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1Andreas Schulte-Kemper, FinanzmathematikNov-13 Berechnungsverfahren und Einflussgrößen Die Duration von Standard Anleihen.

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Präsentation zum Thema: "1Andreas Schulte-Kemper, FinanzmathematikNov-13 Berechnungsverfahren und Einflussgrößen Die Duration von Standard Anleihen."—  Präsentation transkript:

1 1Andreas Schulte-Kemper, FinanzmathematikNov-13 Berechnungsverfahren und Einflussgrößen Die Duration von Standard Anleihen

2 Symbolverzeichnis -D: Duration -Z t : Zins- und Tilgungszahlungen -t: Betrachtungszeitpunkt -r: gegenwärtige Marktrendite des betrachteten Titels -n: Frist bis zur letzten Fälligkeit -P 0 : Barwert oder Marktwert des Finanztitels -dP: infinitesimale Marktwertänderung -dr: infinitesimale Marktzinsänderung 2 >, >Nov-13

3 3Andreas Schulte-Kemper, FinanzmathematikNov-13 Gliederung Malcauly duration definition beispielrechnung Modified duration definition beispielrechnung Übungsaufgaben

4 4Andreas Schulte-Kemper, FinanzmathematikNov-13 Macauly Duration Definition: Gewichteter Durchschnitt der Zeitpunkte der Zahlungen Angabe über durchschnittliche Kapitalbindung Beispiel 1: Anleihe über 5 Jahre Kupon 4 % Marktzinsniveau 5 % Duration 4,62 Jahre Merke: 1.Malcauly Duration Maßeinheit in Jahren 2.Je höher der Coupon desto größer die Duration 3.Je höher die Laufzeit desto länger die Duration 4.Je höher das Marktzinsniveau desto kürzer die Duration

5 5 >, >Nov-13 Berechnung Beispiel 1 Marktzinsniveau5% Zeitpunkt (t) Cashflow (Z) BarwertGewichteter Zahlungsstrom 143,81 243,637,26 343,4610,37 443,2913, ,49407,43 95,67 (Kurs der Anleihe)442,03 Duration4,62 Jahre In einer Formel ausgedrückt heisst dies: = D = 95,67 442,03 = 4,62 Jahre

6 6 >, >Nov-13 Ableitung aus der Barwertformel: Die Duration kann insbesondere zur Herstellung eines Zusammenhangs zwischen einer bestimmten marginalen Änderung des Marktzinssatzes und der aus ihr resultierenden relativen Marktwertänderung verwendet werden:

7 7 >, >Nov-13

8 Modified Duration 8 >, >Nov-13 Definition: Instrument zur Analyse des Zinsänderungsrisikos Die Modified Duration (MD) misst die Zinssensivität einer Anleihe Die MD gibt an, wie sich der Dirty Price* einer Anleihe verhält wenn man sich die Rendite um einen Prozentpunkt verändert *Dirty Price = Barwert der Anleihe, bzw. Preis incl Stückzinsen Merke: 1.Modified Duration Maßeinheit in Prozent 2.Je höher der Coupon desto größer die MD 3.Je höher die Laufzeit desto niedriger die MD 4.Je höher das Marktzinsniveau desto niedriger die MD

9 9 >, >Nov-13 Berechnung der Modified Duration anhand der Malcauly Duration: ( 1 + Malcauly Duration Marktzinsniveau ) 100 Modified Duration = In Anwendung auf Beispiel 1: ( 1 + 4,62 5 ) 100 Modified Duration = = 4,40 % Dies multipliziert mit dem Kurs von 95,66 ergibt 4,21 Fazit: Verändert sich die Rendite um 1 %, verändert sich der Kurs um 4,21 !

10 10 >, >Nov-13 Vereinfachung der Formel (6) durch die Modified Duration: (7) [mit MD =D / (1+i)] MD *

11 11 >, >Nov-13 Damit die Darstellungen übersichtlich bleiben, gelten folgende Vorraussetzungen: Auf- und Abzinsungen erfolgen mit dem klassischen Zinseszinskalkül (i: diskreter Jahreszins) Die untersuchten Anleihen (Bonds) bestehen aus endfälligen Kupons, der erste Kupon in höhe Z, ist ein Jahr nach dem Planungezeitpunkt (=Kaufzeitpunkt) t= 0 fällig, die Restlaufzeit der Anleihe beträgt n Jahre, am Ende der Restlaufzeit wird die Anleihe zum rücknahmekurs Cn (meist mit 100 %, d.h. zu pari angenommen) vollständig getilgt. Die untersuchten Anleihen haben also folgende zeitliche Zahlungsstruktur, bezogen auf einen Nominalwert von 100 :

12 12 >, >Nov-13 Wegen t 1 = 1, t 2 = 2, …, t n = n sowie Z 1 = Z 2 = … = Z (Wobei Z n ungleich Z + C n ) lässt wie folgt schreiben:

13 13 >, >Nov-13 Im Nenner steht als Kurs-Funktion C 0 (i) der übliche Anleihen- Barwert mit 1 + i =q): (Kursfunktion C 0 (q) bzw. C 0 (i)) Der Zähler besteht mit Ausnahme des letzten Summaneden aus einem Summen Term Stellt man die dabei abzuzinsende gewichteten Zahlungen t * Z auf dem Zahlenstrahl so dar, so ergibt sich (Ohne Berücksichtigung des Rücknahmekurses C 0 :

14 14 >, >Nov-13 d.h. wie haben es mit einer arithmetisch veränderlichen Rente zu tun, bei der die Differenz zweier aufeinander folgenden Zahlungen Z beträgt umformen Addiert man hierzu noch den gewichteten Rücknahmekurs n * C n und zins tann auf t = 0 ab, so erhält man (nach Division durch C 0 und unter Berücksichtigung der Tatsache dass sich der Abszinsunfaktor q -n herauskürzt) schließlich die Macauly Duration zu:

15 15 >, >Nov-13 Bzw. nach einiger Umformung: D = Malcauly Duration für endfällige Kupon-Anleihen

16 16 >, >Nov-13 Kupon Z sowie Rücknahmekurs C n sind entweder a) nur in Geldeinheiten oder b) nur in dezimal einzusetzen. Mit den Zahlen aus dem ersten Beispiel ergibt sich folgendes für eine Rechnung in Geldeinheiten: Beispiel 1: Volumen 100 Anleihe über 5 Jahre Kupon 4 % Marktzinsniveau 5 %

17 17 >, >Nov-13 Die Berechnungsvorschrift der Malcauly Duration lässt mit etwas Aufwand auch weiter vereinfachen zu Mit den Daten von Beispiel 1 erhalten wir wieder dasselbe Ergebnis der Duration


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