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¥ V Unbegrenzt Es hat aber die Betrachtung über das Unbegrenzte eine Schwierigkeit; denn es ergibt sich viel Unmögliches, mag man aufstellen, daß es.

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Präsentation zum Thema: "¥ V Unbegrenzt Es hat aber die Betrachtung über das Unbegrenzte eine Schwierigkeit; denn es ergibt sich viel Unmögliches, mag man aufstellen, daß es."—  Präsentation transkript:

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2 ¥ V Unbegrenzt

3 Es hat aber die Betrachtung über das Unbegrenzte eine Schwierigkeit; denn es ergibt sich viel Unmögliches, mag man aufstellen, daß es nicht existiere oder daß es existiere. Aristoteles ( ) Das Unendliche (apeiron) ist unerschöpflich. Wo der Krieger auch steht, kann er seinen Speer weiter ausstrecken. Anaximander ( ) von Milet

4 ohne Ende: unbegrenzt, aber jeder Punkt erreichbar

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6 ohne Ende und unerreichbar

7 Platon ( ): Lichtstrahlen sind Geraden. Grosseteste ( ): Der Euklidische Raum ist überall und in jeder Richtung derselbe. Dies gilt auch für die Lichtausbreitung.

8 Pythagoreer: Die Grenze ist das Wesen des Gegenstandes, folglich die Fläche mehr als der Körper, die Linie mehr als die Fläche, der Punkt mehr als die Linie. Die Fläche kann ohne Körper, der Körper aber nicht ohne Oberfläche sein. Die fünf regelmäßigen Körper (kosmische Körper) Tetraeder Hexaeder Oktaeder Dodekaeder Ikosaeder 12 Pentagone 20 Dreiecke

9 Parkettierung einer unendlichen Fläche mit regelmäßigen Polygonen ist nur möglich mit Dreiecken, Quadraten, Sechsecken. Bienen bauen am ökonomischsten Überlagerung zweier Hexagonalstrukturen Rauten (Rauten sind aber keine regelmäßigen Polygone.)

10 Halbregelmäßige Parkettierungen

11 August Ferdinand Möbius ( ) Deutscher Mathematiker und Astronom 1816 Professor in Leipzig 1844 Direktor der dortigen Sternwarte Arbeiten über Geometrie (Dualitätsprinzip) 1843 Lehrbuch: Elemente der Mechanik des Himmels Anfang der Topologie: welche Eigenschaften einer Fläche bleiben bei einer Verformung unverändert? 1865 Möbius-Band: eine einseitig orientierte Fläche

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14 Max Bill

15 zwei Möbius-Bänder zerschnittenes Möbius-Band = kein Möbius-Band

16 Inversion des Kreises r = 1 b = 1/a Topologie: Ein topologischer Raum ist eine Ansammlung von mathematischen Objekten mit einer Konvergenzdefinition. Ein Beispiel für einen topologischen Raum ist: mit. 1/0 = 1/ = 0

17 M.C. Escher

18 unendliche Länge: jeder (rationale) Punkt wird überstrichen. Giuseppe Peano ( ) ab 1890 Professor in Turin Mitbegründer der symbolischen Logik ( e) 1903: Latino Sine Flexione (Kunstsprache) Peano-Axiome der natürlichen Zahlen 1890: Peano-Kurve

19 Dimension dim = -logN/logR für R 0 N = 1/R dim = R -dim logN = -dim logR dim = -log3/log(1/3) = log3/log3 = 1 dim = -log9/log(1/3) = 2·log3/log3 = 2 N = 1/R N = 1/R 2

20 Helge v. Koch ( ) schwedischer Mathematiker 1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal. Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird.

21 Helge v. Koch ( ) schwedischer Mathematiker 1904: Schneeflocken-Kurve: erstes Fraktal. Faktor 4/3. Die Länge zwischen zwei beliebig dicht liegenden Punkten wird. dim = -logN/logR für R 0 Gebrochene Dimension dim = -log4/log(1/3) N = 1/R dim = R -dim logN = -dim logR = log4/log3 = 1,262

22 Girard Desargues ( ) französischer Ingenieur und Mathematiker 1639: Projektive Geometrie Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.

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24 Trinity College

25 Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482

26 Meteorschauer

27 I saw, as one might see the transit of Venus, a quantity passing through infinity and changing its sign from plus to minus. I saw exactly how it happened and why the tergiversation [Finte, Wankelmut] was inevitable... but it was after dinner and I let it go! Sir Winston Churchill ( ) Hyperbel: y = 1/x

28 Das Paradoxon des Rotationshyperboloids

29 Mantelfläche: dA = 2 r ds > 2 r dx = Bogenlänge: ds 2 = dx 2 + dy 2 = dx 2 (1 + dy 2 /dx 2 ) Volumen:

30 = Das Paradoxon des Rotationshyperboloids: unendliche Mantelfläche, endliches Volumen Anstrichfarbe außen unendlichAnstrichfarbe innen endlich falls nicht dünn genug da zwangsweise dünn genug Evangelista Torricelli ( ) Thomas Hobbes ( ), englischer Philosoph und Staatstheoretiker, Mathematiklehrer des Prinzen von Wales: To understand this for sense, it is not required that a man should be a geometrician or logician, but that he should be mad.

31 Die Unendlichkeitsmaschine

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34 12 Pentagone 20 Dreiecke Euklid: Es gibt nur fünf regelmäßige Körper Außenwinkel im regelmäßigen Dreieck(180° - 360°/3) = 2 30° = 60° Außenwinkel im regelmäßigen Viereck(180° - 360°/4) = 90° Außenwinkel im regelmäßigen Fünfeck(180° - 360°/5) = 108° Außenwinkel im regelmäßigen Sechseck (180° - 360°/6) = 120 Zwei Flächen bilden höchstens eine Kante, aber keine Ecke. Für eine Ecke sind mindestens drei Flächen erforderlich. Die Winkelsumme muß < 360° sein. 3 60°, 3 90°, 4 60°, 3 * 108°, 5 60°.


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