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Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz Weisst du, wieviel.

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Präsentation zum Thema: "Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz Weisst du, wieviel."—  Präsentation transkript:

1 Methoden der Psychologie Multivariate Analysemethoden und Multivariates Testen Günter Meinhardt Johannes Gutenberg Universität Mainz Weisst du, wieviel Sternlein stehen An dem blauen Himmelszelt? Weisst du, wieviel Wolken gehen Weithin über alle Welt? (W. Hey, zit. nach N. Wiener, Cybernetics, Control and Communication in the Animal and the Machine) & &

2 Methoden der Psychologie Vorlesung Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Verfahrensdarstellung in Überblick Grundprinzip wichtigsten mathematischen Beziehungen Anwendungsbeispielen Übung Vertiefung mit Anwendungsbeispielen Arbeiten an 3 Project Files Prüfung Kenntnisse aus WS2006/07 & SS2007 Freischussklausur: Abschlussklausur:

3 Methoden der Psychologie Einführung Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Prinzipien des inferenzstatistischen Schliessens Konfidenzintervalle multivariate Mittelwertsvergleiche multivariate Varianzanalyse (MANOVA) Verfahren Logistische Regression Korrespondenzanalyse Conjoint Measurement Versuchspläne Typische Designs aus Allgemeine Experimentelle Psy. (Project File 1) Klinische Psy. (Project File 2) AOW (Project File 3) Ziele Wissen über statistische Verfahren Wissen über Untersuchungsstrategien Umsetzung mit Software

4 Methoden der Psychologie Literatur a) b) c) d) Multivariate Analysemethoden & Multivariates Testen Johnson/WichernBackhaus BortzWiner

5 Methoden der Psychologie Sampling - Modellvorstellung Prinzipien des statistischen Schliessens Population Herleitung der Kennwerte-Verteilung (Sampling – Distribution) und Beschreibung ihrer Parameter. Methoden zur Schätzung der Parameter aus Stichprobendaten sowohl für univariate, als auch für multivariate Kennwerteverteilungen Sampling Stichprobe Kennwerte Theoretische Statistik Welche Verteilung von Kennwerten wird sich ergeben, Wenn man den Sampling Vorgang unendlich oft wiederholt?

6 Methoden der Psychologie Sampling - Modellvorstellung Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sampling Distribution (1D) k- maliges Samplen von Stichproben derselben Größe n und Berechnen der Stichprobenmittelwerte führt auf eine Verteilung von Stichprobenmittelwerten (Sampling – Distribution) Population Stichprobe des Umfangs n Bilde Mittelwert 1. - mal: 2. - mal: k. - mal:

7 Methoden der Psychologie Sampling - Modellvorstellung Erwartungstreue Population k - Stichproben des Umfangs n Mittelwerte Sampling Distribution Erwartungswert Die Sampling Distribution hat denselben Erwartungswert wie die Population, aus der die Stichproben gezogen wurden. Schätzstatistiken, die denselben Erwartungswert haben wie die Population, heissen erwartungstreu. Stichprobenmittelwerte sind erwartungstreue Schätzungen des Populationsparameters Verteilung von Stichprobenmitteln Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte

8 Methoden der Psychologie Sampling - Modellvorstellung Erwartungstreue: Population k - Stichproben des Umfangs n Varianz Die Stichprobenvarianz unterschätzt die Populationsvarianz tendenziell: Stichprobenvarianzen sind keine erwartungstreuen Schätzungen des Populationsvarianz s 2 Verteilung von Stichprobenvarianzen Varianz Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte

9 Methoden der Psychologie Sampling - Modellvorstellung Erwartungstreue: Bias-Faktor Die Stichprobenvarianz berechnet aus korrigiertem Umfang n-1 ist eine erwartungstreue Schätzung der Populationsvarianz Der Bias bei der Schätzung der Pop.Varianz aus der Stichprobenvarianz ist die Varianz der Stichprobenmittelwerte. Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte

10 Methoden der Psychologie Central Limit Theorem Die Verteilung von Sampling-Mittelwerten nähern sich mit wachsendem Umfang der Sample-Stichproben einer Normalverteilung an. Für n > 30 ist die Approximation schon gut. m+sm+s Wahrscheinlichkeitsdichte m+2s m-sm-s m-2s Es gilt: Theoretische Sampling Distribution Die theoretische Sampling Distribution ist die Grundlage des statistischen Schliessens. Aussagen über den Zusammenhang von Stichprobenmittelwerten und Populationen werden mithilfe dieser Verteilung gewonnen (Inferenzstatistischer Schluss). Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte

11 Methoden der Psychologie Konfidenz- Intervalle z- Verteilung Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Anwendung WK- Aussagen Man habe einen Mittelwert aus einer Stichprobe der Größe n vorliegen. In welchem Bereich um den Mittelwert kann man den Populationsparameter mit der Wahrscheinlichkeit 1- erwarten? 2.Der Populationsparameter sei bekannt. In welchem Bereich um ihn liegen Mittelwerte mit der Wahrscheinlichkeit 1- ? Mit Y der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für n < 50 sollte die t- Verteilung mit df = n – 1 verwendet werden.

