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DIE HÜLLKURVE Beispiel aus dem Alltag: Beim Transportieren von Möbeln muss man zunächst überprüfen, ob sich die Einrichtungsgegenstände auch um die Ecke.

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Präsentation zum Thema: "DIE HÜLLKURVE Beispiel aus dem Alltag: Beim Transportieren von Möbeln muss man zunächst überprüfen, ob sich die Einrichtungsgegenstände auch um die Ecke."—  Präsentation transkript:

1 DIE HÜLLKURVE Beispiel aus dem Alltag: Beim Transportieren von Möbeln muss man zunächst überprüfen, ob sich die Einrichtungsgegenstände auch um die Ecke bewegen lassen.

2 Berechnung einer Hüllkurve am Beispiel der Kurvenschar g a (x) = 1/a e – ½ x² + ax

3 I. Ordinatenbestimmung Zur Ordinatenbestimmung stellen wir uns an eine Stelle x der x-Achse An dieser Stelle betrachten wir alle Punkte P a der Scharkurve, die direkt über oder unter uns liegen. P a (x ; 1/a · e – ½ x² + ax ) Der Bereich in dem die Ordinaten liegen = Wertemenge der Funktion h x (a) = 1/a e – ½ x² + ax

4 Für x > 0 h x (a) = 1/a e – ½ x² + ax z.B. h 2 (a) = 1/a e a g a (x) = 1/a e – ½ x² + ax z.B. g 2 (x) = 1/2 e – ½ x² + 2x h 2 (a) = 1/a e a = g a (2) = 1/a e a

5 Wir suchen nun den Wert für a für den die Funktion h x (a) Extrempunkte besitzt: II.Wertemenge der Hüllkurve h x (a) = 1/a · e – ½ x² + ax h x (a) = - 1/a² · e – ½ x² + ax + 1/a · x · e – ½ x² + ax h x (a) = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax Extremwertbestimmung: Wir suchen den Wert für a für den h x (a) = 0 0 = (- 1/a² + x/a) · e – ½ x² + ax da die e-Funktion keine NS hat: 0 = (-1/a² + x/a) a = 1/x

6 Ordinaten der Extrempunkte: h x (1/x) = x e – ½ x² + 1

7 Die Extrempunkte der Funktion h x (a) besitzen alle die Koordinaten E x (1/x ; x · e – ½ x² +1 ) Für x > 0 Vorzeichenwechsel von -1 nach +1 Minima E 0,2 (5 ; 0,53) E 0,5 (2 ; 1,2) E 1 (1 ; 1,65)

8 Für x < 0 Vorzeichenwechsel von +1 nach -1 Maxima z.B. E -2 (-0,5 ; - 0,75) E -1 (-1; - 1,7)

9 Zusammenfassung: Für a = 1/x besitzt die Wertemenge der Funktion Extrempunkte Alle Extrempunkte besitzen die Koordinaten: E x (1/x ; x · e – ½ x² +1 ) Alle Punkte der Hüllkurve liegen auf dem Graf der Funktion y = x · e – ½ x² +1

10 Hüllkurve von h x (a) g a (x) = 1/a e – ½ x² + ax g a (x) =(-x/a + 1) · e – ½ x² +1 0 = (-x/a + 1) · e – ½ x² +1 x = a g a (a) = 1/a e ½ a²

11 Die Ortslinie waagrechter Tangenten von g a (x) stellt die Hüllkurve der Funktion h x (a) dar.

12 Um nun die Wertemenge der Funktion h x (a) zu bestimmen müssen wir einige Grenzwerte berechnen Fallunterscheidung: x > 0 Minima im Bereich a > 0 lim 1/a e – ½ x² +ax = + a 0+ Erster Teil der Wertemenge: [x e – ½ x²+1 ; +[ a < 0 h x (a) < 0 lim h x (a) = lim 1/a e – ½ x² +ax = 0 - a - Zweiter Teil der Wertemenge: ]- ; 0[

13 W hx = ] - ; 0[ U [x e - ½ x²+1 ; +[ Für x > 0 Wertemenge für positive Parameter x:

14 x < 0 Maxima im Bereich a < 0 lim 1/a e – ½ x² +ax = - a 0 - Erster Teil der Wertemenge: ]- ; x e – ½ x² +1 ] a > 0 lim 1/a e – ½ x² +ax = + a 0+ lim 1/a e – ½ x² +ax = 0 a + Zweiter Teil der Wertemenge: ]0; + [

15 Für x < 0 W hx = ]- ; x e – ½ x² +1 ] U ]0; + [ Wertemenge für negative Parameter x:

16 Die Hüllkurve besteht aus der x-Achse und der Kurve y = x e – ½ x²+1

17 Aufgabe: Bestimme von folgender Schar die Hüllkurve: g a (x) = (x + a) e (a-11x)/12x


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