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Koordinatensysteme und Transformationen P1P1 P1P1.

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Präsentation zum Thema: "Koordinatensysteme und Transformationen P1P1 P1P1."—  Präsentation transkript:

1 Koordinatensysteme und Transformationen P1P1 P1P1

2 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme2 Inhalt Koordinatensysteme –Beschreibung von Positionen (Punkten) in 2D und 3D –Mathematische Basis für computergraphische Algorithmen Transformationen –Mathematische Beschreibung geometrischer Veränderungen von Objekten –Einfache arithmetische Operationen –Repräsentation durch Matrizen –2D und 3D Projektionen –Übergang von nD nach (n-1)D – hier 3D nach 2D –Grundlage für Kameramodelle in der Computergraphik

3 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme3 Einführung Motivation:Koordinatensysteme und Transforma- tionen für die Abbildung von 3D-Modellen entsprechend einer Kameraposition Beispiele: –Weltkoordinaten Kamerakoordinaten (3D-Modelle und Kamera in einheitliches Koordinatensystem überführen) –Projektion auf die Bildebene (Kamerakoordinaten Bildkoordinaten) Grundlagen: Geometrie und lineare Algebra Ausgangspunkt: Beschreibung von Objekten durch Mengen von Eckpunkten und Kanten (Polygone bzw. Polyeder)

4 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme4 Einführung Skalare, Punkte und Vektoren Jeder Vektor (a,b,c) kann eindeutig in eine Linearkombination der Elemente der Basis des Vektorraumes zerlegt werden: –(a,b,c) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) –Skalare a, b und c sind die kartesischen Koordinaten des Vektors im System der Einheitsvektoren des euklidischen Koordinatensystems. –Die kartesischen Koordinaten eines Vektors sind die Projektionen dieses Vektors auf die Koordinatenachsen. Skalare sind reelle/komplexe Zahlen. Bei Transforma- tionen repräsentieren sie z.B. Drehwinkel und Skalie- rungsfaktoren.

5 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme5 Skalare, Vektoren und Matrizen Skalare– 0-dimensional Vektoren– 1-dimensional, n Komponenten Matrizen– 2-dimensional, nxm Elemente Zusammenhang: Komponenten eines Vektors bzw. Elemente einer Matrix sind Skalare. Zeilen bzw. Spalten einer Matrix sind Vektoren. Warum Matrizen? Beschreibung von Transformationen (Trafo-Matrizen) Einführung

6 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme6 Implementierung: Graphikbibliotheken enthalten oft vordefinierte Strukturen bzw. Klassen für Punkte, Vektoren und Matrizen. Diese enthalten Methoden zum Rechnen mit Vektoren. Beispiele: Überladen von Operatoren zur Addition, Subtraktion Bestimmung von Kreuz- und Skalarprodukt Bestimmung der Größe eines Vektors OpenGL: typedef GLfloat point3[3]; point3 vertices [8] = {{-1.0, -1.0, -1.0}, {-1.0, 1.0, -1.0}, …}; Einführung

7 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme7 Vektorraum: enthält Vektoren und Skalare. In einem Vektorraum sind Operationen definiert, die Vektoren v und Skalare s verknüpfen. Multiplikation:f(v x s) v Addition:f(v 1,v 2 ) v Affiner Raum ist ein Vektorraum, der um Punkte p erweitert wird. Punkte können subtrahiert werden. Subtraktion: f (p 1, p 2 ) v Euklidischer Raum ist ein affiner Raum, in dem skalare Werte quantifiziert werden, wobei das euklidische Abstandsmaß benutzt wird. In der CG nutzen wir vorrangig euklidische Räume. Einführung

8 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme8 Identische Vektoren Addition von Vektoren Einführung

9 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme9 x y z (a,b,c) a(1,0,0) b(0,1,0) c(0,0,1) Interpretation: Ein Vektor hat keine Position. Ausgehend von einem festen Punkt (z.B. o) definiert ein Vektor einen Punkt. Vektor (a,b,c) kann als Punkt im Raum dargestellt werden, der dem Endpunkt eines Vektors (a, b, c) ausgehend vom Koordinatenursprung (0,0,0) entspricht. Äquivalentes gilt für andersdimensionale Vektorräume n Koordinatensysteme

10 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme10 Koordinatensysteme Eine Menge (o, e 1, e 2,..., e n ) bestehend aus einem Punkt o A n und der Basis (e 1, e 2,...,e n ) von A n heißt Koordinatensystem. Für jeden Punkt p A n ist Ortsvektor von p Komponenten von v heißen Koordinaten bezüglich (e 1, e 2,..., e n ) d.h. p besitzt die Koordinaten (x 1, x 2,..., x n ): Punkt o heißt Koordinatenursprung

11 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme11 Koordinatensysteme in der CG zweidimensional dreidimensional x y x y z x y z linkshändiges Koordinatensystem rechtshändiges Koordinatensystem X- Richtung des Daumens Y- Zeigefinger Z- Mittelfinger Die beiden Koordinaten- systeme sind spiegelbildlich und nicht durch Drehung ineinander zu überführen.

