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Chaos in Eppelborn1 Mathe in Eppelborn Mathe für Alle Dank an Peter Wagner von der SZ Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat)

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Präsentation zum Thema: "Chaos in Eppelborn1 Mathe in Eppelborn Mathe für Alle Dank an Peter Wagner von der SZ Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat)"—  Präsentation transkript:

1 Chaos in Eppelborn1 Mathe in Eppelborn Mathe für Alle Dank an Peter Wagner von der SZ Dank an der Bürgermeister (Getränkeautomat)

2 Chaos in Eppelborn2 Chaos in Eppelborn, Chaos überall. Warum wir die Zukunft nicht berechnen können, heute nicht und auch in Jahren nicht.

3 Chaos in Eppelborn3 Was auf Sie zukommt: 20 Minuten: Einfaches, Wetter und so 30 Minuten: Mathe, Bevölkerungswachstum 10 Minuten: Einfach, aber wichtig: Eine neue Weltsicht Stellen Sie bitte Fragen!

4 Chaos in Eppelborn4 Nach dem Vortrag wissen Sie was deterministisches Chaos bedeutet dass vieles nie berechnet werden kann

5 Chaos in Eppelborn5 Deterministisches Chaos Chaos: gr., formlos, konfus. Ovid: die in unermesslicher Finsternis liegende gestaltlose Urmasse. Vorstufe des Kosmos Heute: Totales Durcheinander, Auflösung jeder Ordnung Kosmos: gr., Ordnung, Weltall Determinare: lat., bestimmen, festlegen

6 Chaos in Eppelborn6 Unser Traum: Die Zukunft kennen Das Wetter morgen Börsenkurse in 4 Wochen Steueraufkommen im nächsten Jahr Erdbevölkerung in 15 Jahren Astrologie oder Science?

7 Chaos in Eppelborn7 Warum es gelingen könnte: Kausalität Schwache Kausalität: Gleiche Ursachen, gleiche Wirkungen Starke Kausalität: Ähnliche Ursachen, ähnliche Wirkungen Dazu die Naturgesetze! (Klassische Physik)

8 Chaos in Eppelborn8 Der Traum von Laplace Verlauf der Welt aus dem Anfangszustand mit Hilfe der Physik berechnen. Die Welt ist deterministisch

9 Chaos in Eppelborn9 Triumph der Methode Entdeckung des Planeten Neptun durch Galle 1846

10 Chaos in Eppelborn10 Triumph der Methode? Wettervorhersage Kachelmann und Co: Wie machen die das?

11 Chaos in Eppelborn11 Methoden der Wettervorhersage: 1. Katalog von Situationen: Ähnliche Situation, ähnliche Entwicklung, (Bauernregeln, heute Datenbanken mit Wettersituationen) 2. Aktuellen Zustand erfassen: Vorhersage mit Physik und Computern

12 Chaos in Eppelborn12 Wettervorhersage: DWD Ausgangsdaten in Gitterpunkten erfassen: Die ist der Zustand X 0

13 Chaos in Eppelborn13 Wettervorhersage: DWD Messen des aktuellen Zustands : X 0 Berechnen des Zustands X 1 in 30 Minuten. Danach: Berechnen des Zustands in 60 Minuten auf der Basis von X 1 : X 2 So gehts weiter!

14 Chaos in Eppelborn14 Math. Prinzip: Diskrete Iteration Berechnungsvorschrift f X 0 gegebenZustand jetzt X 1 = f(X 0 )Zustand in 30 Minuten X 2 = f(X 1 ) X 3 = f(X 2 ).....

15 Chaos in Eppelborn15 Der Anfang: Edward Lorenz Lorenz, amerikanischer Meteorologe, Birkhoff-Schüler 1963: Untersuchung eines Computer- Wettermodells mit drei Kenngrößen.

16 Chaos in Eppelborn16 Lorenz: Computerwetter extrem sensibel gegenüber Änderungen der Anfangsbedingungen (chaotisch) Lorenz findet die richtige Interpretation: Die starke Kausalität gilt nicht in seinem System.

17 Chaos in Eppelborn17 Die weiteren Ergebnisse von Lorenz Es gibt bei dem Computerwetter stabile Wetterlagen, periodische Wetterlagen, chaotische Wetterlagen

18 Chaos in Eppelborn18 Lorenz-Attraktor

19 Chaos in Eppelborn19 Lorenz-Attraktor

20 Chaos in Eppelborn20 Chaotische Wetterlagen Es gibt keine gleichen Wetterzustände (sonst wäre das Wetter periodisch!) Das Wetter kann nicht jeden Zustand annehmen

21 Chaos in Eppelborn21 Suche nach chaotischen Systemen Lineare Systeme sind nie chaotisch Also: Versuch mit möglichst einfachen nichtlinearen Systemen mit Anwendungen: Wachstumsmodelle

22 Chaos in Eppelborn22 Exkurs: Lineare Systeme Ganz einfach: Doppelte Ursache, doppelte Wirkung Dreifache Ursache, dreifache Wirkung......

