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4. Symmetriebrechung 4.1. Stationäre Störungen a)Symmetrie Entartung von Energieniveaus Beispiel 1: Harmonischer Oszillator in zwei Dimensionen, Rotationssymmetrie.

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1 4. Symmetriebrechung 4.1. Stationäre Störungen a)Symmetrie Entartung von Energieniveaus Beispiel 1: Harmonischer Oszillator in zwei Dimensionen, Rotationssymmetrie hoher Entartungsgrad Symmetriebrechung: Beispiel 2: Wasserstoffatom, Rotationssymmetrie, Spezialfall: zufällige EntartungEntartung durch Symmetrie

2 b)Entartung von Energieniveaus Symmetrie i.a. Beispiel:

3 Ungestörte Lösungen: Entwicklung in ( Störungsreihe ): c)Stationäre, kleine Störung: zeitunabhängige Störungsrechnung Ungestörte Schrödingergleichung: Kleiner stationärer Störoperator:

4 Strategie der Störungsrechnung ( Theorie VL ) Störungsrechnung 1. Ordnung Die Energieverschiebung in erster Ordnung Störungsrechnung ist gleich dem Erwartungswert des Störpotentials, berechnet mit der ungestörten Wellenfunktion. Tafelrechnung bei nicht-entarteten Eigenzuständen n

5 Komplikation: Entartung p: entartete QZ np, n fest, spannen den entarteten Unterraum auf. Frage: Welche Basis passt zur Störung? Was ist die gute QZ p? Gute QZ p Erhaltungsgröße zum gestörten Hamilton-Op. Tafelrechnung Für entartete Zustände np (entartet in p) sind die orthonormalen Basisfunktionen np im entarteten Unterraum so zu wählen, dass die Störmatrix diagonal ist. Die Energieverschiebungen sind (bei beliebiger Wahl der Basis) gleich den Eigenwerten der Störmatrix. Störmatrix: Bedingung für die guten QZ: Dann:

6 4.2. Der normale Zeeman-Effekt H-Atom im äußeren Magnetfeld z-Achse B H-Atom B 0 3-D Drehsymmetrie im Raum B 0 1-D Drehsymmetrie um z-Achse partielle Symmetriebrechung e I A Störpotential ( klassisch ): e -Bahnbewegung magnetisches Moment Bahndrehimpuls: Störpotential:

7 Störungsrechnung 1. Ordnung Aufhebung der m-Entartung Bohrsches Magneton: e I z Experimentelle Beobachtung: B 0 2p 1s m 0 m 1 E Spektrallinien spalten auf! Problem: Theorie passt quantitativ nur schlecht! Klassisches Störpotential: Quantenmechanisch:

8 B 0 2p 1s m 0 m 1 E e I z m 0:existiert nicht (keine Dipolstrahlung entlang Dipolachse) m 1: Photonen sind rechts / links zirkular polarisiert Beobachtung des Photons in -Richtung Beobachtung des Photons senkrecht zur -Richtung m 0:Photonen sind linear polarisiert in -Richtung m 1: Photonen sind linear polarisiert senkrecht zur -Richtung m 1: e -Kreisschwingung -Strahlung m 0: e -Schwingung -Strahlung wird vom Photon übernommen

9 B 0 2p 1s m 0 m 1 E e I z m 1: e -Kreisschwingung -Strahlung m 0: e -Schwingung -Strahlung wird vom Photon übernommen Experimenteller Befund: Strahlungsübergänge mit m 1 finden nicht statt, bzw. sind stark unterdrückt (höhere Multipolübergänge). Folgerung: Photonen tragen Eigendrehimpuls ( Spin) von. Theorie hierzu: Zeitabhängige Störungstheorie; Quantenfeldtheorie Bemerkung:Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon.

