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E-Mail: klaus_messner@web.de, Internet: www.elearning-freiburg.de
Zusatzthemen Funktionsscharen Ortskurven Extremwertaufgaben Bedienung des GTR Internet:
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Funktionsscharen Eine Funktion, die neben dem ΓΌblichen Parameter π₯ noch einen zweiten Parameter besitzt, bezeichnet man als eine Funktionsschar. Der zweite Parameter wird zumeist mit π‘ oder π bezeichnet. Beispiele: π π‘ π₯ = π π‘π₯ ; π‘>0 π π π₯ =πβ
sin π₯ ; πββ
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Funktionsscharen Einzelne Funktionen einer Schar bekommt man durch Einsetzen eines konkreten Werts fΓΌr den zweiten Parameter. Beispiel: π π‘ π₯ =π‘π₯β
π π₯ π‘ , π‘>0 FΓΌr Funktionsscharen stellen sich dieselben Fragen wie bei einfachen Funktionen: Ableitungen Hoch-, Tief- und Wendepunkte Nullstellen ... π¦ π π‘ π₯ =π‘π₯β
π π₯ π‘ π 1 π₯ π₯ π 2 π₯ π 3 π₯ π 4 π₯ π π₯
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Berechnungen mit Funktionsscharen
Bei Rechenoperationen, wie z.B. beim Ableiten wird der Para- meter wie ein konkreter Zahlenwert behandelt! Beispiele: π π‘ π₯ = π‘π₯ 2 βπ β² π‘ π₯ =2π‘π₯ π π π₯ =sin ππ₯ βπ β² π π₯ =πcos ππ₯ Aufgaben: Bilden Sie die Ableitung der beiden folgenden Funktionsscharen und bestimmen Sie die Extrempunkte. π π‘ π₯ = π₯+π‘ 3 +2t π π‘ π₯ =π‘π₯β
π π₯ π‘
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Ortskurven Wenn man charakteristische Punkte, etwa Hoch- oder Tief- punkte zu jeder einzelnen Funktion der Schar einzeichnet und diese verbindet so erhΓ€lt man eine neue Kurve, die Ortskurve der Hoch- oder Tiefpunkte. Zuweilen wird in den Abi-Aufgaben gefordert, einen Funktionsterm fΓΌr die Ortskurve der Hoch- oder Tief- punkte zu finden. π¦ π π‘ π₯ =π‘π₯β
π π₯ π‘ π 1 π₯ π₯ π 2 π₯ π 3 π₯ π 4 π₯ π π₯
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Rechenbeispiel Gesucht ist die Ortskurve der Tiefpunkte der Funktionenschar π π‘ π₯ =π‘π₯β
π π₯ π‘ . LΓΆsung: Bestimme zunΓ€chst die ersten beiden Ableitungen π β² π‘ π₯ =π‘β
π π₯ π‘ +π‘π₯β
π π₯ π‘ β
1 π‘ = π π₯ π‘ π‘+π₯ π π‘ β²β² π₯ = 1 π‘ π π₯ π‘ π‘+π₯ + π π₯ π‘ = π π₯ π‘ 1 π‘ π‘+π₯ +1 Setze wie ΓΌblich π β² π‘ π₯ =0, um die Kandidaten fΓΌr die Tiefpunkte zu finden.
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π β² π‘ π₯ = π π₯ π‘ π‘+π₯ π π‘ β²β² π₯ = π π₯ π‘ 1 π‘ π‘+π₯ +1 Rechenbeispiel π β² π‘ π₯ = π π₯ π‘ π‘+π₯ =0 folgt π₯=βπ‘ Eingesetzt in π π‘ β²β² π₯ folgt: π π‘ β²β² βπ‘ = π β1 >0 β Tiefpunkt. Eingesetzt in π π‘ π₯ folgt: π π‘ βπ‘ =β π‘ 2 π β1 =β π‘ 2 π . Damit ergibt sich die Menge der Tiefpunkte zu ππ π‘ βπ‘ β π‘ 2 π . π₯=βπ‘ lΓΆst man nun nach π‘ auf und erhΓ€lt π‘=βπ₯. Den Parameter setzt man in die π¦-Koordinate und erhΓ€lt die Ortskurve: π¦=β βπ₯ 2 π =β π₯ 2 π . Ergbnis: Die Ortskurve der Tiefpunkte lautet π(π₯)=β π₯ 2 π .
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Bestimmung von Ortskurven
Die π¦-Koordinate der Extrem- oder Wendepunkte ist nicht der Funktionsterm der Ortskurve, denn die π¦-Koordinate hΓ€ngt in der Regel noch vom Parameter π‘ ab. Der Funktionsterm der Ortskurve muss aber von π₯ abhΓ€ngen! LΓΆse hierzu die π₯-Koordinate nach dem Parameter π‘ auf und erhalte so einen Ausdruck fΓΌr π‘ in AbhΓ€ngigkeit von π₯. Setze diesen Ausdruck nun in der π¦-Koordinate ein und erhalte den Funktionsterm der Ortskurve in AbhΓ€ngigkeit von π₯.