12 Methoden der Psychologie t - und F-Test t 2 – F- Äquivalenz Univariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Hypothesen Eine zweiseitige Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der t – Verteilung ist der (grundsätzlich einseitigen) Wahrscheinlichkeitsbestimmung auf der F - Verteilung äquivalent. H 0 : H 1 : ¹ mit Es gilt Test- Äquivalenz: Äquivalenz von t- und F- Test Bemerke:

13 Methoden der Psychologie Multivariates t Hotellings T 2 Multivariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Vektoren ein p ´ 1 Mittelwertevektor mit Definition ist verteilt wie ein p ´ 1 Mittelwertevektor die Sample Varianz-Covarianz Matrix mit Korrektur n -1 der Daten-Zentroid angenommener Zentroid Verteilung T 2 wenn die Stichprobe einer multivariat normalverteilten Grundgesamtheit entnommen ist. [JW-Beispiel-5.1]

14 Methoden der Psychologie F- Test Multivariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sei ein Sample aus einer Verteilung T 2 Population so gilt für jedes angenommene egal, wie das wahre und sind. Konfidenz- Ellipsoide Man lehnt die H 0 : daher auf Signifikanzniveau ab, wenn Gleichzeitig definiert die Distanzbedingung in einem p-variat normalverteilten Ellipsoid Konfidenzregionen, die man für jedes angenommene um für ein spannen kann. [Beispiele]

15 Methoden der Psychologie Multivariate Central Limit Theorem Regel Für n < 50 ist die Voraussetzung der multivariaten Normalverteilung in der Stichprobe jedem Falle zu prüfen, und die T 2 Statistik heranzuziehen. Bei grösseren Stichproben kann direkt die 2 Statistik angewendet werden. In jedem Fall sollte eine Ausreißerbehandlung durchgeführt werden. Multivariate - Verteilung der Stichprobenmittelwerte Sei eine Stichprobe aus einer Population mit Erwartungsvektor ist approximativ und Varianz-Covarianz Matrix Dann gilt und ist approximativ wenn n – p groß ist. verteilt

16 Methoden der Psychologie Simultane univariate Konfidenzregionen um Mittelwert univariat Konfidenz- region im Ellipsoid (1- ) Konfidenzregion für in der bivariat normalverteilten Sampling- Distribution, die um gespannt ist. [Beispiele] [ ] multivariat (p=2) Länge =

17 Methoden der Psychologie Univariates CI Simultane Konfidenz Intervalle Ein (1- ) Konfidenzintervall für eine Variablenkomponente wird im Kontext aller p univariaten Konfidenzaussagen betrachtet. Das univariate Konfidenzintervall (CI) das jj-te Element von führt im Kontext aller p- möglichen Vergleiche zu einem inflationierten - Fehler und damit zu falschen, progressiven Entscheidungen. Konfidenzintervalle pro Variablenkomponente, die alle möglichen Vergleiche auf einem (overall) -Niveau absichern, lauten Simultane CIs definieren die Bounding-Box der CI-Ellipse. Simultane univariate Konfidenzintervalle

18 Methoden der Psychologie Simultane univariate Konfidenzintervalle Simultane CIs Overall Die simultanen CIs sind konservativ, und können durch eine Approximation für unabhängige Variablenachsen ersetzt werden. Im simultanen Kontext kann die - Fehler Inflation durch Wahl eines neuen Niveaus für jeden Einzeltest für ein gewünschtes overall kompensiert werden. Es gilt für ein vorgegebenes overall Konfidenzintervalle pro Variablenkomponente werden durch Wahl eines neuen -Niveaus alle auf einem (overall) -Niveau abgesichert. Bonferroni Approximation CI

19 Methoden der Psychologie Vergleich der CIs 2D Konfidenzregionen und 1D Konfidenzintervalle ermöglichen verschiedene Entscheidungen, je nachdem, ob Paarungen von Mittelwerten (Centroiden) oder einzelne Mittelwerte interessieren. Zu beachten ist, dass im multivariaten Kontext Aussagen für eine Achse strenggenommen nie ohne Berücksichtigung des Wertes auf den anderen Variablenachsen gemacht werden können (Bounding- Box und Bonferroni-Box hat immer mehr Fläche als die CI-Ellipse) CI-Aussagen Univariate - Multivariate – Konfidenzregionen x1x1 alpha-CE DataCentroid ProbeCentroid x2x2 Simultanes CI Bonferroni 1D (falsch)

20 Methoden der Psychologie Sample Meßeinheiten Univariate und multivariate Mittelwertevergleiche Multivariate Mittelwertsvergleiche sind die direkte Entsprechung zu univariaten Vergleichen. Es gelten dieselben Prinzipien, lediglich angewendet auf Centroid-Vektor und Varianz-Covarianz Matrix. Test-Statistik Sampling- Distribution univariatmultivariat unabhängigabhängigunabhängigabhängig Differenzen von Mittelwerten gepoolte Varianzen Mittelwerte von Differenzen Differenzvektor von Centroiden Gepoolte Var-Covar Mat. Centroide von Differenz- vektoren ttT2T2 T2T2

21 Methoden der Psychologie Hypothese Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für unabhängige Stichproben H0: Der Erwartungswert der Differenzen von Mittelwerten ist Null (ungerichtet) Sampling Distribution Wahrscheinlichkeitsdichte Es gilt: 1. 2.wird geschätzt aus beiden Stichproben 3. ist t- verteilt. [t-Test ausführlich?]

