Kanten, Ecken, …

34 FlächenKanten Ecken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke 12302053 Dodekaeder Flächen, Kanten, Ecken, …

35 FlächenKantenEcken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke 46433 612843 8 634 20301235 302053

36 FlächenKantenEcken Kanten pro Fläche Flächen an einer Kante 46433 612843 8 634 20301235 302053 Euler-Zahl

37 FlächenKantenEcken Kanten pro Fläche Flächen an einer Ecke 46433 612843 8 634 20301235 302053 Duale Polyeder

38 Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

39 Duale Polyeder Jede Fläche wird mit einer Ecke identifiziert:

40 Netze von Körpern

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46 Ein Netz aber verschiedene Körper:

47 Ein Körper aber verschiedene Netze:

48 Platonischer Körper Zahl der Netze Cubus11 Dodekaeder43380 Ikosaeder43380 Oktaeder11 Tetraeder2 Ein Körper aber verschiedene Netze:

49 Welcher Körper ist das? http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/

50 Welcher Körper ist das?

51 http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/geometry/polycuts/ Welcher Körper ist das?


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