Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Gegenstände der Geometrie. Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 2 Inhalt Quadrat Kreis Würfel Das Pentagramm Parkette --- Quadrat.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Gegenstände der Geometrie. Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 2 Inhalt Quadrat Kreis Würfel Das Pentagramm Parkette --- Quadrat."—  Präsentation transkript:

1 Gegenstände der Geometrie

2 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 2 Inhalt Quadrat Kreis Würfel Das Pentagramm Parkette --- Quadrat Kreis Würfel Das Pentagramm Parkette ---

3 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 3 1. Das Quadrat Gerade Linien in der Natur? Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, … Faltkanten. Rechte Winkel in der Natur? Schwerkraft zu Oberfläche: Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, … (daher der Name Lot bzw. lotrecht). Spiegelbild, … auf sich selbst gefaltete gerade Linie Gerade Linien in der Natur? Lichtstrahlen, fallende Körper, Wasseroberfläche, … Faltkanten. Rechte Winkel in der Natur? Schwerkraft zu Oberfläche: Fallende Wassertropfen, ruhendes Pendel, … (daher der Name Lot bzw. lotrecht). Spiegelbild, … auf sich selbst gefaltete gerade Linie

4 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 4 Das Quadrat Durch Falten erhält man ein Rechteck Aus einem Rechteck erhält man durch Falten ein Quadrat, dessen Seite gleich der kürzeren Seite des Rechtecks ist. Durch Falten erhält man ein Rechteck Aus einem Rechteck erhält man durch Falten ein Quadrat, dessen Seite gleich der kürzeren Seite des Rechtecks ist.

5 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 5 Symmetrien eines Quadrats Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man entlang der Spiegelachse faltet und die Figur mit sich selbst zur Deckung bringt. Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und 2 Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten. Man kann Spiegelsymmetrie dadurch entdecken, dass man entlang der Spiegelachse faltet und die Figur mit sich selbst zur Deckung bringt. Ein Quadrat hat 4 Symmetrieachsen: 2 Diagonalen und 2 Verbindungen gegenüberliegender Seitenmitten.

6 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 6 Aus einem Quadrat ein anderes Das Quadrat über der Diagonale hat die doppelte Fläche (ist doppelt so groß). Das Quadrat über der halben Diagonale hat die halbe Fläche (ist halb so groß). Das Quadrat über der Diagonale hat die doppelte Fläche (ist doppelt so groß). Das Quadrat über der halben Diagonale hat die halbe Fläche (ist halb so groß).

7 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 7 Fact sheet Quadrat Definition. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und gleichgroßen Winkeln. Alle Winkel eines Quadrats sind rechte Winkel. Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge a. A = a 2, U = 4a. Länge der Diagonale: a 2. Insbesondere: Bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die Diagonale die Länge 2. Definition. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und gleichgroßen Winkeln. Alle Winkel eines Quadrats sind rechte Winkel. Wir betrachten ein Quadrat der Seitenlänge a. A = a 2, U = 4a. Länge der Diagonale: a 2. Insbesondere: Bei einem Quadrat der Seitenlänge 1 hat die Diagonale die Länge 2.

8 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 8 2. Der Kreis Runde Dinge in der Welt? Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, … Durch Physik: Stein fällt ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne, Planeten, … Durch Abrollen: Rad, Lawine, … Durch den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen, Pizzateig, … Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, … Runde Dinge in der Welt? Durch Wachsen: Pflanzen, Bäume (Jahresringe), Äpfel, Pilze, … Durch Physik: Stein fällt ins Wasser, Schleuderbewegung, Sonne, Planeten, … Durch Abrollen: Rad, Lawine, … Durch den Herstellungsprozess: Vasen, Teller, Flaschen, Dosen, Pizzateig, … Sowie: Pupillen, Brillengläser, Fingerringe, Rundtanz, …