10 4.3. Relativistische Korrekturen Störung (klassisch): Störoperator (QM) e -Geschwindigkeit abhängig von -Entartung Orientierung von nicht relevant m-Entartung bleibt erhalten relativistische Massenzunahme

11 Störungsrechnung 1. Ordnung mit Wasserstoff-Wellenfkt. ( Lehrbücher) Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante

12 Beispiel: Z 1 ( Wasserstoff ) nicht mehr entartet! Generell: Der kleine Wert von rechtfertigt Störungsrechnung.

13 4.4. Der Spin des Elektrons Das Stern-Gerlach-Experiment (1921) N S Ag-Strahl inhomogen Ofen AgAg-Dampf Blende Glasscheibe z x Ag-Strahl N S Magnet 0 z 0 Ag-Dichte B 0 B B

14 N S Ag-Strahl inhomogen Erklärung: Ag-Atome haben magnetisches Moment Problem: Grundzustand des Ag-Atoms ist s-Zustand Hypothese: (Goudsmith, Uhlenbeck, 1925) Elektronen tragen Eigendrehimpuls bzw. Spin magn. Moment Bemerkung: Spin ist rein quantenmechanisches Konzept. Es gibt kein klassisches Analogon. z 0 Ag-Dichte B 0 B B

15 Quantenmechanischer Ansatz analog zum Bahndrehimpulsoperator: Bahdrehimpuls: Ansatz: Magnetisches Spinmoment des Elektrons: gyromagnetisches Verhältnis 1925 war bekannt (aus Untersuchung von Mehrelektronen-Atomen): Das magnetische Moment des Ag-Atoms wird nur von einem Valenzelektron getragen. Die übrigen magnetischen Momente kompensieren sich ( abgeschlossene Schalen). Folge: Kraft im Magnetfeld:

16 Teilchen mit halbzahligem Spin heißen Fermionen. Teilchen mit ganzzahligem Spin heißen Bosonen. Fazit: Beobachtung von zwei Stern-Gerlach-Peaks 2s 1 2 Das Elektron ist ein Spin-½-Teilchen. N S Ag-Strahl inhomogen z 0 Ag-Dichte B 0 B B

17 Aufwachen! Sehr wichtig! Das Vektormodell des Elektronen-Spins: z x y Kugelradius

18 Der Einstein-de-Haas-Effekt (1915) Messung des gyromagnetischen Verhältnisses S des Elektronenspins. Feldspule Eisenzylinder Torsionsfaden Spiegel z Lichtquelle Skala Magnetfeld in Feldspule so groß, dass Eisenzylinder bis zur Sättigung magnetisiert. Alle magnetischen Spinmomente voll in z-Richtung ausgerichtet. Magnetfeld in Feldspule so groß, dass Eisenzylinder bis zur Sättigung magnetisiert. Alle magnetischen Spinmomente voll in z-Richtung ausgerichtet.

19 Feldspule Radius R Masse m Richtmoment D r Spiegel z Betrag der Magnetisierung: N Spins im Zylinder Experiment: Umpolen a) messbar b) Änderung aller Elektronenspins Drehimpuls-Übertrag auf Zylinder Anfangs-Rotationsenergie: c)E Torsion bei Maximalausschlag : messbar Fazit:

20 Experimentelles Resultat: Spin des Elektrons: Bahndrehimpuls des Elektrons: 4.2. Genauere Messung ( Elementarteilchenphysik) Landé-Faktor Schreibweise: Relativistische Quantenmechanik ( Dirac-Gleichung) Quantenfeldtheorie ( Quantenelektrodynamik) !

21 Die Feinstruktur Wechselwirkung zwischen und,,Spin-Bahn-Kopplung Folge:,,Feinstruktur-Aufspaltung der entarteten Wasserstofflinien Energie von in : Volle relativistische Rechnung ( z.B. Jackson): Klassisches Modell: e Kern I Elektron- Ruhesystem Biot-Savart Analogon in QM:Störungsrechnung 1. Ordnung: Abkürzung

22 Gesamtdrehimpuls: ( Erhaltungsgröße) Trick: ¾ unabhängig von m, m s, m j nicht einzeln erhalten, keine guten QZ mehr Zu klären: Welche Werte können die neuen QZ j, m j annehmen? bzgl. welcher guten QZ?

