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Veröffentlicht von:Walborg Gilb Geändert vor über 10 Jahren
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Allgemein definiert man:
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Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:
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Also haben wir: Allgemein definiert man:
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Pfadregel
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Dann hat man:
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1.1.2 1.2.22.1.12.1.22.1.3 3.2.13.2.2 3.3.1 1.2.13.3.2 1.1 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3 1 2 3 START p(1) p(2) p(3) p(1.1.2 1.1) p(2.1.1 2.1) p(3.3.1 3.3) p(1.2 1) p(3.3 3) p(2.1 2) (Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1) Baumdiagramm 1.1.11.2.3 3.1.1
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Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1.Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln
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START 0 1 0011 3/4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm
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Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > EURO 30 000,- an- schaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen EURO 30 000,- an
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Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5
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Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit
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Satz von Bayes
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In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.
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Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus- länder ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti
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Satz von Bayes
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Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes
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Satz von Bayes
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Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A 1, A 2 oder A 3 vorliegt: A 1 : eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A 2 : zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A 3 : drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un- bekannt. Wir setzen: P(A 1 ) = p 1 P(A 2 ) = p 2 P(A 3 ) = p 3
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Wir ziehen aus der Urne n Kugeln mit Zurücklegen mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:
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Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :
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Für große n nähert sich die bedingte Wahr- scheinlichkeit für A 3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingtenWahrscheinlich- keiten für A 1 und A 2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p 1, p 2 und p 3 hat man:
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Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie
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Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis. Einer von den Dreien ist zum Tode verurteilt, aber keiner der Drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid. Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wer von den Beiden anderen, B oder C, exekutiert werden wird. Man berechne die Überlebenswahrscheinlichkeit für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat. Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p dieAntwort B gibt und mit Wahrscheinlichkeit 1 - p die Antwort C. Ansonsten antwortet er wahrheitsgemäß.
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