9 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 9 Wie kann man einen Kreis herstellen? Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, …) Dazu braucht man den Mittelpunkt nicht zu kennen Durch Abrollen (Teig, Knete, …) Punkte gleichen Abstands um den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel, …, Hammerwurf, … Mond um Erde, … Durch Übertragen eines schon vorhandenen Kreises (Teller, …) Dazu braucht man den Mittelpunkt nicht zu kennen Durch Abrollen (Teig, Knete, …) Punkte gleichen Abstands um den Mittelpunkt: Schnur, Zirkel, …, Hammerwurf, … Mond um Erde, …

10 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 10 Durchmesser Die längste Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist der Durchmesser; er geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse des Kreises. Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen. Die längste Strecke, die zwei Punkte einer Kreislinie verbindet, ist der Durchmesser; er geht durch den Mittelpunkt des Kreises. Jeder Durchmesser ist eine Symmetrieachse des Kreises. Der Kreis hat unendlich viele Symmetrieachsen.

11 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 11 Fact sheet Kreis Definition. Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand von einem festen Punkt (Mittelpunkt) haben. A = r 2, U = 2 r. ist transzendent. Das bedeutet insbesondere, dass man mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis kein flächengleiches Quadrat konstruieren kann (Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises). Definition. Ein Kreis ist der Ort aller Punkte, die den gleichen Abstand von einem festen Punkt (Mittelpunkt) haben. A = r 2, U = 2 r. ist transzendent. Das bedeutet insbesondere, dass man mit Zirkel und Lineal zu einem Kreis kein flächengleiches Quadrat konstruieren kann (Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises).

12 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite Der Würfel Vorkommen in der Natur: Kristalle Vorkommen in der Kultur: Mekka Herstellung einer Ebene Das Wort Würfel kommt von würfeln. Wenn man nur das entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man oft auch von einem Hexaeder (= Sechsflächner). (Man kann auch mit einem Tetraeder würfeln.) Vorkommen in der Natur: Kristalle Vorkommen in der Kultur: Mekka Herstellung einer Ebene Das Wort Würfel kommt von würfeln. Wenn man nur das entsprechende geometrische Objekt meint, spricht man oft auch von einem Hexaeder (= Sechsflächner). (Man kann auch mit einem Tetraeder würfeln.)

13 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 13 Würfelnetze Ein Netz ist ein zusammenhängender Bastelbogen. D.h. ein Netz ist eine ebene Figur, deren Teile die Seitenflächen sind, so dass man sie zu dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten kann. Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze. Wenn man einen Würfel konkret baut, braucht man auch Klebefalze. Wie viele? Ein Netz ist ein zusammenhängender Bastelbogen. D.h. ein Netz ist eine ebene Figur, deren Teile die Seitenflächen sind, so dass man sie zu dem räumlichen Objekt (hier: Würfel) zusammenfalten kann. Es gibt genau 11 verschiedene Würfelnetze. Wenn man einen Würfel konkret baut, braucht man auch Klebefalze. Wie viele?

14 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 14 Fact sheet Würfel Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten. (Es gilt die Eulersche Polyederformel: Anz. Ecken – Anz. Kanten + Anz. Flächen = 2.) Ein Würfel der Kantenlänge a hat das Volumen V = a 3 und die Oberfläche O = 6a 2. Ein Würfel hat 3+6 Symmetrieebenen. Der Würfel hat eine dreizählige Drehsymmetrie um die Raumdiagonalen. Es gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die Länge a 3. Ein Würfel hat 6 Flächen, 8 Ecken, 12 Kanten. (Es gilt die Eulersche Polyederformel: Anz. Ecken – Anz. Kanten + Anz. Flächen = 2.) Ein Würfel der Kantenlänge a hat das Volumen V = a 3 und die Oberfläche O = 6a 2. Ein Würfel hat 3+6 Symmetrieebenen. Der Würfel hat eine dreizählige Drehsymmetrie um die Raumdiagonalen. Es gibt 4 Raumdiagonalen; diese haben die Länge a 3.

