Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Die Präsentation wird geladen. Bitte warten

Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung Teilnehmer: Alireza Farman Auline Rodler 27.12.2013.

Ähnliche Präsentationen


Präsentation zum Thema: "Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung Teilnehmer: Alireza Farman Auline Rodler 27.12.2013."—  Präsentation transkript:

1 Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung Teilnehmer: Alireza Farman Auline Rodler

2 Gliederung: Auswertung des zeitinvarianten- Temperaturverlaufs in einem Brennstabelement Auswertung der zeitvarianten- Wärmeleitungsgleichung in einer Baguette Zusammenfassung und Ausblick

3 Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung Reihenentwicklung von Wärmeverteilung Matlab programm : Function Reihen_entwicklung Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); also,N=100 Für jedes n und m (Zwei ineinandergesetzten Schleifen) Qnm = 1./(n(i)*m(j)); Q_fourier(:,:,ind) = (Q*16/pi^2)*(Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)); (nach den schleifen) Q_fourier = sum(Q_fourier,3); Temperaturverteilung in einem quadratischen radioaktiven Brennstabelement: Temperaturverteilung:

4 Für fehler<0,1 m,n [1:2:7] und für fehler<0,01 m,n[1:2:17] Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!! Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y) Fehler<0,01 Fehler<0, Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

5 Die Poisson Gleichung mit k und deren Einbindung in die Temperaturverteilung: Wärmeleitzahl wird im Rahmen dieser Arbeit als konstante behandelt: Wärmeleitzahl (K) Temperaturverteilung: Matlab programm : Temperaturverteilung Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); Für jeden n und m bis 17 (ungerade Zahl) Qnm = 1./(n(i)*m(j)); Tnm = Qnm./(n(i)^2+m(j)^2); T_fourier(:,:,ind) =(Q*16/pi^2)*(Tnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)); Endlig (nach den schleifen) T_fourier = sum(T_fourier,3); Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

6 Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L], mit L, der Länge und Breite des Brennstabes ausdehnt? Veränderung der Variable: Veränderung der Länge von Brennstab: Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

7 Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschritt-Verfahren) Matlab programm : Function Iterativ_method Initialisierung und Rand Bedigungen : U=10*ones(dim_grid); U(:,end)=0; U(end,:)=0; U(1,:)=0; U(:,1)=0; while eps>eps_required (Konvergenzbedingung) Für alle Punkte des Temperaturgitters U(i,j)=1/4*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j- 1)+U(i,j+1)+Q(i,j)*(dim_section/(dim_grid-1)).^2); Mit Hilfe dieses Verfahrens wird der Näherungsvektor elementweise neu bestimmt und für die Berechnung der – k-ten Komponente der nächsten Näherung bereits die neuen Daten der ersten Komponenten verwendet. Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

8 Zusammenfassung der simulierten Ergebnisse: TemperaturfunktionIterative MethodeMatlab PDE Tool Auswertung der iterativen Methode: Gauß-Seidel-Verfahren Lösung der zeitinvarianten 2D-Laplace/Poisson Gleichung

9 Abkühlen einer Baguette als 2D zeitabhängiges Wärmeleitungsproblem mit Dirichlet RB Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Verteilung der Temperatur: u(x,y;t) Randbedingungen (Boundary conditions): Baguette Baguettestemperatur= 90 °C Umgebungstemperatur= 20 °C Holzplattentemperatur= 30 °C Ziel Die Baguette auf 40 °C abzukühlen

10 Reihenentwicklung von Matlab programm : Function Temperatur_b_v2 Initialisierung : [x y]= meshgrid (0: 0.01: pi); Schleife zur Berechnung von W (N ist ungerade und M ist integer Zahl): Tnm =(n(i)^2+m(j)^2); anm=m(i)/(n(i)*Tnm); W(:,:,ind)=anm*sin(n(i)*x).*sin(m(j)*y)*(1-exp(-*b*Tnm*t)); Schleife zur Berechnung von V (N und M sind ungerade Zahlen): ind = ind + 1; Qnm = 1/(n(i)*m(j)); Tnm =(n(i)^2+m(j)^2); V(:,:,ind) = Qnm.*sin(n(i).*x).*sin(m(j).*y)*exp(-*b*Tnm*t); …. W_tot =(80/pi^2)*sum(W,3); V_tot = (1120/pi^2)*sum(V,3); T_fourier_temporelle(:,:,page_t) = W_tot+V_tot; Für ein Intervall [0,pi] x [0,pi] Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