23 Aufwachen! Sehr wichtig! Drehimpulsaddition im Vektormodell: (formale Behandlung Q.M. II) z x y mLmL msms Jeder Beitrag zu ( j, m j ) erfüllt: m j m L m s Aber: m L, m s haben keinen eindeutigen Wert! Hier ( s ½ ): Erreichbare Werte für j :

24 Folgerung: Zeeman-Effekt des Spin- moments im Magnetfeld des Stroms der Bahn- bewegung des Elektrons Beispiel: p 1 Nomenklatur: Spezialfall: 0 j ½ eindeutig; keine Aufspaltung, nur Verschiebung! Bleibt zu untersuchen: klassischer Faktor quantenmechanischer Erwartungswert

25 Zusammenfassung: Verschiebung ist von der Ordnung 2, genauer E n Z 2 2 n 1. Diese Größenordnungen haben auch die relativistischen Korrekturen ( 4.3.): Summe beider Beiträge ergibt sowohl für j ½ als auch für j ½: Feinstrukturaufspaltung Entartung in bleibt bestehen ( zufällig). Nicht der Fall bei Mehrelektronatomen ( kein reines 1 r-Potential ). Elegantere Herleitung: Dirac-Gleichung ( e relativistisch, Spin-½)

26 s ( 0) p ( 1) d ( 2) n 1 n 2 n 3 Termschema des realen H-Atoms (Feinstruktur stark übertrieben): 1s ½ E 0 Ry * 2s ½ 3s ½ 2p ½ 3p ½

27 Der anomale Zeeman-Effekt Nomaler Zeeman-Effekt ( 4.2.): Experimentell nur bestätigt für Atome mit: Grund: Wechselwirkung zwischen magn. Spinmoment und B-Feld Voraussetzung: Das B-Feld ist hinreichend klein, derart, dass die Wechselwirkungsenergie zwischen magnetischem Spinmoment und B-Feld klein gegen die Feinstruktur-Energieverschiebung ist. Wechselwirkungsenergie ist kleine Korrektur zur Feinstruktur. QZ des ungestörten Wasserstoffatoms: n,, s ( ½), j, m j Gesamtdrehimpuls: Magnetisches Gesamtmoment:

28 Semiklassische Auswertung: (Vektormodell) ungestörtes Atom (B 0) ist verschmiert auf Kegel um verschmiert auf Kegel um ist Erhaltungsgröße Gemittelt über den Kegelmantel bleibt nur die Komponente von in Richtung von : V für : QM

29 Der alte Trick: Resultat: Landé-Faktor:

30 QZ des ungestörten H-Atoms: n,, m, s ( ½ ), m s ( ½ ) Der umgekehrte Fall: Voraussetzung: Das B-Feld ist hinreichend groß, derart, dass die Wechselwirkungsenergie zwischen magn. Spinmoment und B-Feld groß gegen die Feinstruktur-Energieverschiebung ist. Die Wechselwirkungsenergie ist eine Störung des Atoms ohne Spin- Bahn-Kopplung ( und beide erhalten). Die Spin-Bahn-Kopplung ist eine kleine Störung dieses gestörten Atoms ( 2. Störung). Paschen-Back-Effekt

31 Spektroskopische Notation: z. B. L, S, J QZ für Gesamtdrehimpuls -spin in Mehrelektronensystemen

32 D1D1 Beispiel: Die,,diffusen Natrium-Linien D 1, D 2 B 0 anomaler Zeeman-Effekt Paschen- Back-Effekt D2D2 mJmJ mLmL mSmS m L 2m S

33 4.5. Hyperfeinstruktur Spektroskopie höchster Auflösung Die Feinstruktur-Linien des H- Atoms sind gespalten in Dubletts Hyperfeinstruktur (HFS) Ursache: Atomkern positive Ladung Ze und endliche Ausdehnung Neutron n Q n 0 Proton p Q p e Atomkern Nukleonen (p oder n) tragen Bahndrehimpuls im Kern Nukleonen sind Spin-½-Teilchen Nukleonen sind selbst zusammen- gesetzt aus Spin-½-Quarks Up-Quark u Q u e Spin-½ Down-Quark d Q d e Spin-½ Neutron (ddu) Proton (uud) Kerne tragen Kernspin, sehr komplex zusammengesetzt aus Bahndrehimpulsen und Spins der Konstituenten.

