Faltung Entfaltung Bestimmung der (unbekannten) Funktion f aus den (bekannten) Funktionen h und g. Bezeichnung h(x) … Messdaten f(y) … Physikalisches Profil.

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1 Faltung Entfaltung Bestimmung der (unbekannten) Funktion f aus den (bekannten) Funktionen h und g. Bezeichnung h(x) … Messdaten f(y) … Physikalisches Profil g(x-y) … Instrumentelle Verbreiterung Probleme Messdaten „streuen“ (Rauschen) Messbereich ist beschränkt Wie „misst“ man die instrumentelle Verbreiterung

2 Instrumentelle Verzerrung
Spektrale „Reinheit“ der Röntgenstrahlung Verzerrung an der Beugungsoptik Nichtkohärente (Compton, Fluoreszenz) und diffuse Streuung  Hintergrund Wie bekommt man die instrumentelle Verzerrung? Berechnung (Näherung) Messung (Näherung)

3 Faltung die Grundmerkmale
Fourier Transformation der Faltung Faltung einer Funktion mit der Dirac Verteilung

4 Entfaltungsmethoden die Übersicht
Klassische Stokes Methode mit Gaußschem Glätten der Messdaten Zerlegen der Messdaten in eine Fourier Reihe Messdaten werden als eine lineare Kombination der instrumentellen Linienverbreiterung behandelt

5 Die Stokes Methode Klassisch Modifiziert

6 Die modifizierte Stokes Methode
% Fourier transformations HH = fft(hyy); GG = fft(gyy); % Smoothing HH and GG sigma = length(HH)/20; x = 1:length(HH); gauss = exp(-(x.^2)/sigma^2); gauss = gauss + fliplr(gauss); HH = gauss.*HH; sigma = length(GG)/20; % ... the same for GG % Inverse Fourier transform ft = real(ifft(HH./GG)); ft = fftshift(ft); % Back convolution FF=fft([fy zeros(1,length(gy)-1)]); GG = fft([gy zeros(1,length(fy)-1)]); ht = real(ifft(FF.*GG));

7 Die modifizierte Stokes Methode die Ergebnisse

8 Berechnung von Koeffizienten C und S mittels der kleinsten Quadrate
Die Fourier Reihe Berechnung von Koeffizienten C und S mittels der kleinsten Quadrate

9 Berechnung von Fourier Koeffizienten

10 Berechnung von Fourier Koeffizienten
% Harmonic functions fc(jj,:) = cos(jj*omega*hx); fs(jj,:) = sin(jj*omega*hx); % Convolution (g*fc) FF = fft([fc(jj,:) ... zeros(1,length(gyy)-1)]); GG = fft([gyy ... zeros(1,length(fc(jj,:))-1)]); phic(:,jj)=(real(ifft(FF.*GG)))'; % Convolution (g*fs) FF = fft([fs(jj,:) ... phis(:,jj)=(real(ifft(FF.*GG)))'; % Calculation of the matrix PHI phic(:,jj) = phic(:,jj)./sigma; phis(:,jj) = phis(:,jj)./sigma; Least-square refinement % Solution of the normal equations phi=[ones(length(HH),1)./sigma... phic(:,1:jj) phis(:,1:jj)]; M = phi' * phi; A = (HH./sigma' * phi)'; x = M\B; % Back convolution fy = ... ones(1,length(hy))*P(1)/sum(gy); fy=fy +(P(2:(jj+1)))'*fc(1:jj,:); fy =fy + ... (P((jj+2):(2*jj+1)))'*fs(1:jj,:);

11 Die Fourier Reihe die Ergebnisse

12 Die lineare Kombination
Diskrete Faltung

13 Die lineare Kombination
Voraussetzung: Die Intensitäten weit vom Maximum ist gleich null. Lösung: Die Methode der kleinsten Quadrate % Compose the kernel lh = length(h); for ii = 1:lh , GG(ii,:)=gt((g0-ii+1):(g0-ii+lh)); end % Solve system of linear equations fy = (GG\hy)'*sum(gy);

14 Lineare Kombination die Ergebnisse

15 Vergleich der Entfaltungsmethoden
Kritische Fälle: Entfaltung ähnlicher Funktionen und Funktionen mit steilen Flanken

16 Zusammenfassung Ein limitierter Faktor ist immer der Grad der Glättung in experimentellen Daten Lineare Kombination der instrumentellen Profile Die beste Übereinstimmung zwischen experimentellen und „rekonvoluierten“ Daten / lange Computerzeit Die Fourier Reihe Die beste Glättung in den entfalteten Daten / die Methode eignet sich nicht für Profile mit steilen Flanken (sonst zu viele Fourier Koeffizienten notwendig) Die modifizierte Stokes Methode Die kürzeste Rechenzeit (sehr schnell mit FFT) / zusätzliche Glättung der Messdaten notwendig (data preprocessing)