Wahrscheinlichkeitstheorie. Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum.

Präsentation zum Thema: "Wahrscheinlichkeitstheorie. Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum."—  Präsentation transkript:

1 Wahrscheinlichkeitstheorie

2 Laplacescher Wahrscheinlicheitsraum

3 Wahrscheinlichkeitstheoretische Interpretation von Mengenoperationen Vereinigung Durchschnitt

4 Differenz Komplement

5

6 Wahrscheinlichkeitsräume

7 Eigenschaften eines Wahrscheinlichkeitsmaßes Daraus ergeben sich:

8 Urnenmodelle

9

10 Aufgabe 1

11 Die Wahrscheinlichkeiten in (a) und (b) betragen 0,9714 und 0,4265 0,8714 und 0,3265 0,9714 und 0,5265 0,7714 und 0,4265

12 Die Poisson-Verteilung

13 Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

14 Die Binomialverteilung

15 Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt: Notation

16 Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

17 Die hypergeometrische Verteilung Notation

18 Eine Urne enthält n Kugeln, davon N weiße und n - N schwarze. Aus der Urne werden nacheinander m Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße Kugeln zu ziehen? Sie beträgt gerade H(n, N, m)(k)!

19 Aufgabe 2

20 Die Wahrscheinlichkeiten in (a) und (b) betragen 0,1888 und 0,2028 0,1714 und 0,3265 0,1714 und 0,5265 0,2714 und 0,2265

21 Aufgabe 3

22 Die Anzahl der Wörter beträgt 10 in (a), 60 in (b) und 440 in (c) 6 in (a), 40 in (b) und 640 in (c) 6 in (a), 60 in (b) und 2520 in (c) 6 in (a), 60 in (b) und 840 in (c)

23 Wahrscheinlichkeitsdichten

24 Die Exponential-Verteilung

25 Die Gauß- oder Normalverteilung

26 Gauß-Bildnis und –Kurve auf 100 DM-Schein

27 Die Cauchy-Verteilung

28 Die Student- oder t-Verteilung Hängt von Parameter n ab!

29 Die Chi-Quadrat-Verteilung Hängt ebenfalls von Parameter n ab!

30 Unabhängigkeit Vier Spielkarten zeigen auf der Vorderseite die folgenden Aufschriften: 1 Eine Karte wird zufällig gezogen. Ereignisse A, B und C A : Oben steht eine 0 B: In der Mitte steht eine 0 C: Unten steht eine 0 1 0 1 0 1

31 Trotzdem sind die Ereignisse A, B und C nicht unabhängig: d. h. C kann nicht eintreten, wenn A und B eintreten. Man hat zwar:

32 Allgemein definiert man:

33 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Die Belegschaft eines Betriebes wird nach Rauchern und Nicht- rauchern eingeteilt. Dabei ergibt sich die folgende Tabelle:

34 Also haben wir: Allgemein definiert man:

35 Aufgabe 4

36 A und B sind unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind nicht unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind nicht unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B) A und B sind unabhängig, weil P(A B) = P(A) P(B)

37 Es ist P(A B) = 1/2 und P(B A) = 1/4 P(A B) = 1/3 und P(B A) = 1/4 P(A B) = 1/4 und P(B A) = 1/8 P(A B) = 1/8 und P(B A) = 1/3

38 Aufgabe 5

39 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,333 0,25 0,125 0,5

40 Pfadregel

41 Dann hat man:

42 1.1.2 1.2.22.1.12.1.22.1.3 3.2.13.2.2 3.3.1 1.2.13.3.2 1.1 1.2 2.1 3.1 3.2 3.3 1 2 3 START p(1) p(2) p(3) p(1.1.2 1.1) p(2.1.1 2.1) p(3.3.1 3.3) p(1.2 1) p(3.3 3) p(2.1 2) (Eigentlich z. B. b(1.2.1) statt 1.2.1) Baumdiagramm 1.1.11.2.33.1.

43 Wir betrachten eine Urne mit einer roten und 3 grünen Kugeln. 1.Stufe: Eine Kugel wird zufällig gezogen, ihre Farbe notiert. Anschließend werden diese und eine Kugel derselben Farbe in die Urne zurückgelegt. 2. Stufe: Nach dem guten Mischen wird erneut eine Kugel zufällig gezogen und deren Farbe notiert. Urne mit roten und grünen Kugeln

44 START 0 1 0011 3/4 1/4 4/5 1/53/52/5 Baumdiagramm

45 Aufgabe 6

46 Die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,56 0,25 0,65 0,50

47 Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit Einkommensverteilung der Haushalte in einer bestimmten Gegend Anteil der Haushalte, die ein Auto > DM 40 000,- anschaf- fen, in den verschiedenen Einkommensklassen

48 Es ergibt sich: Also nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit: 5

49 Allgemein: Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

50 Satz von Bayes In einer Stadt vermutet man, dass für die Bevölkerung die folgende Aufteilung in Deutsche, Italiener und Ausländer, die keine Italiener sind, besteht: wobei die letzte Zeile den jeweiligen Anteil von Personen in der Bevölkerungsgruppe angibt, die gerne Spaghetti bestellen.