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Aufgaben Es sei π π π₯ =10 π₯βπ π βπ₯ , πβ β 0 Gesucht ist der Funktionsterm derjenigen Kurve auf der alle Hochpunkte von π π π₯ liegen. LΓΆsung: π π β² π₯ =10 π βπ₯ 1+πβπ₯ π π β²β² π₯ =β10 π βπ₯ 2+πβπ₯ π»π π 1+πβ£10 π β1βπ π π₯ =10 π βπ₯ ist die Ortskurve der Hochpunkte von π π π₯ .
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Extremwertaufgaben In einer Extremwertaufgabe geht es darum, eine Funktion zu minimieren bzw. zu maximieren. Die Schwierigkeit besteht vor allem darin, aus den Angaben in der Aufgabenstellung den Funktionsterm zu finden. Zumeist ist der Funktionsterm abhΓ€ngig von mehreren GrΓΆΓen, so dass das zweite Problem darin besteht, den Funktionsterm so umzuwandeln, dass dieser nur noch von einer GrΓΆΓe abhΓ€ngt.
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Rechenbeispiel 1 Aus einem rechteckigen StΓΌck Blech soll ein oben offener BehΓ€lter hergestellt werden. Das Blech ist 60cm lang und 48cm breit. An den vier Ecken werden Quadrate ausgeschnitten. Die Quadrate sollen so ausgeschnitten werden, dass das FassungsvermΓΆgen des BehΓ€lters mΓΆglichst groΓ wird. KlebeflΓ€chen werden dabei nicht berΓΌcksichtigt. Bestimmen Sie die Abmessungen des BehΓ€lters und dessen Volumen.
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LΓΆsung Skizze anfertigen! Volumenformel aufstellen: π=(πβ2π₯)Β·(πβ2π₯)Β·π₯ DafΓΌr sorgen, dass π nur noch von einer GrΓΆΓe abhΓ€ngt: π π₯ = 60β2x Β· 48β2x Β·π₯= 4x 3 β 216x x Maximum mit Ableitung finden: πβ² π₯ = 12x 2 β432x+2880=0β π₯ 1 =25,17; π₯ 2 =8,83 Es folgt: πβ²=42,34cm;πβ²=30,34cm;π 8,83 = 11343cm 3 πβ² πβ²
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LΓΆsungsschema Funktion mit Hilfe der Angaben in der Aufgabe erstellen.
DafΓΌr sorgen, dass der Funktionsterm nur noch von einer GrΓΆΓe abhΓ€ngt. Ableitung bilden um Minimum oder Maximum zu finden. Damit lassen sich dann die gesuchten GrΓΆΓen ermitteln.
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Rechenbeispiel 2 Gegeben ist eine Rolle mit 50m Zaun. Damit soll nun ein rechteckiges StΓΌck Land so umzΓ€unt werden, dass die LandflΓ€che mΓΆglichst groΓ wird. Wie lauten dann die Abmessungen des Rechtecks und wie groΓ ist dessen FlΓ€che? LΓΆsung: π΄=πβ
π. Mit π=2π+2π=50 folgt π=25βπ. Eingesetzt in π΄ folgt π΄ π =πβ
25βπ =β π 2 +25π. Maximum mit Ableitung finden: π΄β π =β2π+25=0 β π=12,5 β π=25βπ=12,5 π΄ββ(π)=β2<0, also liegt bei π=12,5 ein HP. Es folgt π΄=πβ
b= 12,5 2 =156,25 m 2 .
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Aufgabe 1 Die Parabel π π₯ =β π₯ 2 +6xβ5 schlieΓt oberhalb der π₯-Achse zwischen den beiden Nullstellen eine FlΓ€che ein. Berechnen Sie diese FlΓ€che. Ein Rechteck ist symmetrisch einbeschrieben und liegt mit der Unterkante auf der π₯-Achse. Wie mΓΌssen die Abmessungen des Rechtecks lauten, damit dessen FlΓ€cheninhalt maximal wird?