12 Koordinatensysteme und Transformationen 2. Transformationen in 2D

13 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme13 Fragestellung: –Wie werden Bewegungen beschrieben? Wie berechnet man die Position von Objekten nach Bewegungen? Bewegungen = Transformationen –Veränderung der Position von Punkten –Verschiebung = Translation –Größenveränderungen = Skalierung –Drehung = Rotation –Weitere affine Transformationen: Spiegelung Scherung Transformationen in 2D

14 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme14 Transformationen in 2D: Translation Punkt (x,y) wird auf gerade Linie nach (x, y) verschoben. Beschreibung der Translation durch einen Vektor (dx,dy), der die Verschiebungsweite in x- und y-Richtung angibt Addition des Verschiebungs- vektors Noch eine Interpretation von Vektoren: Beschreiben den Weg bzw. die Linie von P 1 zu P 2 (x,y) (dx,dy) dx dy

15 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme15 Transformationen in 2D: Skalierung Uniforme Skalierung Zentrum der Skalierung ist o, Skalierung erfolgt in alle Richtungen uniform mit dem skalaren Faktor Ortsvektor zu (x,y) wird auf das -fache verlängert, um (x,y) zu erhalten Multiplikation mit dem Skalierungsfaktor (x,y)

16 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme16 Nicht-uniforme Skalierung Zentrum der Skalierung ist o, Skalierung erfolgt in x-Richtung mit dem Faktor in y-Richtung mit (Skalierungsvektor ( ) T ) Ortsvektor zu (x,y) wird auf das -fache in x-Richtung und das -fache in y-Richtung verlängert. Multiplikation mit entsprechenden Skalierungsfaktoren (x,y) Transformationen in 2D: Skalierung

17 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme17 Transformationen in 2D: Rotation Rotationszentrum ist o. Punkt (x,y) wird um den Winkel um o gedreht, so dass sich der Punkt (x,y) ergibt. Positive Werte von ergeben eine Drehung entgegen dem Uhrzeigersinn. (x,y)

18 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme18 Herleitung der Berechnungsvorschrift: Entfernung r vom Ursprung zu (x,y) bzw. (x,y) bleibt unverändert. Nutzung von Additionstheoremen für Winkelfunktionen. (x,y) r r r cos r cos( + (I) In (III) und (II) in (IV) einsetzen: (I) (III) (IV) (II) Transformationen in 2D: Rotation x y

19 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme19 Berechnungsvorschrift Kann als Matrix-Vektormultiplikation ausgedrückt werden: Rotationen um negative Winkel erfolgen mit dem Uhrzeigersinn; ausnutzen: cos(- )=cos( ) und sin(- )=-sin( ) Transformationen in 2D: Rotation

20 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme20 Transformationen in 2D: Zwischenergebnis Translation:Addition des Verschiebungsvektors Skalierung: Multiplikation des Skalierungsfaktors Rotation: Matrixmultiplikation Keine einheitliche Behandlung! Schwierig bei zusammengesetzten Transformationen! Einheitliche Repräsentation von Transformationen gesucht Homogene Koordinaten

21 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme21 Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten Ein Koordinatensystem wird in ein homogenes Koordinatensystem überführt, indem eine zusätzliche Dimension eingeführt wird: n n+1 Dimensionen. Ein Punkt (x, y) wird in homogenen Koordinaten durch das Tripel (x·w, y·w, w) repräsentiert, mit w 0. Normalisierte Darstellung: w = 1 (x, y, 1) Jeder Punkt hat unendlich viele äquivalente Repräsentationen in homogenen Koordinaten. Achtung: Homogene Koordinaten von 2D-Punkten nicht mit normalen 3D-Koordinaten verwechseln!