22 Methoden der Psychologie Statistik Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für unabhängige Stichproben Prüfgrösse t- verteilt mit n 0 + n 1 – 2 Freiheitsgraden Entscheidung: oder Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung Voraussetzung 1.Für n 0 + n 1 < 50 normalverteilte Stichprobendaten 2.Homogene Stichprobenvarianzen 3.Unabhängige Messeinheiten innerhalb und zwischen den Samples. a) Krit. t-Wert b) Überschreit- ungs-WK

23 Methoden der Psychologie Hypothese Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhängige Stichproben H0: Der Erwartungswert der Mittelwerte von Differenzen ist Null (ungerichtet) Sampling Distribution Wahrscheinlichkeitsdichte Es gilt: 1. 2.wird geschätzt aus Differenzenstichprobe 3. ist t- verteilt.

24 Methoden der Psychologie Statistik Univariate Mittelwertevergleiche t- Test für abhängige Stichproben Prüfgrösse t- verteilt mit n – 2 Freiheitsgraden (n = Anzahl Paare) oder Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung Ablehnung von H0, sonst Beibehaltung Voraussetzung 1.Für n < 30 normalverteilte Stichprobendaten 2.Homogene Stichprobenvarianzen müssen nicht vorliegen 3.Korrelation der Meßreihen erhöht die Teststärke. Entscheidung: a) Krit. t-Wert b) Überschreit- ungs-WK

25 Methoden der Psychologie Hypothese Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellings T 2 - Test für abhängige Stichproben H0: Der Erwartungswert des Differenzencentroids ist Null (ungerichtet) Daten p- dimensionaler Differenzvektor jeder i- ten Person (Differenzen der 2 Zeitpunkte auf den p- Variablen)

26 Methoden der Psychologie Kenngrößen Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellings T 2 - Test für abhängige Stichproben T 2 - Statistik Lehne die H0 auf Signifikanzlevel ab, wenn gilt Entscheidung Mit F (1- ) dem (1- ) Quantil der F- Verteilung mit p Zähler- freiheitsgraden und n-p Nennerfreiheitsgraden.

27 Methoden der Psychologie Konfidenz- regionen Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellings T 2 - Test für abhängige Stichproben Komponenten Konfidenz- intervalle definiert eine (1- ) Konfidenzregion im Ellipsoid um für. Wenn n-p groß ist, gilt und die Stichproben müssen nicht multivariat normalverteilt sein. definiert univariate (1- ) Konfidenzintervalle um jeden Variablen- Differenzenmittelwert. Analog sind Bonferroni-Intervalle definiert.

28 Methoden der Psychologie Hypothese Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellings T 2 - Test für unabhängige Stichproben H0: Die Differenz der Erwartungs-Centroiden ist Null (ungerichtet) Daten p- dimensionaler Messvektor jeder i- ten Person aus jeder Gruppe

29 Methoden der Psychologie Kenngrößen Multivariate Mittelwertevergleiche Gepoolte Var-Covar- Matrix Mittelwertevektoren und Varianz-Covarianz Matrizen für jede Gruppe. Hotellings T 2 - Test für unabhängige Stichproben

30 Methoden der Psychologie Kenngrößen Multivariate Mittelwertevergleiche T 2 - Statistik Lehne die H0 auf Signifikanzlevel ab, wenn gilt Entscheidung Mit F (1- ) dem (1- ) Quantil der F- Verteilung mit p Zähler- freiheitsgraden und n 0 +n 1 -p-1 Nennerfreiheitsgraden. Hotellings T 2 - Test für unabhängige Stichproben

31 Methoden der Psychologie Konfidenz- regionen Multivariate Mittelwertevergleiche Hotellings T 2 - Test für unabhängige Stichproben Komponenten Konfidenz- intervalle definiert eine (1- ) Konfidenzregion im Ellipsoid um für Distanzen. Mit univariate (1- ) Konfidenzintervalle um jede Gruppendifferenz von Variablenmittelwerten. S jj,pooled ist das jj-te Element der gepoolten Varianz-Covarianz Matrix. Bonferroni-Intervalle sind analog definiert. definiert

32 Methoden der Psychologie p D-Normal Verteilung Multivariate Normalverteilung Die Ellipsen der Form Eine Eigenwertzerlegung der Varianz-Kovarianz Matrix liefert somit die Hauptachsen des p- variaten Ellipsoids der multivariaten Normalverteilung sind zentriert inund haben Hauptachsen mit Eigenwertbedingung Länge = Beispiel 2D


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