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Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen.

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Präsentation zum Thema: "Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen."—  Präsentation transkript:

1 Aspekte der Risikoanalyse - das Duration-Konzept Die Duration als Maß für die Zinsempfindlichkeit von Anleihen

2 Carolin Kopyto MAF BN SS Zinsänderungen bei festverzinslichen Wertpapieren – Barwertbetrachtung (Wieder-)Verkaufspreis (d.h. der Kurs) eines Wertpapiers (WP) unterliegt Schwankungen; diese richten sich nach dem Marktzins i Steigender Marktzins sinkender Kurs, da Investoren aufgrund der festgelegten Zahlungen eine entsprechende Rendite nur über den Kurs erwirtschaften können Sinkender Marktzins steigender Kurs für das WP, da die Rückzahlungen nicht mehr so stark abgezinst werden höherer Barwert (= Kurs)

3 Carolin Kopyto MAF BN SS Zinsänderungen bei festverzinslichen Wertpapieren - Endwertbetrachtung Endwert eines Wertpapiers (WP) ist abhängig von den Änderungen des Marktzinses i hier gegenläufiger Effekt zur Barwertbetrachtung Steigender Marktzins höherer Endwert, da die laufenden Kupon-Zahlungen (Zinszahlungen) zu dem höheren Marktzins wieder angelegt werden können Sinkender Marktzins sinkender Endwert, da laufende Kuponzahlungen nur zu dem geringeren Marktzins wieder angelegt werden können

4 Carolin Kopyto MAF BN SS Zinsänderungen bei festverzinslichen Wertpapieren – Ausmaß der Kursänderung Fragestellungen: –Welche Eigenschaften eines festverzinslichen WPs (z.B. Laufzeit, Kuponhöhe) und welche externen Einflussfaktoren (z.B. Marktzinsniveau) beeinflussen die Kursempfindlichkeit des WP? –Gibt es eine Laufzeit eines WP, die als Haltedauer interpretiert, die unterschiedlichen Effekte der Zinsänderung aufwiegt, d.h. immunisiert? siehe Vortrag von Hr. Dreesen

5 Carolin Kopyto MAF BN SS Duration als Sensitivitätskennzahl Die Duration ist eine Sensitivitätskennzahl, welche die durchschnittliche Kapitalbindungsdauer einer Geldanlage in ein festverzinsliches WP bezeichnet. Die Duration ist der gewichtete Mittelwert der Zeitpunkte, zu denen der Anleger Zahlungen (Kupons) aus dem WP erhält. Als Gewichtungsfaktor des Durchschnitts werden die Barwerte der Zinszahlungen der jeweiligen Geldanlage (WP) herangezogen.

6 Carolin Kopyto MAF BN SS Annahmen des Durationskonzepts Flache Zinsstrukturkurve: vereinfachte Annahme laufzeitunabhängiger Zinsen; dadurch können Zahlungen, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten anfallen, mit einem einheitlichen Zinssatz abgezinst werden Einmalige Änderung des Marktzinsniveaus: Änderung erfolgt unmittelbar nach Erwerb des WP Wiederanlage der Kuponzahlungen erfolgt zum Marktzins i Keine Transaktionskosten und keine Steuern

7 Carolin Kopyto MAF BN SS Duration – Ausgangspunkt (1) Beispiel: Anleihe A besteht aus zukünftigen Kuponzahlungen Z k zu den Zeitpunkten t k (k = 1,..,n). Rücknahmekurs C n im Zeitpunkt t n ist dabei in der letzten Zahlung Z n bereits enthalten! Zum Zeitpunkt t=0 ergibt sich der finanzmathematische Wert (dirty price, Bruttopreis) C 0 der Anleihe durch Abzinsen sämtlicher Zahlungen Z k mit dem im Zeitpunkt t=0 herrschenden Marktzins i.

8 Carolin Kopyto MAF BN SS Duration – Ausgangspunkt (2) Ist i der stetige Periodenzinssatz, so gilt: Ist i der diskrete exponentielle Periodenzinssatz, so gilt:

9 Carolin Kopyto MAF BN SS Beispiel – Berechnung Barwert nach stetiger und diskreter Methode Anleihe (Nennwert 100 ), Laufzeit k = 5 Jahre, Kupon i.H.v. 10, Rücknahmepreis 100, Marktzins i = 8% Stetiger Barwert: C 0 = 106,62 Diskreter Barwert: C 0 = 107,99

10 Carolin Kopyto MAF BN SS Empfindlichkeit des Kurses C 0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Berechnung der Änderung der Variablen C 0 bei Änderung der unabhängigen Variablen i um eine kleine Einheit di erfolgt durch die erste Ableitung C´ 0 (i) bzw. durch das Differential dC 0 = C` 0 (i) * di D.h.

