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Geostatistik in der Geoinformation I Einführung & Deterministische Verfahren Vortrag GIS-Seminar WS 01/02 Von: Andreas Benoit Betreuer: Prof. Schuh.

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1 Geostatistik in der Geoinformation I Einführung & Deterministische Verfahren Vortrag GIS-Seminar WS 01/02 Von: Andreas Benoit Betreuer: Prof. Schuh

2 Deterministische Verfahren 1 Übersicht Einführung –Warum interpolieren / approximieren ? –Was ist interpolieren / approximieren? Deterministische Verfahren –Approximation und Interpolation mit Basisfunktionen »Polynome »Trigonometrische »Harmonische Analyse –Kubische Splines –Deterministische Prädiktion Statistische Verfahren –Stochastische Prädiktion [Kollokation] (siehe Jens) –Kriging (siehe Jeff)

3 Deterministische Verfahren 2 Warum interpolieren / approximieren? Gegeben (gemessen) sind diskrete Daten Gesucht sind kontinuierliche Darstellungen Übergang durch Inter- / Extrapolation oder Approximation

4 Deterministische Verfahren 3 Was ist das überhaupt ? Interpolation Reproduktion der Stützstellen Wenn gleich viele Beobachtung wie Parameter existieren. Approximation Abweichung Minimieren Wenn mehr Beobachtungen als Parameter existieren

5 Deterministische Verfahren 4 Erscheinungsbild der Daten Die Messdaten präsentieren sich in folgender Form: l + v = Ax l = Ax + z + n Ax = deterministischer Anteil Z = Signal N = Noise (Rauschen)

6 Deterministische Verfahren 5 Beispieldatensätze 1.Ausreißerest 7 Messungen 4. Messung ist 1 Alle anderen sind Null 2.Klotoide 6 Messungen

7 Deterministische Verfahren 6 Berechnungsweise Das Prinzip der Berechnung ist immer gleich. Man versucht den Trend zu eliminieren. a = (A T A) -1 A T z f = B (A T A) -1 A T z BasisfunktionEinflussfaktorenMessungen

8 Deterministische Verfahren 7 Polynomisch – Satz 1 Grün: Polynom Grad 2 Rot: Polynom Grad 4 Blau: Polynom Grad 6

9 Deterministische Verfahren 8 Polynomisch - Satz 2 Rot: Polynom Grad 3 Blau: Polynom Grad 5

10 Deterministische Verfahren 9 Trigonometrisch - Satz 1 Rot: Sinus Funktion Blau: Cosinus Funktion Grün: cos und sin

11 Deterministische Verfahren 10 Harmonische Analyse - Satz 1 Rot: Grad 2x Blau: Grad 3x

12 Deterministische Verfahren 11 Trigonometrisch & Harmonische Analyse - Satz 2 Rot: Sinus Funktion Blau: Cosinus Funktion Grün: Cosinus & Sinus Schwarz: Grad 2x/3x

13 Deterministische Verfahren 12 Kubische Splines Funktion nur zwischen 2 Stützpunkten definiert, um bessere Annäherung an die lokale Umgebung Problem: „Ecken“ an den Übergängen. Lösung: ersten beiden Ableitungen müssen gleich sein, dann gleiche Krümmung Deshalb in der Regel Funktion der Grades 3

14 Deterministische Verfahren 13 Kubische Splines p i (x) = a i + b i (x-x i ) + c i (x-x i ) 2 + d i (x-x i ) 3

15 Deterministische Verfahren 14 Kubische Splines - Satz 1

16 Deterministische Verfahren 15 Kubische Splines - Satz 2 Schwarze Striche sind Stützstellen

17 Deterministische Verfahren 16 Fazit Eine „richtige“ Interpolation oder Approximation gibt es nicht, zumindest mit unseren Mitteln. Verschiedene Verfahren sind für verschiedene Probleme unterschiedlich gut geeignet. Der Rechenaufwand ist z.T. erheblich unterschiedlich.

18 Deterministische Verfahren 17 Und jetzt ? Eisbrecher Jamal – Murmansker Seerederei


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