51 Jemand bestellt in einer Gaststätte Spaghetti. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Gast ein Deutscher, ein Italiener oder ein nicht-italienischer Aus- länder ist? D: Der Gast ist ein Deutscher I: Der Gast ist ein Italiener A: Der Gast ist ein Ausländer, aber kein Italiener S: Der Gast bestellt Spaghetti

52 Nach der Formel für die totale Wahrscheinlichkeit hat man: Daraus ergibt sich nach dem Satz von Bayes

53 Satz von Bayes

54 Lernen aus Erfahrung Beispiel Eine Urne enthält 4 Kugeln.Wir wissen, dass eine der folgen- den Situationen A 1, A 2 oder A 3 vorliegt: A 1 : eine Kugel ist rot, die drei anderen sind grün A 2 : zwei Kugeln sind rot, die beiden anderen grün A 3 : drei Kugeln sind rot, eine ist grün Die Wahrscheinlichkeiten für die drei Möglichkeiten sind un- bekannt. Wir setzen: P(A 1 ) = p 1 P(A 2 ) = p 2 P(A 3 ) = p 3

55 Wir ziehen aus der Urne m Kugeln mit Zurücklegen. Nehmen wir nun an, dass das Ereignis B geschieht. Bei jedem Zug zeigt sich eine rote Kugel B Dann hat man:

56 Nach dem Satz von Bayes erhalten wir: Ebenso :

57 Für große m nähert sich die bedingte Wahr- scheinlichkeit für A 3 gegeben B dem Wert 1, während sich die bedingten Wahrscheinlich- keiten für A 1 und A 2 dem Wert 0 annähern. Unabhängig von den Werten für p 1, p 2 und p 3 hat man:

58 Aufgabe 7

59 Die Wahrscheinlichkeit in (a) beträgt 0,15 0,5 0,2 0,1

60 Die Wahrscheinlichkeiten in (b) betragen 0,25 für A, 0,27 für B und 0,48 für C 0,2 für A, 0,3 für B und 0,5 für C 0,22 für A, 0,25 für B und 0,53 für C 0,25 für A, 0,28 für B und 0,47 für C

61 Grundbegriffe der (deskriptiven) Statistikder Wahrscheinlichkeitstheorie

62 Verteilungsfunktion Beispiel Würfel

63 Verteilungsfunktion Beispiel n-facher Münzwurf

64 Verteilungsfunktion der Normalverteilung I

65 Verteilungsfunktion der Normalverteilung II

66 Verteilungsfunktion Beispiel Haushaltsgröße

67

68 Häufigkeitstabelle für das Jahr 1980 (laut Schlittgen) Verteilungsfunktion

69 Zufallsvariablen Verteilung Verteilungsfunktion Wahrscheinlichkeitsfunktion Dichtefunktion Verteilung Die Verteilung einer ZV ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf den reellen Zahlen diskret stetig

70 diskret f nennt man Wahrscheinlichkeitsfunktion von X

71 stetig f nennt man Dichtefunktion von X

72 Verteilungsfunktion diskret stetig

73 diskret stetig

74 Erwartungswert und Varianz I Der endliche Fall Erwartungswert Varianz

75 Die Binomialverteilung

76 Erwartungswert Varianz

77 Gegeben seien n Zufallsvariablen Dann gilt immer: Wenn gilt dann hat man auch Gleichheit von Bienaymé

78 Der diskrete unendliche Fall Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert Varianz Erwartungswert und Varianz II

79 Die Poisson-Verteilung

80 Erwartungswert Varianz

81 Der stetige Fall f ist die Wahrscheinlichkeitsdichte. Dabei nehmen wir an, dass Erwartungswert und Varianz III

82 Erwartungswert Varianz

83 Die Gauß- oder Normalverteilung

84 Aufgabe 8

85 Die Varianz und Streuung von X betragen 0,76 und 0,8718 0,86 und 0,8718 0,79 und 0,8718 0,76 und 0,7718

86 Aufgabe 9

87 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

88 Erwartungswert Varianz

89 Die hypergeometrische Verteilung Notation

90 Erwartungswert Varianz

91 Die geometrische Verteilung Man erhält eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, weil gilt:

92 Erwartungswert Varianz

93 Die Exponential-Verteilung

94 Dichte Verteilung Verteilungsfunktion

95 Erwartungswert Varianz

96 Beispiele Poisson-verteilter Zufallsvariablen Anzahl der pro Zeiteinheit abgestrahlten Teilchen eines radioaktiven Präparats Anzahl der pro Zeiteinheit an einer Tankstelle tankenden PKW Anzahl der Sechser pro Ausspielung im Lotto Anzahl der pro Jahr von einer Versicherung zu regulierenden Schadensfälle Anzahl der innerhalbeines Tages geborenen Kinder

