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Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz 21.04.2008.

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Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

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1 Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz

2 Methoden der Psychologie Vorlesung Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Verfahrensdarstellung in Überblick Grundprinzip wichtigsten mathematischen Beziehungen Anwendungsbeispielen Übung + Tut Malte Persike / Franziska Schmidt (Do 18-20, R3-428) Vertiefung mit Anwendungsbeispielen Aufgabenbearbeitung mit Excel - Project File Prüfung Kenntnisse aus WS2007/08 & SS2008 Freischussklausur: Abschlussklausur: Oktoberwoche 2008

3 Methoden der Psychologie Einführung Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Prinzipien des inferenzstatistischen Schliessens Konfidenzintervalle multivariate Mittelwertsvergleiche multivariate Varianzanalyse (MANOVA) Verfahren Diskriminanzanalyse ANOVA/MANOVA, Hotellings T 2 statistische Entscheidungslehre Versuchspläne Typische Designs aus Allgemeine Experimentelle Psy. Klinische Psy. AOW Ziele Wissen über statistische Verfahren Wissen über Untersuchungsstrategien Umsetzung mit Software

4 Methoden der Psychologie Literatur a) b) c) d) Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Johnson/WichernBackhaus BortzWiner

5 Methoden der Psychologie Problem Frage Anzahl der gefundenen Zielelemente in einem Konzentrationsleistungstest (metrisch) GruppierungsvariableMessgröße Geschlecht M J Univariate Mittelwertevergleiche - Problemstellung x Unterscheidet sich die Leistung von Mädchen und Jungen im statistischen Mittelwert ? Beispiel

6 Methoden der Psychologie Stichprobe Frage Wir untersuchen 40 Mädchen und 45 Jungen Univariate Mittelwertevergleiche - Problemstellung Gibt es wirkliche Leistungsunterschiede zwischen Jungen und Mädchen, oder ist der gefundene Unterschied rein zufällig ? Beispieldaten Geschlecht MJ 23.7 – 17.2 = 6.5

7 Methoden der Psychologie Strategie Urteil Ermittle die Wahrscheinlichkeit für den beobachteten Mittelwertsunterschied unter der Annahme, dass beide Gruppen in der Population denselben Mittelwert besitzen Univariate Mittelwertevergleiche - Prüfstrategie Ist der beobachtete Mittelwertsunterschied unter der H 0 sehr unwahrscheinlich (höchstens 5%), so lehnen wir die H 0 ab, und sehen die H 1 als die bessere Alternative an. Annahme Die Populationsmittelwerte von Jungen und Mädchen sind gleich Null-Hypothese Alternativ- Hypothese

8 Methoden der Psychologie Theoretische Verteilung – Sampling Distribution Sampling Population der Jungen Stichprobe des Umfangs N J Population der Mädchen Stichprobe des Umfangs N M Mittelwertsdifferenz Tue dies k - mal: Verteilung der Differenzen von Mittelwerten

9 Methoden der Psychologie Central Limit Theorem Die Verteilung von Differenzen von Mittelwerten nähert sich mit wachsendem Umfang der Sample-Stichproben einer Normalverteilung. Für N > 30 ist die Approximation gut Wahrscheinlichkeitsdichte Es gilt: Theoretische Verteilung – Sampling Distribution (wird geschätzt) In der theoretischen Verteilung der Differenzen von Mittel- werten wird die Wahrscheinlichkeitsbestimmung vorge- nommen. Sie liegt dem inferenzstatistischen Schluss zugrunde. Inferenzstat. Schluss

10 Methoden der Psychologie Sampling Distribution – Bestimmung des Standardfehlers Unabhängigkeit Ist die Messvariable eine in beiden Populationen unabhängige ZV: Jungen und Mädchen kommen aus derselben Population Gleichheit der Populations- varianz Standardfehler

11 Methoden der Psychologie Sampling Distribution – Schätzung des Standardfehlers Für die Populationsvarianz verwendet man eine Schätzung aus den Daten beider Stichproben: wobei und die Stichprobenvarianzen sind Dann gilt Schätzung aus Stichproben Pooling (Beste Schätzung des Standardfehlers aus Stichprobendaten) Schätzformel

12 Methoden der Psychologie Normalverteilung – z –Standardnormalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte f (z) z x Normalverteilung Standard-Normalverteilung Die z- Transformation übersetzt die Rohdatenskala in die Standardskala ( z = 0, z = 1) _ x _ z _ f (x)

13 Methoden der Psychologie Sampling Distribution – Prüfgrösse z- Skala der Differenzen von Mittelwerten Unter der H0 gilt Dann gilt: Prüfgrösse ist standardnormalverteilt [ ] [ ] Transformation