23 Chaos in Eppelborn23 Nichtlinear: Lagerverschleiß Doppelte Beladung, Sechzehnfacher Verschleiß

24 Chaos in Eppelborn24 Wachstumsmodelle Fibonacci Verhuelst Polya

25 Chaos in Eppelborn25 Fibonacci: Kanickelvermehrung J 1 = 1, E 1 = 0 J 2 = 0, E 2 = 1 J 3 = E 2, E 3 = E 2 + J 2 J 4 = E 3, E 4 = E 3 + J 3 J i+1 = E i, E i+1 = E i + J i Kaninchen sind unsterblich

26 Chaos in Eppelborn26 Fibonacci: Kanickelvermehrung F 1 = 1 F 2 = 1 F 3 = F 1 + F 2 F 4 = F 2 + F 3 F i+1 = F i-1 + F i Kaninchen sind unsterblich

27 Chaos in Eppelborn27 Einige Fibonaccizahlen

28 Chaos in Eppelborn28 Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System Verhuelst: Einfaches Bevölkerungsmodell Feigenbaum: Untersuchung des Modells mit Computern

29 Chaos in Eppelborn29 Das Verhuelst/Feigenbaum- System Wachstum einer Bevölkerung X i = Größe der Population im i-ten Jahr Maximum der Population = 1 (100 %)

30 Chaos in Eppelborn30 Logistisches Modell Annahmen: X i+1 X i X i+1 1 – X i Also: X i+1 = r X i (1 – X i ) r = Fruchtbarkeitsparameter

31 Chaos in Eppelborn31 Die einfache Mathematik: x i+1 = f(x i ), f(x) = rx(1-x), 0< r <4 r = 1 r = 4

32 Chaos in Eppelborn32 Verhuelst: Start: 0,25, r = 1

33 Chaos in Eppelborn33 Verhuelst: Start: 0,25, r = 2

34 Chaos in Eppelborn34 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3

35 Chaos in Eppelborn35 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5

36 Chaos in Eppelborn36 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6

37 Chaos in Eppelborn37 Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9

38 Chaos in Eppelborn38 Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9

39 Chaos in Eppelborn39 Das Feigenbaumdiagramm Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene Fruchtbarkeiten r?

40 Chaos in Eppelborn40 Nach tausend Perioden 0 < r< 4

41 Chaos in Eppelborn41 Nach tausend Perioden 0 < r < 3

42 Chaos in Eppelborn42 Nach tausend Perioden 3 < r< 4

43 Chaos in Eppelborn43 Nach 2000 Perioden: r > 3,5

44 Chaos in Eppelborn44 Nach 2000 Perioden: r > 3,8

45 Chaos in Eppelborn45 Es gäbe noch viel zu sagen zu Feigenbaum: Feigenbaumkonstante Andere Funktionen Der Satz von Sarkowski

46 Chaos in Eppelborn46 Was ist ein chaotisches System? Sensibel gegen Anfangsbedingungen Periodische Punkte liegen dicht Jede Teilfläche erreicht jedes Gebiet (Topologische Transitivität)

47 Chaos in Eppelborn47 Einige Themenfelder Dreikörperproblem: Poincaré Turbulenz: Kolmogoroff VWL-Modelle Wettermodelle Steuerung des Herzschlags Populationsmodelle

48 Chaos in Eppelborn48 Die wichtigste Konsequenz: Gute Vorhersagen nach n Perioden: Genauigkeit der Anfangsbedingungen wächst exponentiell in n. Vieles wird nie berechenbar sein!

49 Chaos in Eppelborn49 Meine Sicht der Welt: Gott sei Dank ist nicht alles vorhersagbar Mit Mathe und sonstigen Wissenschaften ist man dennoch gut bedient Grenzwissenschaften sind keine Alternative

50 Chaos in Eppelborn50 Zufall und Wahrscheinlichkeit 4 Wege zu Zufall und Wahrscheinlichkeit: –Die Laplace-Methode (Pascal) –Kolmogoroffs Axiome (etwa 1930) –Kolmogoroffs zufällige Folgen (1960) –Chaos (ab 1965)

51 Chaos in Eppelborn51 Laplace-Wahrscheinl. Beispiel: Würfeln mit einem idealen Würfel

52 Chaos in Eppelborn52 Axiomatische Wahrscheinl. Kolmogoroff: Grundgesetze für Wahrscheinlichkeiten (Rechenregeln), etwa 1930 Die Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bleibt dem Anwender überlassen

53 Chaos in Eppelborn53 Zufällige Folgen Kolmogoroff (1960): Wann ist eine Folge zufällig? Beispiele: 0, 0, 0, 0, 0, 0, , 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, , 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0,.... 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0,

54 Chaos in Eppelborn54 Zufällige Folgen Kolmogoroff: Eine Folge ist umso zufälliger, je länger ihre Beschreibung ist

55 Chaos in Eppelborn55 Eine neue Sicht: Chaos Würfeln ist chaotisch und erscheint daher als Zufallsexperiment

56 Chaos in Eppelborn56 Mathe in Eppelborn Es geht im Sommer weiter! Geplante Themen: –Überleben mit Statistik –Numerologie, ist da was dran Eine lange Nacht der Mathematik in Eppelborn?


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