97 Brösel Bäckerei Brösel X : Anzahl der Kunden in der Bäckerei Brösel zwischen 7.00 Uhr und 7.15 Uhr n : Anzahl der betrachteten Haushalte Annahmen Die Wahrscheinlichkeit p, dass ein Haushalt zu der Zeit bei Brösel einkauft, ist bei allen Haushalten gleich Die Haushalte entscheiden unabhängig voneinander, ob sie bei Brösel einkaufen oder nicht

98 Dann gilt: d. h.

99 Nun wird die Anzahl n der betrachteten Haushalte vergrößert. Die Einkaufswahrscheinlichkeit p hänge dabei so von n ab, dass gilt: Dann konvergiert die Verteilung von X gegen eine Poisson- Verteilung. Genauer: Man hat im Limes n gegen unendlich

100 Der Zentrale Grenzwertsatz

101 Aufgabe 10

102 Die Wahrscheinlichkeiten betragen 0,312 in (a) und 0,686 in (b)

103 Das Gewicht in (c) beträgt etwa 210 g 195 g 201 g 220 g

104 Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

105 Aufgabe 11

106 Beispiel Äpfeln Gewicht von Äpfeln Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet Schätzer von

107 Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y hat man

108 + - 1/3 1/4

109 2 3 1 1/2 3/4 1/2 1

110 Endliche Markov-Ketten Der Aktienkurs der ZB-Aktie zeige das folgende Verhalten: - Wenn der Kurs heute gegenüber gestern gestiegen ist, dann steigt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 2/3 und fällt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/3 (gegenüber heute). - Ist jedoch der Kurs heute gegenüber gestern gefallen, dann fällt er morgen ebenfalls mit der Wahr- scheinlichkeit 3/4 und steigt morgen mit der Wahr- scheinlichkeit 1/4 (gegenüber heute).

111 Wir versehen jeden Tag mit einem Plus (+) oder mit einem Minus (-) je nachdem, ob der Kurs an diesem Tag gegenüber dem Vortag gestiegen oder gefallen ist. Dann hängt die Prognose dafür, ob der Kurs morgen gegenüber heute steigt oder fällt, nur davon ab, ob die Aktie heute mit einem + oder mit einem – versehen ist. +- + + - - 2/3 1/3 1/4 3/4

112 + - 1/3 1/4

113 Problem 1 Problem 1: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 10 Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist? Problem 2 Problem 2: Wie entwickelt sich die Wahrscheinlichkeit, in n Tagen einen Minus-Tag zu haben, wenn heute ein Plus-Tag ist, für großes n? Strebt diese Wahrscheinlichkeit für n gegen einen festen Wert? Was passiert, wenn man von einem Minus-Tag aus startet?

114 2 3 1 1/4 1/2 3/4 1/2 1

115 Die Maus in der Wohnung! Sie geht jeweils von einem Zimmer zu einem zufälligen Nachbarzimmer. Wie groß ist ihre Gewinnchance ? 5 4 KATZE Verlustzustand 1 MAUS Startzustand 2 3 KÄSE Gewinnzustand (Vorlesung Prof. Bandt)

116 123 5 4 1/2 1/3 1/2 1/3 KÄSE KATZE MAUS

117 0 1 2........ m-1 p p p p q q q q m

118 0 1 2........ p p p p q q q q q m........ Ruin des Spielers

119 Anwendungen von Markov-Ketten Warteschlangen-Modelle Lagerhaltung Krankenstand in einem Betrieb und viele weitere ….

120 Aufgabe 12

121 Der langfristige Umsatzanteil des Unternehmens beträgt 1/5 1/3 2/3 1/4

122 Aufgabe 13

123 Die langfristige Verteilung der Kundenanteile ist gegeben durch (1/2, 1/2) (1/3, 2/3) (2/3, 1/3) (1/4, 3/4)

124 Aufgabe 14

125 Prof. S. muss im Durchschnitt länger als 130 Jahre warten ungefähr 2 Jahre warten zwischen 10 und 20 Jahren weniger als 10 Jahre warten