11 Carolin Kopyto MAF BN SS Empfindlichkeit des Kurses C 0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Die Relative (prozentuale) Veränderung dC 0 / C 0 des Anleihepreises folgt in Abhängigkeit von der Zinsänderung di:

12 Carolin Kopyto MAF BN SS Definition – Duration (bei stetiger Zinsformel) Unter der Duration D einer gegebenen Zahlungsreihe Z 1, Z 2, …, Z n (fällig bezogen auf t=0 – zu den Zeitpunkten t 1, t 2, …, t n ) beim Marktzinsniveau i (als stetiger Zinssatz) versteht man die Zahl D mit:

13 Carolin Kopyto MAF BN SS Sensitivität von Anleihen bzgl. Zinsschwankungen Gegeben sei eine Zahlungsreihe (z.B. Anleihe) Z 1, Z 2, …, Z n zu den Zeitpunkten t 1, t 2, …, t n und – bei flacher Zinskurve – ein stetiger Marktzinssatz i. Die Duration der Zahlungsreihe sei D. Unmittelbar nach Bewertung der Zahlungsreihe durch ihren Barwert C 0 ändere sich der Marktzins i um di. Dann ist die resultierende relative (prozentuale) Änderung dC 0 / C 0 des Barwerts C 0 (näherungsweise) gegeben durch: dC 0 / C 0 = -D * di

14 Carolin Kopyto MAF BN SS Ermittlung der Duration anhand eines Beispiels (1) Bsp.: Anleihe (Nennwert 100 ), Laufzeit k = 5 Jahre, Kupon i.H.v. 10, Rücknahmepreis 100, Marktzins i = 8% Zeitpunkt tZahlung Z t Barwert C 0 Z t * e -0,08t Zeitpunkt * Barwert t * Z t * e -0,08t 1109, ,521417, ,866323, ,261529, , ,6760 Summe106,6156 (= C 0 )447,5949

15 Carolin Kopyto MAF BN SS Ermittlung der Duration anhand eines Beispiels (2) dC 0 = 447,5949 C 0 = 106,6156 Duration D = dC 0 /C 0 = 447,5949/106,6156 D = 4,1982 Somit können wir die relative Änderung des Anleihepreises ermitteln, wenn sich unmittelbar nach t=0 der Marktzins um einen kleinen Betrag di ändert.

16 Carolin Kopyto MAF BN SS Ermittlung der Duration anhand eines Beispiels (3) Bsp.: di = 0,001, d.h. der stetige Marktzins ändert sich von 8,0% auf 8,1% dC 0 / C 0 = -D*di -4,1982*0,001 = -0, D.h., dass der Barwert C 0 des Papiers um 0,41982% von 106,6156 auf 106, ,17 fallen müsste. Probe: Zeitpunkt tZahlung Z t Barwert C 0 Z t * e -0,081t 1109, , , , , Summe106,16902 (=C 0 )

17 Carolin Kopyto MAF BN SS Alternative Definition der Duration Vorne haben wir gesehen, dass die Sensitivität dC 0 /C 0 eines Wertpapiers ggü. Zinsschwankungen mit Hilfe der Duration D gemessen werden kann (= -D*di). Umgekehrt (nach D aufgelöst) bedeutet dies:

18 Carolin Kopyto MAF BN SS Interpretation der Durations-Formel Umformung: Interpretation: –Der geklammerte Term: Im Zähler steht der Barwert der k-ten Zahlung; im Nenner der Barwert (Kurs) der gesamten Zahlungsreihe Der Bruch enthält den Barwert-Anteil der k-ten Zahlung am Gesamt-Barwert –Die geklammerten Terme sind Gewichte, die mit den jeweiligen Laufzeiten bzw. Zeitpunkte t k der Zahlungen Z k multipliziert werden. Jeder zukünftige Zahlungszeitpunkt t k wird mit dem Barwert gewichtet, den die zugehörige Zahlung zum Barwert C 0 beiträgt. –Duration D = gewogener Durchschnitt aller dieser Laufzeiten. Somit durchschnittliche Bindungsdauer des eingesetzten Kapitals bis zum vollständigen Rückfluss oder durchschnittliche gewichtete Fälligkeit der Kapitalanlage.

19 Carolin Kopyto MAF BN SS Definition – Duration (bei diskreter Zinsformel) Unter der Duration D einer gegebenen Zahlungsreihe Z 1, Z 2, …, Z n (fällig bezogen auf t=0 – zu den Zeitpunkten t 1, t 2, …, t n ) beim Marktzinsniveau i (als diskreter Zinssatz) versteht man die Zahl D mit sog. Macaulay- Duration

20 Carolin Kopyto MAF BN SS Empfindlichkeit des Kurses C 0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Berechnung der Änderung der Variablen C 0 bei Änderung der unabhängigen Variablen i um eine kleine Einheit di erfolgt durch die erste Ableitung C´ 0 (i) bzw. durch das Differential dC 0 = C` 0 (i) * di d.h.