14 Methoden der Psychologie Entscheidung über Prüfgrösse mit Standardnormalverteilung t 0 Prüfgrösse Testen zum Signifikanzniveau : Ist |z| > z 1- /2 ? Signifikanzniveau AnnahmebereichAblehnungsbereich

15 Methoden der Psychologie Entscheidung über Signifikanz des Mittelwerteunterschieds 1. Prüfgrösse Berechne A. Gilt |z| > z 1- /2 Ablehnung von H 0 (die Mittelwerte der J. und M. sind signifikant verschieden) Ermittle kritischen z - Wert z 1- /2 für ein Fehlerniveau 2. Kritischer z - Wert 3. Entscheide (die Mittelwerte der J. und M. unterscheiden sich zufällig) B. Gilt |z| < z 1- /2 Beibehalten von H 0 _

16 Methoden der Psychologie Numerisches Beispiel Differenz der Mittelwerte – 17.2 = 6.5 Standardfehler Prüfgrösse und Kritischer Wert z 1- /2 = z = 1.96 Entscheidung d.h. |z| > z 1- / > 1.96 H 0 ablehnen Die Mittelwerte entstammen nicht derselben Population (unterscheiden sich signifikant)

17 Methoden der Psychologie Voraussetzungen der Prüfung Varianz- homogenität Unabhängigkeit Verletzungen a.Die Populationsvarianzen die beiden Stichproben zu Grunde liegen, müssen gleich (homogen) sein. (Prüfung mit geignetem Verfahren) b. Die Messeinheiten innerhalb jeder Stichprobe müssen unabhängig sein. c. Die Messeinheiten beider Stichproben dürfen nicht teilweise paarweise zuzuordnen sein. Der Test ist relativ robust gegen Verletzungen der Varianzhomogenität. Verletzungen der Unabhängigkeit (b.) führen zur Ungültigkeit der Prüfgrösse, der Unab- hängigkeit (c.) je nach Höhe der Korrelationen zu progressiven (kleine Korr.) oder zu konservativen Entscheidungen (hohe Korr.).

18 Methoden der Psychologie Mittelwertsprüfung bei mehreren Variablen Beispiel X 1 : Gehalt X 2 : Entscheidungsfreiheit X 3 : Qualität der Kommunikation Arbeit X 4 : Ehe X 5 : Freunde/Beziehungen X 6 : Sexualität Privatsphäre X 7 : Lebensansprüche X 8 : Sinnhaftigkeit Person X 9 : Hobbies X 10 : Sport/Fitness Aktivität Lebenszufriedenheit Gesunde Herzinfarktpatienten 10 Variablen 2 Gruppen

19 Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertsvergleiche - Einzeltestungen Teststrategie Ausweg Frage Unterscheiden sich Gesunde und Patienten im Variablen- komplex Lebenszufriedenheit? Wir testen auf jeder der 10 Skalen den Gruppenunterschied mit einem t- Test. Wenn irgend einer der Tests signifikant wird, sehen wir die Gruppen als verschieden an. Probleme 1.Multiples Testen: Dieselbe Hypothese wird 10 mal geprüft. 2.Unterstellte Unabhängigkeit: Man behandelt die einzelnen Skalen als unabhängig voneinander. 3.Fehlendes Konstrukt: Lebenszufriendenheit wird nicht als Variablenkomplex mit Binnenstruktur behandelt. 4.Mangelnde Teststärke: Man nutzt nicht die Korrelations- struktur der Variablen für einen leistungsfähigen Test. Verwendung eines multivariaten Tests, der die Information aller 10 Variablen und ihrer Korrelationsstruktur in eine statistische Prüfgrösse einfliessen lässt.

20 Methoden der Psychologie Einzeltestungen - Bonferronikorrektur Fehler Kumulierung Overall Bei simultanen Einzeltestungen kumuliert sich das – Risiko: Bonferroni Approximation Setzt man das overall -Niveau fest und löst nach auf, folgt Um alle m Tests auf einem konventionellen Alpha Niveau abzusichern, muss dieses durch die Anzahl der Tests geteilt werden. Bei 10 Tests muss man für ein overall Alpha = 5% ein Test-Alpha von 0.5% verwenden.