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LΓΆsung Nullstellen mit GTR oder p-q-Formel: π₯ 1 =1; π₯ 2 =5; π₯ πππ‘π‘π =3 FlΓ€che zwischen den NST mit GTR: π΄= 1 5 β π₯ 2 +6π₯β5 ππ₯β10,67 m 2 FlΓ€chengrΓΆΓtes Rechteck: π΄ =πβ
π=π π₯ 0 β
2β
3β π₯ 0 Maximum mit dem GTR: π₯ 0 β1,845 und damit π΄ β6,16. π π₯ =β π₯ 2 +6π₯β5 π΄ π(π₯ 0 ) π΄ 1 π₯ 0 3β π₯ 0 3 5 π=2β
3β π₯ 0
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Wahlteil 2006 Ana I 2, Aufgabe 2.1 Gegeben ist die Funktion π mit π(π₯)=4 sin π 12 π₯ fΓΌr 0β€π₯ β€12. Ihr Schaubild sei πΎ. b) Bestimmen Sie die SeitenlΓ€nge des flΓ€chengrΓΆΓten Rechtecks, bei dem zwei Ecken auf der π₯-Achse und die beiden anderen Ecken auf πΎ liegen.
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Bedienung des GTR Zeichnen einer Kurve Minimum, Maximum, Schnittpunkte Nullstellen FlΓ€chen berechnen Lineare Gleichungssysteme
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Zeichnen einer Kurve Mit Y= in den Y-Editor wechseln und dort den oder die Funktionsterme eingeben. Γber WINDOW Achsenskalierung des Koordinatensystems eingeben. Mit GRAPH die Funktion(en) zeichnen lassen. Mit den Pfeiltasten kann man im Y-Editor ein Gleichheitszeichen anfahren und mit ENTER markieren bzw. demarkieren. Gezeichnet werden nur Funktionen mit markiertem Gleichheitszeichen.
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Funktionswerte, Minimum, Maximum
Mit TRACE kann man dem Kurvenverlauf folgen. Die Koordinaten werden dann am unteren Rand im Display angezeigt. Γber 2ND CALC min bzw. 2ND CALC max kann man Minima bzw. Maxima einer Funktion bestimmen. Man gibt dabei zuerst die linke, dann die rechte Intervallgrenze an (mit den Pfeil- tasten oder durch Eingabe der x-Werte von Hand). Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.
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Schnittpunkte Γber 2ND CALC intersect kann man den Schnittpunkt zweier Kurven bestimmen. Man wΓ€hlt mit den Pfeiltasten zuerst die eine, dann die andere Kurve. Jede Eingabe wird mit ENTER abgeschlossen. Ein letztes ENTER startet die Berechnung.
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Nullstellen Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen. Γber 2ND CALC zero kann man die Nullstelle in einem Intervall bestimmen. Auswahl der Intervallgrenzen wie ΓΌblich. ENTER startet die Berechnung.
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Nullstellen mit dem GleichungslΓΆser
Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln. Γber MATH solver wird der GleichungslΓΆser aufgerufen, siehe Abb., ggf. β tippen. Funktionsterm oder Y-Variable eingeben (Y-Variablen sind ΓΌber VARS Y-VARS ENTER erreichbar). Bei der Anzeige X= Startwert eingeben ohne ENTER. ALPHA SOLVE tippen, dann steht bei X= das Ergebnis.
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FlΓ€chen berechnen β Methode 1
Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor und mir GRAPH zeichnen lassen. Γber 2ND CALC β«f(x)dx wΓ€hlen. Intervallgrenzen wie ΓΌblich eingeben und ENTER tippen. Die entsprechende FlΓ€che wird eingezeichnet und der Wert des Integrals wird am unteren Rand angezeigt. Der Wert des Integrals entspricht nicht zwangslΓ€ufig der GrΓΆΓe der FlΓ€che!!! Um die FlΓ€che zu berechnen sind ggf. Einzelberechnungen nΓΆtig!
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FlΓ€chen berechnen β Methode 2
Eingabe des Funktionsterms im Y-Editor. Mit 2ND QUIT in den Anzeigemodus wechseln. Wert des Integrals ΓΌber MATH fnInt( berechnen. Bsp.: fnInt(Y1,X,0,2) Parameter 1: Y-Variable oder Funktionsterm Parameter 2: Integrationsvariable. Eigentlich immer X. Parameter 3 und 4: Linke und Rechte Intervall-grenze. Y-Variablen wΓ€hlt man ΓΌber VARS Y-VARS ENTER.
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LΓΆsen linearer Gleichungssysteme
Eingabe der Matrix ΓΌber 2ND MATRIX und Auswahl der Matrixbezeichnung (A). Γber EDIT werden zunΓ€chst die Anzahl der Zeilen und Spalten eingegeben. Mit ξ₯ gelangt man ins Eingabefeld. Zeilenweise Koeffizienten eintippen, hier 2 ENTER, -3 ENTER, 1 ENTER, -1 ENTER usw. Mit 2ND QUIT zurΓΌck in den Anzeigemodus. Mit 2ND MATRIX rref(A) ENTER wird das Gleichungssystem gelΓΆst. Den Matrixbezeichner A bekommen Sie ebenfalls ΓΌber 2ND MATRIX. I. 2x -3y + z = -1 II. x - y + 2z = 5 III. 3x +2y - z = 4 x=1, y=2, z=3
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