21 Carolin Kopyto MAF BN SS Empfindlichkeit des Kurses C 0 durch Änderung der unabhängigen Variablen i Die Relative (prozentuale) Veränderung dC 0 / C 0 des Anleihepreises folgt in Abhängigkeit von der Zinsänderung di:

22 Carolin Kopyto MAF BN SS Einheitliche Darstellung der Zinsempfindlichkeit des Anleihekurses C 0 Stetige Zinsformel mit i = stetiger Marktzins Diskrete Zinsformel mit i = diskreter Marktzins Einheitliche Darstellung: wobei: modifizierte Duration MD = D/(1+i) und D = Macaulay-Duration Die MD spielt bei Verwendung der diskreten Zinsformel dieselbe Rolle wie Duration D bei Verwendung der stetigen Zinsformel

23 Carolin Kopyto MAF BN SS Modifizierte Duration MD Die Modifizierte Duration gibt an, wie stark sich der Gesamtertrag einer Anleihe (bestehend aus den Tilgungen, Kuponzahlungen sowie Zinseszinseffekt bei der Wiederanlage der Rückzahlungen) ändert, wenn sich der Zinssatz am Markt ändert. Die Modifizierte Duration MD steht mit der Macaulay-Duration (D) in folgendem Zusammenhang: MD = D * [1/(1+i)] bzw. MD = D/(1+i)

24 Carolin Kopyto MAF BN SS Ermittlung der Macaulay-Duration anhand eines Beispiels (1) Bsp.: Anleihe (Nennwert 100 ), Laufzeit k = 5 Jahre, Kupon i.H.v. 10, Rücknahmepreis 100, Marktzins i = 8% Zeitpunkt tZahlung Z t Barwert C 0 Z t * 1,08 -t Zeitpunkt * Barwert t * Z t * 1,08 -t 1109, ,573417, ,938323, ,350329, , ,3207 Summe107,9854 (= C 0 )453,9430

25 Carolin Kopyto MAF BN SS Ermittlung der Macaulay-Duration anhand eines Beispiels (2) dC 0 = 453,9430 C 0 = 107,9854 Duration D = dC 0 /C 0 = 453,9430/107,9854 D = 4,2037 Somit können wir die relative Änderung des Anleihepreises ermitteln, wenn sich unmittelbar nach t=0 der Marktzins um einen kleinen Betrag di ändert.

26 Carolin Kopyto MAF BN SS Ermittlung der Macaulay-Duration anhand eines Beispiels (3) Bsp.: di = 0,001, d.h. der diskrete Marktzins ändert sich von 8,0% auf 8,1% dC 0 / C 0 = -MD*di = [-D/(1+i)]*di (-4,1982/1,08)*0,001 = -0, D.h., dass der Barwert C 0 bzw. Preis des Papiers um 0,38923% von 107,9854 auf 107, ,57 fallen müsste. Probe: Zeitpunkt tZahlung Z t Barwert C 0 Z t * 1,081 -t 1109, , , , , Summe107,5662 (=C 0 )

27 Carolin Kopyto MAF BN SS Definition der Duration als Elastizitätswert (1) Elastizitätsbegriff als Antwort auf Untersuchung der relativen (prozentualen) Änderung dC 0 /C 0 bzw. d(1+i)/(1+i) (d.h. Änderung des Anleihewertes C 0 bei kleiner Marktzinsänderung d(1+i)) Unter Elastizität ε C0,q des Anleihepreises C 0 in Bezug auf den Marktzinsfaktor q (=1+i) versteht man den Quotienten der relativen (prozentualen) Veränderung der beiden Variablen C 0 und q

28 Carolin Kopyto MAF BN SS Definition der Duration als Elastizitätswert (2) Mit Hilfe der Differentialrechnung, der Formel dC 0 /di und der klassischen diskreten Verzinsungsformel erhält man (unter Beachtung von dq = d (1+i) = di): Macaulay- Duration

29 Carolin Kopyto MAF BN SS Definition der Duration als Elastizitätswert (3) Die Macaulay-Duration D beschreibt somit die prozentuale Veränderung des Anleihewertes C 0 bei Änderung des Zinsfaktors um einen Prozent – eine Modifikation von D ist somit nicht notwendig.

30 Carolin Kopyto MAF BN SS Definition der Duration als Elastizitätswert (4) - Beispiel Man nehme die Daten aus dem Beispiel von Folie 24f.: wobei i = 8%, di = 0,1%, D = 4,2037 dq = di = 0,1%-Punkte stellen eine Zunahme des Zinsfaktors 1,08 (=q) um 0,092592% (=0,1/1,08) dar Aus ε C0, q = -D = -4,2037 folgt: dC 0 /C 0 = -4,2037 * dq/q = -4,2037*0,092592% = - 0,38923% Dies ist somit dasselbe Ergebnis, wie es mit der modifizierten Duration MD ermittelt wurde (siehe Folie 26)!


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