Simplexmethode als Anwendung des Kostenkalküls

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1 Simplexmethode als Anwendung des Kostenkalküls
Matrixform Sensitivitätsanalyse hierzu z.B. Kistner ²1993, S. 85ff oder Luenberger ²1992, sec. 3.8 oder sonst ein Buch zur linearen Optimierung.

2 Lineares Optimierungsproblem
Gesucht ist eine Konvexkombination endlich vieler Aktivitäten, die eine lineare Zielfunktion über einem durch ein System linearer Ungleichungen definierten Bereich zulässiger Entscheidungs-konsequenzen maximiert. Entscheidungsvariable: Vektor x; jede seiner n Komponenten gibt für das Niveau an, mit dem eine bestimmte Aktivität in die Kombination eingehen soll. Daten: Zielfunktionskoeffizientenvektor p; jede seiner n Komponenten steht für den Zielfunktionsbeitrag je Aktivitätsniveaueinheit einer bestimmten Aktivität; die Zielfunktion ist mithin p'x. Beschränkungsvektor b; jede seiner m Komponenten gibt die Zulässigkeitsgrenze für ein bestimmtes Merkmal der Entscheidungskonsequenzen an; für jede relevante Beschränkung enthält b eine Komponente. Koeffizientenmatrix A; jede Spalte der m×n-Matrix A gehört zu einer bestimmten Aktivität und gibt in demselben Vektorraum wie b deren Wirkung je Niveaueinheit auf die verschiedenen Dimensionen der Entscheidungskonsequenzen wieder.

3 Optimale Lösung Unter einer optimalen Lösung versteht man einen Vektor x*, der in dem Zulässigkeitsbereich X = {x|Ax = b; x > 0} liegt und für den der Zielfunktionswert über X maximal wird. Die Matrix A enthalte die Einheitsmatrix als Teilmatrix (Schlupfaktivitäten). Eine Teilmatrix B aus m linear unabhängigen Spalten von A wird als Basismatrix bezeichnet. eine mögliche Basismatrix ist die Matrix der Schlupfaktivitäten Zu jeder Basismatrix ist ein Simplextableau definiert. das Simplextableau zu der Basismatrix der Schlupfaktivitäten ist das Ausgangstableau. Es lässt sich wie folgt als Matrix schreiben:

4 Simplextableaus (Ausgangstableau)
Multipliziert man an eine Matrix M von rechts eine Einheitsmatrix E, deren Spalten irgendwie vertauscht sind, so ergibt sich als ME die Matrix M mit Spalten die genau so vertauscht sind wie die Einheitsvektoren in E gegenüber I. Durch Multiplikation einer solchen (n+1)×(n+1)- “Spaltentauschermatrix” E von rechts an das Ausgangstableau, kann man dieses also in folgende Form bringen:

5 Beispiel: Ausgangstableau
x x x x4 x x6 b –p

6 Simplextableau zur Basis B
Multipliziert man an das so umsortierte Ausgangstableau die Matrix , so erhält man: das ist das Simplextableau zur Basis B.

7 Ausgewählte Basismatrix und zugehörige Zielfunktionskoeffizienten
  

8 Ist das Tableau primal und dual zulässig, so ist es optimal:
Interpretation Basislösung zu B; falls > 0: primal zulässig Zielfunktionswert falls > 0': dual zulässig Ist das Tableau primal und dual zulässig, so ist es optimal: xB* = B-1b

9 Tableau zur Basis B* B*–1A B*–1b u'A – p' u'b u' = p'B*–1

10 Simplexkriterium uB := pB B -1 den Zeilenvektor der Dualvariablen zu den strukturellen Restriktionen Für jede beliebige Aktivität j lässt sich dann der Netto-Nutzenbeitrag je Aktivitätsniveaueinheit darstellen als: pj - pB B-1 a.j = pj - uB a.j Gibt es zu einer Basismatrix B* nur solche j, für die dieser Ausdruck negativ ist, so ist von dieser Basis aus nur eine Verschlechterung des Zielfunktionswerts möglich, B* muss also optimal sein

11 Findet man aber ein j mit pj - pB B -1 a
Findet man aber ein j mit pj - pB B -1 a.j > 0, dann ist die Basislösung zu B nicht optimal definiere yj := B-1 a.j und bestimme i* := min{i|yi0/yij für yij > 0}. ersetze die Aktivität i* in B durch j. Die so modifizierte Basislösung hat einen höheren Zielfunktionswert als die zu B. Die Opportunitätskosten der optimalen Basislösung B* sind dann gegeben durch cB*B*-1 a.0 Sie steigen von Schritt zu Schritt und nähern sich immer mehr den tatsächlichen Opportunitätskosten an, die Auslese unter den Alternativen durch den Kostenkalkül mit den angenäherten Opportunitätskosten wird von Schritt zu Schritt schärfer.

