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Wahrscheinlichkeitstheorie. Statistische Methoden I WS 2002/2003 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales.

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Statistische Methoden II SS 2008 Vorlesung:Prof. Dr. Michael Schürmann Zeit:Freitag (Pause: ) Ort:Hörsaal Makarenkostraße (Kiste)

Wahrscheinlichkeitstheorie. Statistische Methoden I WS 2002/2003 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales.

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Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz.

Statistische Methoden I WS 2007/2008 Probeklausur Donnerstag, 31. Januar 2008 und Freitag, 1. Februar statt Vorlesungen -

Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis. Einer von den dreien ist zum Tode verurteilt,

Wahrscheinlichkeitstheorie. Statistische Methoden I WS 2009/2010 Einleitung: Wie schätzt man die Zahl der Fische in einem See? Zur Geschichte der Statistik.

Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz.

Wahrscheinlichkeitsräume. A. N. Kolmogorov Kolmogorov wurde (mehr zufällig, seine Mutter war auf der Durchreise) in Tambov, Russland, geboren.

Die Vorlesung Statistische Methoden I fällt morgen ( ) aus! Zeit: 14:15 Ort: Hörsaal Loefflerstraße Diese Vorlesung wird am nächsten Donnerstag.

Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz.

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

Urnenmodelle. Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

Statistische Methoden I WS 2009/2010 Probeklausur Montag, 25. Januar statt Vorlesung -

Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie.

Statistische Methoden I WS 2004/2005 Probeklausur Freitag, 21. Januar statt Vorlesung - In 2 Wochen In 2 Wochen!

Verteilungsfunktion der Normalverteilung I. Verteilungsfunktion der Normalverteilung II.

Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie.

Wahrscheinlichkeitstheorie. Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum.

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Präsentation zum Thema: "Wahrscheinlichkeitstheorie. Statistische Methoden I WS 2002/2003 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales."—  Präsentation transkript:

1 Wahrscheinlichkeitstheorie

2 Statistische Methoden I WS 2002/2003 Zur Geschichte der Statistik I. Beschreibende Statistik 1. Grundlegende Begriffe 2. Eindimensionales Datenmaterial 2.1. Der Häufigkeitsbegriff 2.2. Lage- und Streuungsparameter 2.3. Konzentrationsmaße (Lorenz-Kurve) 3. Mehrdimensionales Datenmaterial 3.1. Korrelations- und Regressionsrechnung 3.2. Indexzahlen 3.3. Saisonbereinigung

3 II. Wahrscheinlichkeitstheorie 1. Laplacesche Wahrscheinlicheitsräume 1.1. Kombinatorische Formeln 1.2. Berechnung von Laplace-Wahrschein- lichkeiten 2. Allgemeine Wahrscheinlichkeitsräume 2.1. Der diskrete Fall 2.2. Der stetige Fall 2.3. Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit 3. Zufallsvariablen 3.1. Grundbegriffe 3.2. Erwartungswert und Varianz 3.3. Binomial- und Poisson-Verteilung 3.4. Die Normalverteilung und der Zentrale Grenzwertsatz

4 Beschreibende Statistik (= Deskriptive Statistik) Beschreibung von Datenmaterial Schließenden Statistik (= Induktive Statistik) Analyse von Datenmaterial, Hypothesen, Prognosen 1. Semester 2. Semester Wahrscheinlich- keitstheorie

5 Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

6 Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation von Mengenoperationen Vereinigung Durchschnitt

7 Differenz Komplement

8

9 Wahrscheinlichkeitsräume

10 Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes Daraus ergeben sich:

11 Urnenmodelle

12

13 Achtung Aufgabe!

14 Die Normalverteilung (Gauß-Verteilung) (Gaußsche Glockenkurve)

15 Die Poisson-Verteilung

16 Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

17 Die Binomialverteilung

18 Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

19 Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

20 Die hypergeometrische Verteilung Notation

21 Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

22 Achtung Aufgabe!

23 Achtung noch eine

24 Wahrscheinlichkeitsdichten

25 Die Exponential-Verteilung

26 Die Gauß- oder Normalverteilung

27 Gauß-Bildnis und –Kurve auf 100 DM-Schein

28 Die Cauchy-Verteilung

29 Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

30 Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

31 Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine

32 Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:

33 Allgemein definiert man:

34 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

35 Also haben wir: Allgemein definiert man:

36 Achtung Aufgabe!

37 Achtung

38 Pfadregel

39 Dann hat man:

40 START p(1) p(2) p(3) p( ) p( ) p( ) p(1.2 1) p(3.3 3) p(2.1 2) (Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1) Baumdiagramm

41 Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1.Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln

42 START /4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm

43 Achtung Aufgabe!

44 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM ,- anschaf- fen, in den verschiedenen Einkommensklassen

45 Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5

46 Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

47 Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

48 Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus- länder ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti

49 Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

50 Satz von Bayes

51 Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A 1, A 2 oder A 3 vorliegt: A 1 : eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A 2 : zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A 3 : drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un- bekannt. Wir setzen: P(A 1 ) = p 1 P(A 2 ) = p 2 P(A 3 ) = p 3

52 Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:

53 Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :

54 Für große m nähert sich die bedingte Wahr- scheinlichkeit für A 3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlich- keiten für A 1 und A 2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p 1, p 2 und p 3 hat man:

55 Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie

56 Verteilungsfunktion Beispiel Würfel

57 Verteilungsfunktion Beispiel n-facher Münzwurf

58 Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

59 Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

60 Verteilungsfunktion Beispiel Haushaltsgröße

61

62 Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion

63 Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichtefunktion Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

64 diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X

65 stetig f nennt man Dichtefunktion von X

66 Verteilungsfunktion diskret stetig

67 diskret stetig

68 Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

69 Die Binomialverteilung

70 Erwartungswert Varianz

71 Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

72 Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz Erwartungswert und Varianz II

73 Die Poisson-Verteilung

74 Erwartungswert Varianz

75 Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert und Varianz III

76 Erwartungswert Varianz

77 Die Gauß- oder Normalverteilung

78 Achtung Aufgabe!

79 Achtung noch eine

80 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

81 Erwartungswert Varianz

82 Die hypergeometrische Verteilung Notation

83 Erwartungswert Varianz

84 Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

85 Erwartungswert Varianz

86 Die Exponential-Verteilung

87 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

88 Erwartungswert Varianz

89 Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalbeines Tages geborenen Kinder

90 Brösel Bäckerei Brösel X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

91 Dann gilt: d. h.

92 Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die Einkaufswahrscheinlichkeit p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson- Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

93 Der Zentrale Grenzwertsatz

94 Achtung Aufgabe!

95 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

96 Achtung Aufgabe! noch eine

97 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

98 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man


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