Chaos im Sonnensystem Im Jahr 1925 präsentierte Elis Strömgren in Kopenhagen diese Grafik als Resultat von 15 Jahren numerischer Arbeit seiner ca. 50 Mitarbeiter.

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1 Chaos im Sonnensystem Im Jahr 1925 präsentierte Elis Strömgren in Kopenhagen diese Grafik als Resultat von 15 Jahren numerischer Arbeit seiner ca. 50 Mitarbeiter – auf der Suche nach periodischen Bahnen im eingeschränkten Dreikörper-Problem mit zwei gleichen Hauptmassen, also nach Planetenbahnen in einem Doppelsternsystem. Was es sonst noch an Bahnen gibt in diesem “Kopenhagener Problem”, konnte er kaum ahnen. Ich will versuchen, Ihnen davon einen Eindruck zu geben: unter dem Stichwort “Chaos im Sonnensystem”, wobei das Sonnensystem hier sehr stilisiert gemeint ist. Es soll um das eingeschränkten Dreikörper-Problem gehen, bei dem zwei Hauptkörper, “Sonne” S und “Jupiter” J, Kreisbahnen um den Schwerpunkt beschreiben und ein dritter Körper in derselben Ebene deren Kräften unterliegt, sie aber seinerseits nicht beeinflusst, da seine Masse als sehr klein angenommen wird. Peter H. Richter - Institut für Theoretische Physik – Universität Bremen

2 Natur des Chaos I deterministisch vs. stochastisch
konservativ vs. dissipativ Chaos ist selbst innerhalb der Theorie Dynamischer Systeme ein sehr vielschichtiger Begriff, und will die Diskussion zunächst nach zwei Seiten abgrenzen. Es soll nur um deterministisches Chaos gehen, also die langfristige Nichtvorhersagbarkeit eines Systems trotz genau bekannter Bewegungsgleichungen ohne ein stochastisches Element des Zufalls. Natürlich ist das eine mathematische Idealisierung; dass überhaupt in der Dynamik solcher Systeme Chaos erzeugt wird, fand Jim Yorke 1976 so faszinierend, dass er dafür den Terminus Chaos einführte (eigentlich usurpierte). Es soll nur um konservatives Chaos gehen, also nicht um Systeme, deren Phasenraum sich im Laufe der Zeit aufgrund von Dissipation zusammenzieht und in Attraktoren mehr oder weniger komplexer Natur endet (siehe als Beispiel den Lorenz-Attraktor). In konservativen bzw. Hamiltonschen Systemen gibt es keine Attraktoren. Die Standard-Abbildung, die Boris Chirikov in den 70er Jahren einführte, gilt als typisch für ihr Verhalten lokal im Phasenraum. Als Plasma-Physiker wollte er das Verhalten geladener Teilchen im Magnetfeld verstehen, so dass Sie die Standard-Abb. sicher kennen: Sie bildet einen Zylinder oder einen Torus so ab, wie das Hamiltonsche Systeme normalerweise tun, wenn man den Phasenraumfluss transversal zu einem periodischen Orbit anschneidet und dann den diskretisierten Fluss betrachtet. Eine Unterscheidung kontinuierlicher von diskreter Dynamik ist deshalb nicht wesentlich. PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

3 Methode: Poincaré-Schnitte
Konservatives Chaos f-Pendel und Kreisel Billard-Systeme Planeten B Beispiele für konservatives Chaos finden sich in der klassischen Mechanik (wie auch der Quantenmechanik und Plasmaphysik) zu Hauf. Pendelkonfigurationen mit f Freiheitsgraden (f=2: Doppelpendel, f=3: Bremer Pendel) sind sogar populär geworden. Die Kreiselphysik, wenn man von den integrablen Ausnahmefällen (Euler, Lagrange, Kovalevskaya) absieht, ist voll davon. Sogar die einfachsten Billard-Systeme zeigen wesentliche Züge des Chaos. Ich will Sie anhand eines völlig elementaren Programms mit einigen wichtigen Begriffen vertraut machen, insbesondere mit der Idee und der Technik der Poincaré-Schnitte. Button B: Definition der Billards durch freie Bewegung im Innern, elastische Reflexion am Rand. Was soll da schon passieren! Die Energie ist erhalten (und überhaupt unwichtig), und sonst? Vergleichen wir Rechteck (zweite Erhaltungsgröße ein Winkel), Ellipse (zweite Erhaltungsgröße etwas komplexer; sie zeigt Bifurkationen an), Stadion (keine zweite Erhaltungsgröße). Leider haben wir keine Zeit, lange zu spielen, aber wir diskutieren den Poincaré-Schnitt (Randpunkt und Parallelkomponente der Anfangsgeschwindigkeit werden von Reflexion zu Reflexion verfolgt) und typische Strukturen darin: periodische Orbits als diskrete Menge von Punkten; quasiperiodische Orbits als Linienstrukturen; chaotische Orbits als Wolken. (Vielleicht noch kritische Orbits als isolierte periodische Orbits, elliptische und hyperbolische) Wir werden gleich sehen, dass die Sache bei Planetensystemen insofern komplizierter ist, als reguläres und chaotisches Verhalten eng ineinander verwoben sind. Planetendynamik und ihre Abhängigkeit von Parametern ist wieder aktuell geworden, da wir in diesen Jahren neue Sonnensysteme kennenlernen. Hier wird an das Systeme Ypsilon Andromedae erinnert, bei dem bereits drei Planeten bekannt sind. Methode: Poincaré-Schnitte PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

4 Der goldene Schnitt … PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002
(Falls Zeit ist, sonst weglassen) Eines der schönsten Ergebnisse beim Studium der Szenarien des Übergangs zum Chaos war die Entdeckung des Goldenen Schnitts in seiner Rolle für die Stabilität gegenüber dem Einsatz eines globalen Chaos. Das wird in diesen Bildern am Beispiel des Doppelpendels gezeigt. Es war vorher in der Standard-Abbildung diskutiert worden und findet im Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorem eine mathematische Basis. PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

5 …im Doppelpendel PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002
Deutlich sieht man, wie der letzte KAM-Torus, ehe das Chaos die ganze Energiefläche (mit Ausnahme einiger Inseln der Stabilität) überschwemmt, von Inselketten mit 1, 2, 3, 5, 8, (13, ...) Inseln approximiert wird. Die Fibonacci-Reihe kommt in diesem Kontext immer wieder vor und deutet den goldenen Schnitt oder wenigstens eine noble Zahl an (Kettenbruchentwicklung ab einer Stelle nur noch Einsen). PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

6 Keplers Kosmos Einfache Gesetze Harmonie der Frequenzen
Keplers 1., 2., 3. Gesetz Harmonie der Frequenzen Göttlicher Bauplan Für Kepler war das Sonnensystem der Inbegriff einer Ordnung, die es zu entschlüsseln galt. Das, was wir als die drei Kepler-Gesetze kennen, ist beinahe nur ein Nebenprodukt seiner Forschungen. Er wollte nicht das „Zweikörper-Problem“ studieren, sondern das System als Ganzes. Dafür entwarf er das Mysterium Cosmographicum, und in seinem Hauptwerk Harmonices Mundi entdeckte in den Frequenzen der Planeten Harmonien, das heißt: rationale Verhältnisse. Sein Versuch, Geometrie und Musik zu vereinen (in pythagoräischer Tradition, die er witzigerweise aus einem Buch von Galileis Vater übernahm), findet heute eine enge Entsprechung, wenn wir die Geometrie im Phasenraum betrachten und für rationale und irrationale „Windungszahlen“ unterschiedliches Verhalten finden. PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

7 Planetenbewegungen Sonne und Jupiter allein: Kepler-Ellipsen R T
Raumfestes und mitrotierendes System R T Sonne, Jupiter und dritter Körper: Chaos Schauen wir doch einfach mal, wie Planetenbewegungen aussehen, wenn ein dritter Körper hinzukommt. Es ist dann angebracht, die Bewegung in einem System zu betrachten, in dem die beiden Hauptkörper ruhen, denn dann sind die Kräfte zeitunabhängig und die Energie (Wert der Hamiltonfunktion) eine Erhaltungsgröße. Deswegen müssen wir uns schon für den Fall, dass Jupiter noch keine Masse hat, die Kepler-Bewegung aus einem mit J rotierenden System betrachten. Das ist ein erster mentaler Schritt, den wir anhand des Programms R vollziehen wollen, erst für das reine Kepler-Problem, dann mit schwacher Störung. Das Programm T zeigt uns, wie wir uns die Kepler-Ellipsen im Phasenraum (des mitrotierenden Systems) vorstellen sollen, nämlich als Tori, auf denen sich die Bahn herumwindet. Das Programm S zeigt, dass es bei schwacher Störung durch J zwei Typen periodischer Bahnen gibt: elliptische, die von Nachbarbahnen umschwungen werden (stabil), und hyperbolische, von denen Nachbarbahnen sich entfernen (instabil). Wir können hier die Natur des Chaos durch eine Symbolfolge von Zahlen charakterisieren, die angeben, wieviele Übergänge die Bahn nach kurzzeitigem Einrasten nahe der instabilen periodischen Bahn rechtläufig bzw. rückläufig macht. Innerhalb gewisser grammatikalischer Regeln kann man hier Zufallsfolgen vorgeben und Anfangsbedingungen angeben, deren Bahnen die entsprechenden Folgen erzeugen. Das Programm P zeigt, wie im rotierenden Bezugssystem dieselben Bahnen rechts in der gewohnten kartesischen Ebene aussehen und links in einer Auftragung mit auf die Sonne bezogenen Polarkoordinaten phi (Abszisse) und r (Ordinate). Figuren oben rechts: Newton und Euler. S Zuerst: Schwache Störung P PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

8 So sieht ein Poincaré-Schnitt des eDKP aus, wenn Polarkoordinaten zur Auftragung von Apsiden-Positionen genommen werden, die im mitrotierenden System rechtläufig sind. Die Masse von J ist etwa ein Zehntel der wahren Jupitermasse; die Energie im mitrotierenden System entspricht genau der Höhe des Potentialberges, den wir gleich sehen werden (Trojaner-Niveau). Man erkennt die Trojaner als große Resonanzen, eingebettet in viel Chaos, das Jupiter umgibt. Zur Sonne hin entwickelt sich Ordnung in Form eines Systems von Resonanzen, zunächst noch von Chaos umschwemmt, dann durch KAM-Tori eingeschränkt.

9 Invariante Mannigfaltigkeiten
Mit wachsender Masse des Jupiter vergröbern sich die Strukturen. Zusätzlich zu den gefärbten einzelnen Orbits sind noch sog. Mannigfaltigkeiten eingezeichnet: im unteren Bereich (weiß) stabile und instabile Mf hyperbolischer Punkte, oben als „Nasen“ des Jupiter die Stoßbahnen: der Locus von Punkten, deren Bahnen bei der nächsten engen Begegnung mit J auf ihn abstürzen (gelb) bzw. zeitgespiegelt aus ihm herausgeschleudert wurden. Bahnen dieser Art können sich nur schneiden, wenn die eine vorwärts, die andere rückwärts läuft. Dann ist das System dieser Schnitte ein Schlüssel zur symbolischen Dynamik des Chaos.

10 Am Rande des Chaos PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002
Sukzessives Zoomen am Rand des Chaos zeigt, wie komplex dort die feinen Resonanzen und das Chaos verwoben sind, das sich regelrecht Torus für Torus in das reguläre Gebiet hineinfrisst;lokal auch hier mit einer besonderen Langlebigkeit der noblen Windungszahlen. Global ist das aber nicht wie beim Doppelpendel ein beherrschendes Szenario. PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

11 Natur des Chaos II deterministisch vs. stochastisch
konservativ vs. dissipativ symbolische Interpretation Geometrie invarianter Mengen Dynamik Ziehen wir eine erste Bilanz: Unser Chaos hat unterschiedlichen Charakter (Symbolik), je nachdem ob es kleinskalig ist (bei kleinen Massenverhältnissen und Energien) oder großskalig. Bei schwachem Chaos unterschieden wir die Richtung der Aphel-Rotation, bei starkem identifizieren wir einen Putzeffekt, den wir noch genauer beschreiben wollen. Hinsichtlich der Geometrie des Phasenraums haben wir gesehen, dass invariante Mengen unterschiedliche Dimensionen haben können: periodische Orbits 0, quasiperiodische Orbits 1, chaotische Orbits 2 (evtl. mit Löchern auf jeder Skala: „fat fractals“). Mit wachsender Dimension der Menge, die ein Orbit (dicht) ausfüllt, sinkt die Vorhersagemöglichkeit über lange Zeiten. Ein zweites geometrisches Merkmal ist die Verschachtelung der Strukturen, die für das Verständnis von Transportprozessen im Phasenraum wichtig ist, leider noch nicht gut beschrieben (vor allem, wenn man statt zweier drei oder mehr Freiheitsgrade nimmt). Schauen wir uns nun die Dynamik noch genauer an, also die Kräfte und ihre Wirkungen. Wir tun das mit Hilfe eines interaktiven Programms, das ich Interessenten gerne zur Verfügung stelle, das in verbesserter Form (in C++ statt in Visual Basic geschrieben) demnächst über SuW erhältlich sein soll. PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

12 Das eingeschränkte Drei-Körper-Problem
0.5 0.01 0.001 Im mitrotierenden System sitzen Sonne und Jupiter fest an ihren Plätzen und üben von dort ihre Anziehungskraft auf den Testkörper aus. Hinzu kommt jetzt noch die Zentrifugalkraft der Drehbewegung, die den Körper nach außen drängt. Schließlich gibt es noch die Corioliskraft, die der Geschwindigkeit des Körpers proportional ist und ihn von seiner jeweiligen Bahn nach rechts ablenkt. Die Wirkung der Gravitationskräfte und der Zentrifugalkraft kann man in Form eines Potentialgebirges illustrieren: die resultierende Kraft zeigt für ein ruhendes Teilchen an jeder Stelle in die Richtung des steilsten Abstiegs. Die Bilder oben zeigen für verschiedene relative Massen des Jupiter (bezogen auf die Gesamtmasse) Höhenlinien dieses Gebirges: gleiche Farbe – gleiche Höhe. Sonne und Jupiter sind die unendlich tief gelegenen Zentren; weit draußen geht es auch nach unten. Dazwischen liegt der eigenartige Bergkamm, auf dessen flachen Gipfeln die zwei Trojanerpunkte liegen; sie bilden mit S und J je ein gleichseitiges Dreieck. Auf der Linie, die Sonne und Jupiter verbindet, liegen drei Sattelpunkte des Gebirges, die Librations- oder Lagrangepunkte L1 (links von J), L2 (rechts von J), L3 (links von S). Oben rechts sind die Verhältnisse für den wahren Jupiter dargestellt, oben links für ein Doppelstern-System mit gleichen Massen, unten links für einen Planeten mit der 10-fachen Masse der Erde, dazu der Ausschnitt in der Nachbarschaft des Planeten; unten rechts ist der vergleichbare Ausschnitt für die Erde gezeigt, mit der eingetragenen Mondbahn. Da die „Gesamt-Energie“ des Testplaneten in diesem System eine Konstante der Bewegung ist (Jacobi-Konstante), erkennt man, dass der ringförmige Bergrücken eine Barriere darstellt. Figuren oben rechts und links: Lagrange bzw. Jacobi.

13 Jupiters Chaos Elliptische und hyperbolische periodische Bahnen: Resonanzen Quasiperiodische Bahnen: Kolmogorov-Arnold-Moser Tori Chaotische Bahnen Hier wird ein Demo-Programm benutzt, mit dessen Hilfe man verschiedene Typen von Bahnen erzeugen und analysieren kann. Zunächst zeigen wir in den zwei Fenstern das Potentialgebirge um die Sonne und (in Vergrößerung) um Jupiter, mit einem Massenverhältnis, wie es dem wahren Jupiter entspricht. Man kann nun die Energie wählen und Anfangspunkte setzen, die alle als Perihel- oder Aphelposition interpretiert werden. Es gibt allerdings noch zwei Richtungen – rechtläufig und rückläufig im mitrotierenden System –, zwischen denen man wählen muss und die hinsichtlich der Stabilität nicht äquivalent sind. Es lohnt sich, zunächst einzelne Bahnen zu verfolgen und deren unterschiedlichen Charakter zu identifizieren. Man fragt sich dann bald nach einer Übersicht. Da kommt dann Poincare ins Spiel mit seiner Schnitt-Technik. Zeige dann Poincare-Schnitt-Bilder zu einer gewählten Energie und diskutiere den intimen Zusammenhang von regulären und chaotischen Bahnen. Unter den regulären die periodischen als Knoten der Strukturen, dann die elliptischen als Zentren von Ordnung und die hyperbolischen als Zentrum von Chaos. Dazwischen KAM-Tori, die mit wachsender Störung (oder hier: wachsender Energie) nach und nach zerfallen. Als besondere Zentren des Chaos kann man die periodischen Orbits ansehen, die als „Wächter der Sattel“ den Übergang über diese kontrollieren – damit auch den Einfang und die Ejektion von Bahnen. Zwei solcher Orbits wurden speziell vorbereitet, man findet sie nicht durch einfaches Suchen, denn sie sind extrem instabil. (Auf dem Orbit c beobachtet der Sonnensatellit Soho die Sonne.) J PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

14 Orbits und Poincaré-Schnitte im S-Bereich
Vorbereitete Poincare-Schnitte im S-Bassin für E‘= (oben links: retrograde Orbits, oben rechts: rechtläufige Orbits). Einige periodische Orbits werden außerdem gezeigt. Obere Reihe: stabile elliptische Orbits mit Windungszahlen 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3. Untere Reihe: die entsprechenden instabilen Orbits. Achte darauf, wie oben der Störenfried gemieden, unten er dagegen direkt angesteuert wird.

15 J- Bereich Außen- Bereich
Hier wird der Außenbereich des S-Bassins gezeigt (für Energie E‘=-1.625) und das J-Bassin (E‘= ), beide für rechtläufige Bahnen. In der unteren Reihe zunächst vier periodische Bahnen mit Windungszahlen (von links) –3/2 (Saturn-Bahn), -2, -3, -3. Vergleich mit dem oberen Bild zeigt, dass bei dieser Energie der Bereich der Ordnung bis etwa zu den Orbits der Windungszahl –3 reicht, danach gibt es ausgedehntere Chaos-Bänder, die wohl zusammenhängen. Die Orbits mit Windungszahlen -n:1 treten nicht wie meistens mit n Inseln auf, sondern mit 2n, da die elliptischen Orbits die Symmetrie bzgl der x-Achse brechen. Das zeigen die mittleren Bilder für W=-2 und W=-3. Rechts ist zu W=-3 einer der beiden hyperbolischen periodischen Orbits gezeigt, zusammen mit seiner Separatrix im Poincare-Schnitt. Die Saturnbahn hat im Verhältnis zu der des Jupiter eine Windungszahl -3:2. Das ergibt sich aus den Umlaufzeiten wie folgt. Jupiter braucht 12 Jahre, Saturn 30 für einen Umlauf. Wenn also Saturn einen Umlauf vollendet hat, ist Jupiter bereits 5/2 mal umgelaufen. Saturn hinkt also 3/2 mal hinterher. Nach 60 Jahren stehen Jupiter und Saturn erstmals wieder gemeinsam an der Ausgangsposition (in Wirklichkeit um 9 Grad am Himmel versetzt, so dass alle 200 Jahre, nach jeweils 10 Begegnungen von Jupiter und Saturn, diese Begegnung um 30 Grad versetzt im Nachbar-Tierkreiszeichen stattfindet; nach 800 Jahren haben die Trigone der Jupiter-Saturn-Konjunktionen den Zyklus einer „Epoche“ vollendet). Rechts wird das J-Bassin gezeigt, allerdings nur rechtläufige Bahnen. Im oberen kleinen Teilbild wird der elliptische periodische Orbit g‘ gezeigt, der sich von der „Mondbahn“ g abgespalten hat, welcher seinerseits im unteren Teilbild als instabiler Orbit zu sehen ist. Außerdem zeigt das untere Teilbild den „Sattelwächter“ c.

16 Invariante Mannigfaltigkeiten
Orbit c und sein Chaos Hier wird zuerst der Orbit c (als Teil des Hintergrunds eines Poincare-Schnittbildes) gezeigt zusammen mit seinen instabilen (schwarz) und stabilen (weiß) Mannigfaltigkeiten im P-Schnitt. Dick: Schnittpunkte mit rechtläufigem Durchgang durch den Apsidenpunkt, dünn: rückläufiger Durchgang (Schnitte dicker weißer und dünner schwarzer Linien, oder umgekehrt, finden nur in dieser Projektion statt; im Phasenraum sind es unterschiedliche Punkte). Der Übergang von dick nach dünn findet am Rand des energetisch erlaubten Gebietes statt, entspricht Bahnen mit Spitze und bedeutet eine Unstetigkeit der Poincare-Abbildung. Der dicke Punkt zeigt an, wo rechtläufige Schnitte in Perihel (unterer Teil) und Aphel (oberer Teil) sich treffen und gegenseitig vernichten. Hier schließt sich die Mf und springt dann in einem zweiten Typ von Unstetigkeit der Poincare-Abbildung in das Innere des S-Bassins. Entsprechend wandert der untere Teil der schwarzen Kurve in das J-Bassin; das direkte Bild des Loops ist in dem Detail ganz rechts zu sehen. Das Bild oben rechts zeigt im J-Bassin die invarianten Mannigfaltigkeiten des Orbits g. Solche Mannigfaltigkeiten, wenn man sie immer weiter verfolgt, füllen den Chaosbereich dicht aus und strukturieren ihn. Man kann sie als ein Adergeflecht im chaotischen „Fleisch“ bezeichnen. Die schwarzen (instabilen) laufen vom Herz des Chaos (dem hyperbolischen Punkt) weg, sind also Arterien, die weißen (stabilen) sind entsprechend Venen. Allerdings sind die Mannigfaltigkeiten verschiedener hyperbolischer Orbits oft Teil desselben Chaos-Bereichs. Es dürfen sich schwarze Linien generell nicht mit schwarzen schneiden, wohl aber mit weißen. Solche Schnitte sind dann homokline oder heterokline Orbits; unten werden zwei c-homokline Orbits gezeigt. Die invarianten Mf von c regeln den Verkehr über den Sattel hinweg; mit ihrer Hilfe kann man die symbolische Dynamik entwerfen.

17 Einfang, Ejektion und Absturz
c a Chaotische Bahnen haben eine Tendenz, früher oder später entweder in Sonne oder Jupiter abzustürzen (Stoßorbits) oder ins Unendliche hinausgeschleudert zu werden. Insofern stellt Chaos einen „Putz-Mechanismus“ dar, der in späteren Phasen der Bildung eines Planetensystems sicher dafür sorgt, dass nur wenige Planeten übrig bleiben und der Raum zwischen ihnen ziemlich leer gefegt wird. Details dieser Mechanismen werden wieder durch gewisse Mannigfaltigkeiten strukturiert. Das Bild links zeigt die hyperbolischen Orbits a und c sowie einen asymmetrischen homoklinen Übergang zwischen beiden. Die Bilder rechts außen zeigen unten in der Nähe von J, oben in größerer Umgebung, die instabile Mf von a (schw arz) und die stabile von c (weiß). Je für sich zeigt das, wie längs der instabilen Mf von a (oder auch c) Teilchen ins Unendliche getragen werden und wie sie längs der stabilen Mf von c (oder auch a) eingefangen werden. Sie zeigen außerdem, wie Übergänge von a nach c auf viele verschiedene Weisen möglich sind. Orbits, die bei der nächsten (schwarz), übernächsten (grau) oder dritten (weiß) Begegnung mit Jupiter in diesen hineinstürzen. Auch dieser Einfluss erstreckt sich weit nach draußen. Stoßmannigfaltigkeiten wie diese zeigen, wo die „gefährdeten“ Bereiche liegen. Jupiter ist (bei diesen Energien) der weitaus effektivere Putzer als die Sonne selbst, in deren Umgebung reguläre Bahnen dominieren. Von diesem Putz-Mechanismus verschont bleibt nur das innere der elliptischen Inseln, also die Umgebung der stabilen Resonanzen. Das bedeutet, dass am Ende einer längeren Evolution zwar nicht exakt resonante Bahnen überleben, wohl aber solche, die in der Nähe dieser Resonanzen liegen. E=-1.51

18 Stabilität der Trojanerbahnen
Trojaner-Orbits stellen ein besonders faszinierendes Kapitel dar. Wir sehen hier für die Trojaner-Energie und die Masse des wahren Jupiter das einigermaßen vollständige Bild (auf grober Skala) der wichtigsten Resonanzen und Chaos-Gebiete: rechts für rechtläufig und links für rückläufig durchfahrene Apsiden. Außer den schon bekannten Resonanzen im Inneren des S-Bassins sehen wir als sogar größte Inseln die der Trojaner-Orbits. Zusätzlich sind Stoßorbits eingezeichnet (für die erste Begegnung mit Jupiter). Die Stabilität der Trojaner ist ein interessantes Problem der Himmelsmechanik, denn sie hängt stark von der Masse des Jupiter ab. Einzelheiten kann ich hier nicht ausbreiten. Frappierend ist, dass (bei hinreichend kleinen Jupiter-Massen) die Trojaner überhaupt stabil sind, liegen sie doch in der Nähe des Gipfels im Potentialgebirge und werden nach unten gezogen. Die Stabilität rührt hier allein von der Corioliskraft her, die das Herabfallen in ein Hangeln auf etwa konstanter Höhe umwandelt. Die Orbits selbst erinnern an langgezogene Locken, sind hier aber nicht gezeigt.

19 Das Kopenhagen-Problem
Poincaré-Schnitt: extremaler Abstand vom Schwerpunkt 7 stabile und 3 chaotische Orbits Zum Schluss ein Blick auf das Kopenhagen-Problem, hier für E‘=-1.75, also deutlich unterhalb der Trojaner-Energie, so dass ein Überwechseln zwischen den Bassins möglich ist, nicht aber ein Entweichen. Im oberen Teil sieht man Poincare-Schnitte einzelner Orbits (links retrograde, rechts rechtläufige Schnitte). Die Polarkoordinaten, bzgl. derer hier die Apsiden definiert sind, beziehen sich auf den Schwerpunkt in der Mitte. Insgesamt werden 7 stabile Orbits (schwarz) und 7 instabile (weiß) gezeigt. An den Linien kann man in etwa erkennen, wie die Orbits verlaufen. Die vier „großen“ Orbits (jeweils zwei um die Resonanzen f und Xf organisiert) sind retrograd. Die drei kleinen sind rechtläufig um J (Orbit g‘) bzw. S (Orbit Xg‘). Im unteren Teil wird links der hyperbolische Orbit c um den Schwerpunkt gezeigt, rechts der hyperbolische Orbit g um Jupiter. Außerdem wird die instabile Mf von c (schwarz) zusammen mit den stabilen Mf von g und Xg (weiß) gezeigt. Das Programm L illustriert den dynamischen Aspekt in Form von Auftragungen des exponentiellen Auseinanderlaufens eng benachbarter Orbits. Diese Plots erlauben so keine gute Bestimmung der Lyapunov-Exponenten, aber sie zeigen, dass deren Berechnung ihre Tücken hat. Denn es stellt sich in der Regel keine gute Konvergenz heraus; man muss sehr lange mitteln, und das reflektiert, dass innerhalb der chaotischen Bereiche viel Struktur steckt. stabile und instabile Mf zweier Orbits rückläufiger Durchgang rechtläufiger Durchgang

20 Natur des Chaos im eDKP deterministisch konservativ
klein- und großskalig je nach Parametern m und E´ Interpretation: Chaos hilft hier putzen und ordnen Geometrie: hochkomplexe Phasenraumstruktur Dynamik: von rasant schnell bis extrem langsam Relevanz: Evolution, Monde, Asteroiden, Ringe, ... Unsere Zusammenfassung kann kurz ausfallen, wir haben sie schon in Form von Zwischenbilanzen vorweg genommen. Das Chaos des eDKP ist deterministisch und konservativ, es spielt sich je nach den Parametern auf feinen oder groben Skalen ab. Seine für das Verständnis der Evolution des Sonnensystems wichtigste Interpretation dürfte das Putzen des Phasenraums sein, von dem wir in der Projektion auf den Ortsraum eine Menge Hinweise sehen. Zum Beispiel die Bevorzugung von Resonanzen. Die Saturn-Jupiter-Resonanz mit Periodenverhältnis 5:2 ist vielleicht die bekannteste, aber fast alle Monde sind in 1:1 Resonanz zwischen Bahnbewegung bzgl. ihres Planeten und der Eigenrotation; Merkur ist in 3:2 Resonanz zwischen Bahnbewegung um die Sonne und seiner Eigenrotation. Im Asteroidengürtel gibt es instabile und stabile Resonanzbereiche, und je nachdem gibt es dort Asteroiden (in benannten Gruppen, z. B. Hilda) oder nicht (benannte Lücken, z. B. Kirkwood gaps). Ähnlich sieht es bei der Struktur der Planetenringe aus. Beileibe nicht alles, aber doch erstaunlich viel Prinzipielles, kann man mit diesem simplen Modell des eDKP beschreiben und verstehen. Aber das Sonnensystem hat, wenn man nur die Planeten zählt, 10 Körper, mit deren wichtigsten Monden 100, mit Asteroiden Da ist vieles noch nicht weggeputzt, das höchst wahrscheinlich auf chaotischen Bahnen läuft. Wir haben den Absturz des Kometen Shoemaker-Levy auf Jupiter beobachtet. Wir hoffen – und sind eigentlich ziemlich sicher –, dass ein ähnliches Ereignis auf der Erde in unserer Lebenszeit nicht stattfinden möge. Der große Jupiter, auch wenn er nur ein Tausendstel der Sonnenmasse besitzt, bietet wirksamen Schutz. PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

21 Danksagung Hans-Joachim Scholz Jan Nagler Sven Schmidt
Was hat dieses kleine eingeschränkte Dreikörper-Problem mit der Komplexität des Kosmos und seinem Chaos zu tun? Zuerst sollte man bemerken, dass es im Kepler-Problem nur Kräfte gibt, die mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen, die aber keine Skala auszeichnen. Deshalb gelten zwischen Planeten dieselben Gesetze wie zwischen Galaxien, und dasselbe gilt auch (von Quantenmechanik einmal abgesehen) für Atome und Moleküle. Die Szenarien, die wir hier diskutierten und die im 19. Jahrhundert ausschließlich als Probleme der Himmelsmechanik diskutiert wurden, spielen deshalb eine viel allgemeinere Rolle in der Physik. Tatsächlich nahm die Chaos-Theorie Ende der 70er Jahre ihren Anfang in der Plasma-Physik, heute ist sie besonders in der Molekültheorie aktuell. Zweitens: das Chaos des Anfangs, bei räumlicher Homogenität des Kosmos, war natürlich ein ganz anderes. Hier waren die Gesetze der statistischen Physik wichtig, es gab jede Menge „Fluktuationen“ aufgrund thermischer Schwankungen etc. Dies war nicht das, was wir „deterministisches Chaos“ nennen, also die Entfaltung von Komplexität aufgrund einfacher Gesetzmäßigkeiten. Diese Gesetze konnten erst nach erfolgter Kondensation der Materie (Sternbildung etc.) Anwendung finden. In einem vielleicht erst recht späten Stadium war es dann aber möglich, auf sinnvolle Weise jeweils drei Körper der hier betrachteten Art zu diskutieren, zwei große und einen kleinen. Wir haben das hier für einen Planeten unter dem Einfluss von Sonne und Jupiter getan (wichtigste heutige Anwendung wahrscheinlich die Asteroiden), aber man kann auch andere Beispiele finden, etwa die Bewegung von Monden mit asymmetrischer Massenverteilung um ihre Planeten. Man findet so Erklärungen für das Auftreten der Resonanzen zwischen Bahnbewegung und Eigenrotation. Als besonders befriedigendes Ergebnis solcher Art von Studien empfinde ich die Bestätigung von Keplers Intuition hinsichtlich der Bedeutung rationaler Frequenz-Verhältnisse. PHR at MPIPP – 15. Feb. 2002

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