12 das bedeutet nicht... dass eine einmal „verworfene“ Aktivität in einer besseren Alternative nicht wieder auftreten könnte dass die Opportunitätskostensätze ui irgendwelche Monotonie-Eigenschaften zwischen den Verbesserungsschritten hätten: die neu eingeführte Aktivität kann bestimmte Restriktionen mehr oder weniger nutzen als die ausgeschiedene, so dass die betreffende Dualvariable steigen oder fallen kann lediglich die Gesamt-Opprtunitätskosten pB*B*-1 a.0 steigen.

13 Sensitivitätsanalysen
Situation nach Bekanntwerden der unsicheren Daten sind Anpassungsentscheidungen möglich Problemstellung Geltungsbereich der optimalen Lösung für die a priori erwartete Datenkonstellation wie reagiert der optimale Zielfunktionswert und wie reagieren die optimalen Anpassungsmaßnahmen auf die geänderten Daten? Methodische Grundlage: Lineares Optimierungsmodell Variationen der Restriktionskonstanten Zielfunktionskoeffizienten Prozessvektoren

14 Störungen der Restriktionskonstanten b +lb
Änderungen von b haben keinen Einfluss auf die Dualzulässigkeit. solange die primale Zulässigkeit erhalten bleibt, bleibt dieselbe Basis optimal. Optimale Basislösung: Optimaler Zielfunktionswert: pB'B-1(b +lb) = pB'x*(0) + l (u(B)'b) der Zielfunktionswert variiert linear mit l, solange die Basis B optimal bleibt. x*(l) = B-1(b +lb) = u(B)' (optimale Dualvariablen zur Basismatrix B)

15 Beispiel Ausgangstableau Grenzen für l: strengste Bedingungen von:
Optimaltableau x x x x4 x5 x6 b l Grenzen für l: strengste Bedingungen von: l > -3 l < 8 l < 4 –p B*–1lb u'lb

16 Reaktion des optimalen Zielfunktionswerts
Der optimale Zielfunktionswert ist als Funktion des Parameters l konkav: d.h. bei einem Basiswechsel vermindert sich die Ableitung des optimalen Zielfunktionswerts oder bleibt gleich. wenn B-1(b +l1b) > 0 und B-1(b +l2b) > 0 dann ist auch B-1(b +lb) > 0 für l1 > l > l2, Konvexkombinationen der beiden Lösungen für l1 und l2 sind also zulässig. Der Zielfunktionswert dieser Konvexkombination ist aber die Konvexkombination der beiden Zielfunktionswerte. Z l l l l1

17 Störungen des Zielkoeffizientenvektors
gestörter Zielkoeffizientenvektor: p + l· p solange die Basislösung zur Basismatrix B dual zulässig bleibt, bleibt die optimale Lösung x* unverändert. der optimale Zielfunktionswert ändert sich linear mit dem Störungsparameter, die Änderung beträgt l· px* die Änderung der Zielkoeffizienten entspricht einer Änderung der Beschränkungskonstanten im Dual daher lässt sich die Konkavitätsaussage bei Basiswechsel (von der vorigen Folie) übertragen

18 Beispiel Ausgangstableau Optimaltableau Grenzen für l:
x x x x4 x5 x6 b Ausgangstableau Optimaltableau –p l Grenzen für l: strengste Bedingungen von: l < 7/4 l > -2 l < 3 = 2·3l/5 – 5·l/5 = u'(l)b

19 Störungen der Koeffizientenmatrix
zwei Fälle: Störung einer Nichtbasisspalte j. Hier ist nur zu untersuchen, ab welchen Grenzen die Störung die Dualzulässigkeit zum Verschwinden bringt, so dass es vorteilhaft wird, die Aktivität j in die Basis aufzunehmen. Störung eines Basisvektors. Aktivitätsvektor kann sich so verändern, dass er durch einen Nichtbasisvektor ersetzt werden muß, weil dessen Zielbeitrag günstiger wird Änderung zur Unzulässigkeit der Lösung führen