11 Für fehler<0,1 m,n [1:2:15] Es werden nur an den Eckpunkten größere Fehler berechnet!! Fehlerberechnung: Maximaler rel. Fehler bei einem ausgewählten Punkt:eps(x,y) Fehler<0, Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

12 Wie sieht das Ganze aus, wenn man das Gebiet auf eine realistische Geometrie [0,L] der Länge und Breite der Baguette ausdehnt? Wo käme a in die Formel rein? Veränderung der Variable: Veränderung der länge als variable: Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

13 Für m=n=1 bis 15, erreicht die Stange nach 26 min 20 °C in der mitte. [°C] Temperatur der baguette nach 26 min für m und n bis [°C] Es dauert ca. 2 Stunden bis das Baguette komplett abkühlt. Nach welcher Zeit erreicht die Baguette in der mitte 40 °C? Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

14 Darstellung des Temperaturverlaufs für Gitter [20,20] [°C] T=56 min Temperatur =16 °C Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung Temperatur der Baguette nach 56 min für m und n=15. [°C] T=26 min Temperatur =40 °C Temperatur der Baguette nach 26 min für m und n=15.

15 [°C] Ebenso kann die Verschiebung der Isolinien und Abkühlung der Baguette betrachtet werden! 70 Dichte Spezifische Wärmekapazität Notwendige Parameter a= 0.33 E-6 m²/s (feuchter Sandboden ) Temperaturleitfähigkeit: [m²/s] Wärmeleitfähigkeit Abhängig Eigenschaften von Baguette Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

16 Matlab programm : Function Iterativ_method_b Auswertung der Temperaturverteilung anhand der expliziten Methode: Initialisierung,Randbedingungen und Anfangsbedingungen: [x,y] = meshgrid(linspace(0,dim_section,dim_grid)); U = 70*ones(dim_grid); U(:,end) = 0; U(end,:) = 0; U(:,1) = 0; U(1,:) = 10; Stabilitätskriterium definiert: alpha = (a*dt)/(dh^2); if alpha > 0.25 U_tot = NaN; ('!!! Stabilitätskriterium nicht erfüllt !!!!') Else Schleifen jeweils für die Zeit und i und j und dann wird die Temperatur gerechnet: U(i,j) = alpha*(U(i+1,j)+U(i-1,j)+U(i,j-1)+U(i,j+1)-4*U(i,j))+U(i,j); Bei einer expliziten methode wird zur Berechnung der Näherungswerte, nur Werte berücksichtigt die zeitlich vor dem zu berechnenden liegen. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

17 Für ein 10cm viereckiges Baguette, mit a=0.33 e -6m²/s, ein Zeit Schritt von 15 sec, erreicht das Baguette nach 5 min in der mitte 40°C! [°C] !!!!Problem!!!! Wenn wir das Gitter verfeinern kommen wir zu falschem Ergebniss. Baguette kühlt sich schneller ab. Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

18 Mit dem PDE-Tool von Matlab braucht man genauso lang, wie bei dem entwickelten Programm. Reihen EntwicklungExplizite methodeMatlab PDE Tool Zusammenfassung Lösung der Zeitvarianten 2D-Wärmeleitungsgleichung

19 Zusammenfassung und Fazit Die Auswertung für unterschiedliche Längen klappt anhand der entwickelten Programme ganz gut. Übereinstimmung der Ergebnisse aus dem iterativen und dem numerischen Verfahren. Ergebnisse aus dem Matlab PDE-TOOL übereinstimmen mit den Ergebnissen aus der Simulation. Auswertung der Wärmeleitungsgleichung durch explizite Methode soll evtl. noch verbessert und korrigiert werden

20 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit


Herunterladen ppt "Numerische Lösung der 2D Laplace/Poisson-Gleichung Teilnehmer: Alireza Farman Auline Rodler 27.12.2013."

Ähnliche Präsentationen


Google-Anzeigen