15 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 15 Berühmtes Problem: Verdoppelung des Würfels Kann man – nur mit Zirkel und Lineal – zu einem gegebenen Würfel einen Würfel mit genau doppeltem Volumen konstruieren? Antwort: Nein! Das kann man mathematisch beweisen! Kann man – nur mit Zirkel und Lineal – zu einem gegebenen Würfel einen Würfel mit genau doppeltem Volumen konstruieren? Antwort: Nein! Das kann man mathematisch beweisen!

16 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 16 Würfel: Aufgaben Wenn man einen Würfel mit einem geraden Schnitt durchschneidet, welche der folgenden Schnittflächen können dann auftreten? Gleichseitiges Dreieck, Gleichschenkliges, aber nicht gleichseitiges Dreieck, Quadrat, Rechteck (kein Quadrat), reguläres Sechseck?

17 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite Das Pentagramm Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern (griech.) penta = fünf Auftreten: Weihnachtssterne Sterne auf Flaggen (U.S.A., …) Symbol für Pythagoräer, RAF, San Pellegrino, … Pentagramm = 5-zackiger, regelmäßiger Stern (griech.) penta = fünf Auftreten: Weihnachtssterne Sterne auf Flaggen (U.S.A., …) Symbol für Pythagoräer, RAF, San Pellegrino, …

18 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 18 Pentagramm: Eigenschaften Zeichnen: Achte auf durchgehende Linien! Wenn man die Spitzen verbindet, erhält man ein reguläres Fünfeck. Falten eines Fünfecks Umgekehrt: Wenn man in ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen zeichnet, erhält man ein Pentagramm. Im Innern eines Pentagramms erkennt man ein reguläres Fünfeck, in diesem wieder ein Pentagramm, in diesem wieder ein Fünfeck usw. usw. Zeichnen: Achte auf durchgehende Linien! Wenn man die Spitzen verbindet, erhält man ein reguläres Fünfeck. Falten eines Fünfecks Umgekehrt: Wenn man in ein reguläres Fünfeck seine Diagonalen zeichnet, erhält man ein Pentagramm. Im Innern eines Pentagramms erkennt man ein reguläres Fünfeck, in diesem wieder ein Pentagramm, in diesem wieder ein Fünfeck usw. usw.

19 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 19 Fact sheet Pentagramm Das Pentagramm ist in enger Weise mit dem goldenen Schnitt verbunden. (Dieser ist als Zahl etwa gleich 0,618… D.h. ein Punkt teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, wenn er bei etwa 61,8% der Strecke liegt.) Die inneren Ecken teilen die Strecke Spitze zu Spitze im goldenen Schnitt. Das Verhältnis einer Strecke Spitze zu Spitze zu der Verbindungsstrecke von zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist der goldene Schnitt. Usw. Das Pentagramm ist in enger Weise mit dem goldenen Schnitt verbunden. (Dieser ist als Zahl etwa gleich 0,618… D.h. ein Punkt teilt eine Strecke im goldenen Schnitt, wenn er bei etwa 61,8% der Strecke liegt.) Die inneren Ecken teilen die Strecke Spitze zu Spitze im goldenen Schnitt. Das Verhältnis einer Strecke Spitze zu Spitze zu der Verbindungsstrecke von zwei nebeneinander liegenden Spitzen ist der goldene Schnitt. Usw.

20 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite Parkette Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, … Idee: Man möchte die ein beliebig großes Stück der Ebene überdecken. Definition: Ein Parkett besteht aus Parkettsteinen, die insgesamt die gesamte Ebene lückenlos und überschneidungsfrei überdecken. Vorbilder: Bienenwaben, Schachbrett, Fliesen, Pflastersteine, … Idee: Man möchte die ein beliebig großes Stück der Ebene überdecken. Definition: Ein Parkett besteht aus Parkettsteinen, die insgesamt die gesamte Ebene lückenlos und überschneidungsfrei überdecken.