22 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme22 Vorteile: Repräsentation aller Punkte in homogenen Koordinaten ermöglicht einheitliche Behandlung der Transformationen Fragen: –Was steht für das Fragezeichen? –Welche Operation ist *? Antwort: –Transformationen werden als Matrizen repräsentiert –Verknüpfung durch Multiplikation ? Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

23 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme23 Translation –Vorher: Addition eines Vektors –Jetzt: Multiplikation mit einer Translationsmatrix Skalierung –Vorher:komponentenweise Multiplikation mit Skalierungsfaktoren –Jetzt: Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

24 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme24 Rotation –Vorher:komplexe Gleichung oder Matrixmultiplikation –Jetzt: Multiplikation mit einer Rotationsmatrix Allgemeine 2D-Transformationsmatrix Skalierung Rotation Translation Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

25 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme25 Inverse Transformationen: Frage: Wie macht man Transformationen rückgängig (was sind die inversen Transformationen)? Für elementare Transformationen einfach: –Translation: Verschiebung um den negativen Verschiebungsvektor T -1 (dx, dy) = T(-dx, -dy) –Skalierung: Skalierung mit dem reziproken Skalierungsfaktor S -1 ( ) = S(1/ ) –Rotation: Rotation um den negativen Rotationswinkel. Da aber Rotationsmatrizen orthogonal sind, gilt R -1 = R T. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

26 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme26 Zusammengesetzte Transformationen Nacheinanderausführung zweier Translationen –Translation ist additiv, d.h. Ergebnis ist eine Verschiebung um die Summe beider Vektoren Nacheinanderausführung zweier Skalierungen –Skalierung ist multiplikativ, d.h. Ergebnis ist eine Skalierung um das Produkt der beiden Faktoren. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

27 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme27 Nacheinanderausführung zweier Rotationen –Rotation ist additiv. Allgemein: Homogene Koordinaten –Ermöglichen Vereinheitlichung und Kombination aller geometrischen Transformationen Schreibweise –Transformationen werden in der Reihenfolge T 1, T 2,..., T n ausgeführt P=T n ·...·T 2 ·T 1 ·P Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

28 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme28 Zusammensetzen von Transformationen Rotation eines Punktes um einen beliebigen Punkt P 1 in der Ebene Ausführung in drei Schritten 1.Translation, so dass P 1 im Ursprung liegt 2.Rotation um den Ursprung 3.Rück-Translation von P 1 P1P1 P1P1 Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

29 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme29 Zusammensetzen von Transformationen Zerlegung von komplizierten Transformationen in elementare Transformationen Repräsentation der Gesamt-Transformation durch eine Matrix möglich Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

30 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme30 Zusammensetzen von Transformationen: Aber: Matrixmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ! Das bedeutet: Reihenfolge der Transformationen ist ausschlaggebend für das Ergebnis also: T n...T 2 T 1 P T 1 T 2...T n P T 2 T n...T 1 P wenn die T i voneinander verschiedene Transformationen sind Allerdings in einigen Fällen besteht Kommutativität: –Nacheinanderausführung von Translationen –Nacheinanderausführung von Skalierungen –Nacheinanderausführung von Rotationen Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

31 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme31 Weitere Transformationen: Spiegelung –an der x-Achse –an der y-Achse –wird implementiert als Skalierung mit dem Faktor -1 Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

32 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme32 Weitere Transformationen: Scherung –Versatz parallel zur x-Achse, proportional zur y-Position (bzw. umgekehrt) –in x-Richtung –in y-Richtung (x,y) Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

33 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme33 Affine Transformationen Jede Sequenz von Rotation, Translation und Skalierung erhält die Parallelität von Linien, aber nicht Längen und Winkel. Solche Transformationen heißen affine Transformationen. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten

34 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme34 Affine Abbildungen sind: –Geradentreu. Das Bild einer Geraden ist wieder eine Gerade. –Parallelentreu. Parallele Geraden haben parallele Bildgeraden. –Teilverhältnistreu. Dem Teilverhältnis auf einer Geraden entspricht das Teilverhältnis auf der Bildgeraden. –Bsp: Wenn Punkt C Strecke AB im Verhältnis 1:2 teilt, dann liegt C´auf A´B´und teilt A´B´im gleichen Verhältnis. Affine Abbildungen sind: –nicht verhältnistreu in Bezug auf Teilflächen –Bsp: Wenn ein Punkt D das Dreieck ABC in drei gleich große Dreieck ABD, ACD und BCD teilt, dann ist das Verhältnis der Flächen von A´B´D´zu A´C´D´zu B´C´D´im allgemeinen nicht 1:1:1. –nicht längentreu –nicht winkeltreu –nicht flächentreu. Transformationen in 2D: Homogene Koordinaten AB C D

35 Koordinatensysteme und Transformationen 3. Transformationen in 3D

36 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme36 3D Transformationen Vorgehensweise gleich zu 2D Repräsentation in homogenen Koordinaten (4D) Transformationsmatrizen demzufolge 4 4-Matrizen