21 Methoden der Psychologie Multivariate Mittelwertsvergleiche - Verfahren Multivariates Testkonstrukt Variablen- komplex Verfahren Multivariate Distanz (Mahalanobisdistanz) Multivariate Quadratsummen (SSCP-Matrizen-Zerlegung) Optimale Linearkombination (Linear Discriminant Function) Hotellings T 2 MANOVADiskriminanz- Analyse Alle Verfahren entscheiden über den Gruppenunterschied im gesamten Variablenkomplex mit einem statistischen Test

22 Methoden der Psychologie Grundprinzip (2 Gruppen) Multivariates Testen - Diskriminanzanalyse Für die m Variablen finde eine Linearkombination zu einer neuen Variable so dass diese die Gruppen c 1 und c 2 optimal trennt. Das Optimierungskriterium für die Wahl der b j lautet Die der b j sind so zu wählen, dass auf der neuen Variable y die Streuung zwischen den Gruppen zu der Streuung innerhalb der Gruppen ein maximales Verhältnis hat. Kriterium der Optimierung

23 Methoden der Psychologie 2D-Beispiel Man möchte trennen anhand von Anforderung 2D BeispielDiskriminanzanalyse Stechmücken c 1 Blindmücken c 2 Fühlerlänge x 1 2 Gruppen 2 Variablen Flügellänge x 2 Maximale Gruppentrennung (Mittelwerte) Minimale Klassifikationsfehler (Fall-Klassifikation)

24 Methoden der Psychologie (Fühlerlänge) Blindmücke Stechmücke Variablenraum Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X 1 ) und Flügellänge (X 2 ) möglichst eindeutig in Stechmücke (c 1 ) und Blindmücke (c 2 ). In beiden Gruppen existiert eine Korrelation der Variablen Fühlerlänge (X 1 ) und Flügellänge (X 2 ). Ausgangslage 2D BeispielDiskriminanzanalyse x1x1 (Flügelänge) x2x2 Regression Stechmücke Regression Blindmücke

25 Methoden der Psychologie Bestes Kriterium auf x 1 Blindmücke Stechmücke Klassifiziere anhand von Fühlerlänge (X 1 ) und Flügellänge (X 2 ) möglichst eindeutig in Stechmücke (c 1 ) und Blindmücke (c 2 ). Das geht mit einem Kriteriumswert auf jeder einzelnen Variable X 1 und X 2 offenbar nicht. Problem 2D BeispielDiskriminanzanalyse x1x1 x2x2 Bestes Kriterium auf x 2 Variablenraum

26 Methoden der Psychologie (Fühlerlänge) Blindmücke Stechmücke Variablenraum 2D BeispielDiskriminanzanalyse x1x1 (Flügelänge) x2x2 Kriteriumsfunktion Lösung Eine lineare Kriteriumsfunktion teilt den Variablenraum in 2 Gebiete: Oberhalb Stechmücke (c 1 ), unterhalb Blindmücke (c 2 ). Somit folgt die Klassifikationsfunktion

27 Methoden der Psychologie Einfache Lösung 2D BeispielDiskriminanzanalyse Zuerst die Daten im Nullpunkt zentrieren und dann um den optimalen Winkel drehen ! x1x1 x2x2 Zentrierung & Rotation ! Die Varianz zwischen den Gruppen wird auf der Achse x 1 maximiert, und x 2 steht senkrecht x 1. Eine Parallele zu x 2 liefert das optimale Trennkriterium.

28 Methoden der Psychologie z-Standard 2D BeispielDiskriminanzanalyse standardisiert z1z1 z2z2

29 Methoden der Psychologie z-Standard 2D BeispielDiskriminanzanalyse Diskriminanz- funktion Die neue x- Achse z 1 ist die Diskriminanzfunktion y. Auf ihr läßt sich ein Kriterium zur optimalen Trennung beider Gruppen finden. Da eine Drehoperation auf die Diskriminanzfunktion geführt hat, ist sie darstellbar als eine Linearkombination der alten Koordinaten: z1z1 z2z2 Koordinaten rotiert um = 46° (clockwise)

30 Methoden der Psychologie y: Linear- kombination 2D BeispielDiskriminanzanalyse Koeffizienten von y Das Auffinden der Koeffizienten b 1 und b 2 ist also identisch mit dem Problem, den optimalen Drehwinkel zu bestimmen. Hierfür braucht man ein Kriterium der gewünschten maximalen Trennung, und die Lösung des dahinter stehenden Maximierungsproblems. y (Diskriminanzfunktion) Kriterium y 0 blind stech Da gilt mitund [Excel-Beispiel]

31 Methoden der Psychologie Rotation zur y - Funktion 2D BeispielDiskriminanzanalyse y (Diskriminanzfunktion) z1z1 z2z2 Klassifikation Case-Classification durch einfachen Vergleich mit dem Kriterium y 0. Prüfung des Gruppenunterschieds mit einem einfachen t - Test auf y. y (Diskriminanzfunktion) Kriterium y 0 blind stech


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