Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

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1 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

2 Also haben wir: Allgemein definiert man:

3 Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

4 Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > EURO 30 000,- an- schaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen EURO 30 000,- an

5 Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5

6 Satz von Bayes

7 Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > EURO 30 000,- an- schaffen, in den verschiedenen Einkommensklassen EURO 30 000,- an

8 Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

9 Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus- länder ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti

10 Satz von Bayes

11 Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

12 Satz von Bayes

13 Hier noch ein Beispiel zur bedingten Wahrscheinlichkeit Drei Personen A, B und C befinden sich im Gefängnis. Einer von den Dreien ist zum Tode verurteilt, aber keiner der Drei weiß vor der Exekution über sein Schicksal Bescheid. Der Gefangene A fragt seinen Wärter, wer von den beiden Anderen, B oder C, exekutiert werden wird. Man berechne die Überlebenswahrscheinlichkeit für A, wenn der Wärter mit B geantwortet hat. Wir nehmen an, dass der Wärter, falls er dieWahl hat, mit Wahrscheinlichkeit p die Antwort B gibt und mit Wahrscheinlichkeit 1 - p die Antwort C. Ansonsten antwortet er wahrheitsgemäß.

14 Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie

15 Shirley FroheWeihnachten wünscht 2009

16 Wahrscheinlichkeitsräume

17 Verteilungsfunktion Beispiel Würfel

18 Verteilungsfunktion Beispiel n-facher Münzwurf

19 Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

20 Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

21 Verteilungsfunktion Beispiel Haushaltsgröße

22

23 Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion

24 Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichtefunktion Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

25 diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X

26 stetig f nennt man Dichtefunktion von X

27 Verteilungsfunktion diskret stetig

28 diskret stetig

29 Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

30 Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

31 Die Binomialverteilung

32 Erwartungswert Varianz

33 Beispiel Haushaltsgröße Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen)

34 Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz Erwartungswert und Varianz II

35 Die Poisson-Verteilung

36 Erwartungswert Varianz

37 Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert und Varianz III

38 Erwartungswert Varianz

39 Die Gauß- oder Normalverteilung

40 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

41 Erwartungswert Varianz