37 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme37 3D Transformationen: Matrizen Translation –Addition eines Translationsvektors bzw. Multiplikation mit einer Translationsmatrix Skalierung –Multiplikation mit Skalierungsfaktoren bzw. Multiplikation mit einer Skalierungsmatrix uniforme Skalierung, wenn sx=sy=sz, sonst Nicht-uniforme Skalierung

38 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme38 Rotation –Rotationen um die verschiedenen Koordinatenachsen müssen betrachtet werden. –3 verschiedene Rotationsmatrizen (Rotation um positive Winkel in rechtshändigem Koordinatensystem) –Achse, um die gedreht wird, bleibt Einheitsvektor in der Matrix 3D Transformationen: Matrizen

39 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme39 3D Transformationen: Matrizen Warum unterschiedliche Vorzeichen bei den Winkeln (Sinus)? x y z rechtshändiges Koordinatensystem x z Gegenüber der 2D-Herleitung, Spiegelung an der x-Achse (x, -y) (sin α = - sin (- α ), cos (- α ) = cos α

40 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme40 Überführung rechtshändiges in linkshändiges Koordinatensystem (Spiegelung) 3D Transformationen: Matrizen

41 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme41 Zusammensetzen von Transformationen auch über Multiplikation der Matrizen generelle Transformationsmatrix in 3D Skalierung Rotation Translation 3D Transformationen: Matrizen

42 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme42 Matrizen werden in der CG benötigt für Transformationen der Szene in Kamerakoordinaten und Projektionen. Realisierung in OpenGL: In OpenGL wird die Spezifikation dieser Matrizen (4x4, homogene Koordinaten) unterstützt; alle Matrizen werden einheitlich gehandhabt. Der glMatrixMode spezifiziert, auf welche Matrix sich die folgenden Kommandos beziehen. glLoadIdentity () setzt Matrix auf die Einheitswerte glLoadMatrixf (matrixPointer) lädt die Matrix mit dem angege- benen Feld (1D, 16 Werte) glMultMatrixf (matrixPointer) multipliziert aktuelle Matrix mit der angegebenen glPushMatrix(), glPopMatrix() Matrix auf einem Stack ablegen bzw. vom Stack holen. 3D Transformationen: Matrizen

43 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme43 3D Transformationen: Matrizen Realisierung in OpenGL: glTranslatef (v1, v2, v3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer Translationsmatrix glRotatef (ang, ref1, ref2, ref3) multipliziert aktuelle Matrix mit einer Rotationsmatrix. Rotation um (ref1; ref2; ref3) und den Winkel ang. Beispiel: glPushMatrix(); // aktuelle Matrix auf dem Stack sichern glMatrixMode (GL_MODEL_VIEW); // Welche Matrix? glLoadIdentity(); // Initialisierung glTranslatef (4.0, 5.0, 3.0); // Translation glRotatef (45.0,1.0, 0.0, 0.0); // Rotation um x-Achse glTranslatef (-4.0, -5.0, -3.0); // Rücktranslation glPopMatrix(); // Matrix rekonstruieren Reihenfolge: Alle Manipulationen der Matrizen sind postmultiplikativ.

44 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme44 Koordinatentransformationen Bisher: Transformation von Punkten in neue Punkte bei konstantem Koordinatensystem (geometrische Transformationen) Äquivalente Sichtweise: Wechsel des Koordinatensystems bei konstantem geometrischen Objekten (Koordinatentransfor- mationen) Allgemein gilt: –Geometrische Transformationen und entsprechende Koordinatentransformationen sind invers zueinander! Computergraphik: –Geometrische Objekte oft in lokalem bequemem Koordinatensystem definiert (Objekt-Koordinatensystem) –Koordinatentransformation in Weltkoordinaten gibt Lage des Objekts in der Szene wider.

45 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme45 Zusammenfassung Transformationen Geometrische Transformationen sind lineare Abbildungen vom n in den n –für uns von besonderem Interesse 2 2 und 3 3 Für Computergraphik relevant: –Translation –Skalierung –Rotation –Scherung, Spiegelung Einheitliche Behandlung der Transformationen durch Übergang zu homogenen Koordinaten und zur Darstellung der Transformationen durch Matrizen

46 B. Preim AG Visualisierung Koordinatensysteme46 Zusammengesetzte Transformationen durch Hintereinanderausführen von elementaren Transformationen, entspricht Multiplikation der Matrizen. Transformation der Objekte oder des Koordinaten- systems Zusammenfassung Transformationen


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