34 Kernspin: Analog zum Elektron: Magnetisches Kern-Moment: K gyromagnetisches Verhältnis Q Z e ist positiv Natürliche Einheit: Kernmagneton Folge: HFS-Aufspaltung O(10 3 ) Feinstruktur-Aufspaltung Schreibweise: g I Landé-Faktor

35 Beispiel: Proton, Neutron I p I n ½ g p 2, g n 0 Protonen und Neutronen sind zusammengesetzt

36 Das Störpotential des Kernspins (semiklassisch im Vektormodell): Hüllenspin Magnetfeld am Kern Hülle besteht aus negativen Ladungen Der alte Trick: A j Hyperfeinkonstante Kopplung und nicht mehr getrennt erhalten, sondern nur noch

37 Ungestörte Wellenfunktion der Hülle Magnetfeld B j am Kern Resultat: für S-Zustände Bemerkung: Kleine Magnetfelder führen zur Aufspaltung der HFS- Linien gemäß g F B B m F (anomaler Zeeman-Effekt). Wird die magnetische WW-Energie groß gegen die HFS-Aufspaltung, spalten die Linien gemäß g j B B m j g I K B m I auf (Paschen-Back-Effekt). Die HFS kommt dann als kleine Zusatzaufspaltung gemäß A j m I m j hinzu ( Ableitung aus Vektormodell für ). Grundzustand des Wasserstoffatoms 0, s ½, j ½, I ½ Beispiel:

38 Der Wasserstoff-Grundzustand 1 2 S ½ : n 1, 0, j ½, I ½ Erinnerung: ½ sehr klein Analog:

39 B 0 anomaler Zeeman-Effekt Paschen- Back-Effekt HFS F 1 F 0 mFmF mjmj mImI m j m I Der Wasserstoff-Grundzustand 1 2 S ½ : n 1, 0, j ½, I ½

40 4.6. Die Lamb-Verschiebung Quantenelektrodynamik Quantenfluktuationen des Vakuums, z. B. e e e virtuelles Photon, Energie E Verletzung der Energie-Erhaltung t t Zitterbewegung des Elektrons Verschmierung durch Zitterbewegung V(r) r klassischer Bahnradius 0 Verschiebung der Energie- niveaus, besonders bei inneren Orbitalen (wo das Potential V(r) stark gekrümmt ist)

41 2s ½, 2p ½ Beispiel: Wasserstoffatom E 0 Ry * 2s, 2p 1s Schrödinger- Gleichung 1s ½ Dirac-Gleichung (Feinstruktur) 1s ½ Quanten- Elektrodynamik Exp. Test (Lamb & Retherford, 1947): Messung des Übergangs

42 4.6. Der Stark-Effekt Externes elektrisches Feld (homogen über Atom/Molekül-Volumen) a)Klassich: Betrachte System ohne permanentes elektr. Dipolmoment Kern Q K Ze Hülle Q H Ze elektr. Dipolmement: Ungestörtes Atom: Wechselwirkungsenergie: Die Wechselwirkungsenergie ist proportional zum Quadrat der Störgröße, d. h. es handelt sich um eine Störung zweiter Ordnung. induziertes elektr. Dipolmement: atomare Polarisierbarkeit (Tensor)

43 b)Quantenmechanisch: Elektronzustand sei nicht entartet! z Hüllenelektron Orbital: Potentielle Energie des Hüllenelektrons im E-Feld: hat eine wohlbestimmte Parität: Folgerung: gerade Funktion Folgerung: ist eine ungerade Funktion Folgerung: Ungestörte Atome besitzen kein elektrisches Dipolmoment. Ein äußeres elektrisches Feld führt zu keiner Energieverschiebung in erster Ordnung Störungsrechnung. (1) E E (2) Störungsrechnung 1. Ordnung Störungsrechnung 2. Ordnung quadratischer Stark-Effekt

44 c)Quantenmechanisch: Elektronzustand sei entartet! z Hüllenelektron mit entarteten Orbitalen: p Störmatrix der entarteten Orbitale p : V qp i.a. ungleich 0, falls q, p ungleiche Parität haben Folgerung: (V qp ) besitzt Eigenwerte 0 es gibt Energieverschiebungen linearer Stark-Effekt Ursache: Die Eigenzustände zur Störmatrix sind Linearkombinatio- nen der entarteten Orbitale, d. h. Mischungen von Orbitalen verschiedener Paritäten. Diese Eigenzustände besitzen daher i.a. nicht-verschwin- dende elektrische Dipolmomente:


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