21 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 21 Reguläre Parkette Wir betrachten nur Parkette … aus Vielecken, … bei denen je zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in einer Ecke oder eine ganzen Kante übereinstimmen. Definition. Ein Parkett heißt regulär, wenn jeder Parkettstein ein reguläres n-Ecke ist (jeweils dasselbe n). Beispiele von regulären Parketten: n = 6 (Typ Bienenwaben), n = 4 (Typ Schachbrett), n = 3 (Typ Halmabrett). Wir betrachten nur Parkette … aus Vielecken, … bei denen je zwei Parkettsteine überhaupt nicht, in einer Ecke oder eine ganzen Kante übereinstimmen. Definition. Ein Parkett heißt regulär, wenn jeder Parkettstein ein reguläres n-Ecke ist (jeweils dasselbe n). Beispiele von regulären Parketten: n = 6 (Typ Bienenwaben), n = 4 (Typ Schachbrett), n = 3 (Typ Halmabrett).

22 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 22 Charakterisierung regulärer Parkette Satz (Kepler). Die einzigen regulären Parkette sind die aus Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken. Beweis. Idee: Betrachte die Situation an einer Ecke. Dort müssen mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen. n = 5: Drei Steine sind zu wenig, vier schon zuviel. n > 6: Schon drei Steine an einer Ecke sind zu viel. Bemerkung: Im allgemeinen gibt es unglaublich viele verschiedenen Parkette. Ihre Entdeckung und Beschreibung ist ein blühendes mathematisches Forschungsgebiet. Satz (Kepler). Die einzigen regulären Parkette sind die aus Dreiecken, Quadraten oder Sechsecken. Beweis. Idee: Betrachte die Situation an einer Ecke. Dort müssen mindestens 3 Parkettsteine zusammenkommen. n = 5: Drei Steine sind zu wenig, vier schon zuviel. n > 6: Schon drei Steine an einer Ecke sind zu viel. Bemerkung: Im allgemeinen gibt es unglaublich viele verschiedenen Parkette. Ihre Entdeckung und Beschreibung ist ein blühendes mathematisches Forschungsgebiet.

23 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite Die Pyramide Eine Pyramide hat eine Spitze und eine Grundfläche. Die Grundfläche ist (meist) ein reguläres n-Eck. Man spricht von einer n-seitigen Pyramide. Bei den ägyptischen Pyramiden ist die Grundfläche ein Quadrat. Die Seitenflächen sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke. Eine Pyramide hat eine Spitze und eine Grundfläche. Die Grundfläche ist (meist) ein reguläres n-Eck. Man spricht von einer n-seitigen Pyramide. Bei den ägyptischen Pyramiden ist die Grundfläche ein Quadrat. Die Seitenflächen sind n kongruente gleichschenklige Dreiecke.

24 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 24 Daten Cheopsyramide Erbaut ca v. Chr. Grundseite 230 m, Höhe 146 m (jetzt 137 m) 2,5 Millionen m 3 Mauerwerk Erbaut ca v. Chr. Grundseite 230 m, Höhe 146 m (jetzt 137 m) 2,5 Millionen m 3 Mauerwerk

25 Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 25 Fact Sheet Pyramide Oberfläche = Fläche der Grundseite + n × Fläche der Seitendreiecke Volumen = 1/3 × Grundfläche × Höhe Aufgaben: 1. Welche Maße muss ein gleichschenkliges Dreieck haben, damit es Seitenfläche einer Pyramide mit gegebener Grundseite sein kann? 2. Entwerfen Sie einen Bastelbogen für eine 5-seitige Pyramide. Oberfläche = Fläche der Grundseite + n × Fläche der Seitendreiecke Volumen = 1/3 × Grundfläche × Höhe Aufgaben: 1. Welche Maße muss ein gleichschenkliges Dreieck haben, damit es Seitenfläche einer Pyramide mit gegebener Grundseite sein kann? 2. Entwerfen Sie einen Bastelbogen für eine 5-seitige Pyramide.


Herunterladen ppt "Gegenstände der Geometrie. Objekte der Geometrie © Beutelspacher Dezember 2003 Seite 2 Inhalt Quadrat Kreis Würfel Das Pentagramm Parkette --- Quadrat."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen