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Die Chaos-Theorie Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen...

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Präsentation zum Thema: "Die Chaos-Theorie Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen..."—  Präsentation transkript:

1 Die Chaos-Theorie Oder warum das Apfelmännchen sich selbst ähnlich ist und Computer einfach anfangen, falsch zu rechnen...

2 Der Weg ins Chaos Ist Fortpflanzung so einfach? Seltsame Attraktoren Ist unser Sonnensystem stabil? Das Apfelmännchen stellt sich vor Was ist Chaos? Der Flügelschlag des Schmetterlings

3 Was ist Chaos? (...) es kann vorkommen, dass kleine Abweichungen in den Anfangsbedingungen schließlich große Unterschiede in den Phänomenen erzeugen. Ein kleiner Fehler zu Anfang wird später einen großen Fehler zur Folge haben. Vorhersagen werden unmöglich, und wir haben ein zufälliges Ereignis. Poincaré 1899 Theorie komplexer Systeme: behandelt die Dynamik deterministischer Systeme und ihre Unvorhersehbarkeit (Chaos). Es ist eine metaphysische Doktrin, dass gleiche Ursachen gleiche Wirkungen nach sich zögen. Niemand kann sie bestreiten. Ihr Nutzen aber ist gering in einer Welt wie dieser, in der gleiche Ursachen niemals wieder eintreten und nichts zum zweiten Mal geschieht. James Clerk Maxwell 1879

4 Entwicklung einer Population Verhulst-Prozess + = Population

5

6 Der Raum ist begrenzt je mehr Kaninchen, desto geringer der Zuwachs Population

7 Rückkopplung der Funktion (Bevölkerungsbremse gegeben durch den begrenzten Raum r) Die Gleichung ist jetzt nicht-linear. Population

8 r<3x n pendelt sich auf 1 Wert ein 3

9 Population

10

11 Feigenbaum-Zahl (Konstante des Chaos): f=4, Bifurkationspunkt: Wert r i der Periodenverdoppelung

12 Population

13 Intermittenz r=3,82 Population

14 Die Geburtenrate b ist gleichzusetzten mit dem Raum r. Bifurkationsdiagramm des Feigenbaumszenarios Intermittenz

15 Population

16 Attraktoren Beschreibung des Verhaltens eines Systems Das Pendel im Phasenraum gedämpft: ò nulldimensionaler Attraktor Im zweidimensionalen Raum Ort Impuls Attraktoren

17 Vakuum: ò eindimensionaler Attraktor im zweidimensionalen Raum Ort Impuls Attraktoren

18 Torus zweidimensionaler Attraktor im dreidimensionalen Raum ò seltsamer Attraktor des chaotischen Zustandes (nicht dreidimensional) Attraktoren Kopplung zweier Pendel

19 Empfindlichkeit der Systeme 0,707070; 0,414141; 0,828282; 0,656565; 0,313131; 0,626262; 0,252525; ; 0,010101; 0,707170; 0,414341; 0,828682; 0,657365; 0,314731; 0,629462; 0,258924; 0,517849; 0,035698; 0,020202; 0,040404; 0, ,071396; 0,142792; 0, Iteration: Verdoppelung, ausschließlich Dezimalstellen

20 Fraktale Wie lang ist die Küstenlinie Irlands? Abhängig von der Genauigkeit der Messung kann sie sogar unendlich lang sein. Fraktale Selbstähnlichkeit ist in der Natur sehr häufig zu finden.

21 Fraktale Idee: Mandelbrot in den 70er und 80er Jahren Fraktal von lat.: frangere = brechen Erzeugung durch Iteration mit dem Merkmal der Selbstähnlichkeit chaotisches System lässt sich mit fraktaler Geometrie beschreiben.

22 Fraktale Das Apfelmännchen Iteration eines algebraischen Ausdruckes mit komplexer Zahlen: Ein Computer iteriert den Ausdruck bis zu 1000mal, prüft, ob die Zahl endlich bleibt und trägt C im Koordinaten- system auf. ò endlich: C ist teil der Mandelbrotmenge; schwarz im Koordinatensystem ò unendlich: Grau abgestuft, je nach Geschwindigkeit

23 Fraktale

24 2500-fach Fraktale

25 50000-fach fach Fraktale fach

26 fach Fraktale Bifurkationsdiagramm

27 Ist das Sonnensystem stabil? Poincaré: Erste Fragestellung zur Chaosforschung Ende 19. Jh. Zwei Objekte sind stabil, auch bei gravitativer Störung eines weiteren Planeten, sofern Umlaufzeiten nicht ein einfaches Verhältnis bilden (1/3, 2/3....) Einfaches Verhältnis: Störung wird immens verstärkt, der Planet verlässt seine Bahn

28 Die Entdeckung des Chaos; John Briggs, F. David Peat Metzler Physik Deterministisches Chaos; Jahresarbeit von J ö rg Stadlinger Quellen


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