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Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil.

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Präsentation zum Thema: "Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil."—  Präsentation transkript:

1 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/1 Numerik partieller Differentialgleichungen Teil 1:Grundverfahren der Numerik Kap. 1:Einführung in die Numerik Inhalt (Vorlesung 2): Rechnen auf endlichen Maschinen Rundungsfehler und ihre Auswirkungen Diskretisierung von Funktionen Numerische Integration Numerisches Differenzieren Eigenschaften großer, dünnbesetzter Matrizen Versuche: Berechnung der Zahl e - Rundungsfehler Fehlerfortpflanzung bei Addition Nullstellensuche x 2 = a und x 3 = 1 Lagrange Interpolation

2 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/2 Neben der diskreten Darstellung der Zahlen interessieren in der Numerik vor allem die diskrete Darstellung von Verläufen (Funktionen) und der darauf möglichen Operationen (vor allem Integration und Differentiation). Drei Möglichkeiten der Diskretisierung von Verläufen sollen im Rahmen dieser Vorlesung behandelt werden. Ausgang ist y = f(x) xsteht für die unabhängigen Variablen, ysteht für die abhängigen Variablen, fgibt den Verlauf an und wird im Folgenden als Operation auf x gedeutet, die die Gerade y ergibt. a)Diskretisierung der unabhängigen Variablen wird durch Werte y i =f(x i ) dargestellt. Für weitere Operationen kann zwischen den Werten y i interpoliert werden. Als Interpolationsfunktion werden häufig Lagrange-Polynome verwendet. Diskretisierung von Funkionen -1

3 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/3 y wird durch zwei Punkte x o und x 1 beschrieben. ist eine Gerade durch die Punkte (x o, y o ) und (x 1, y 1 ) Faßt man die Glieder mit y o und y 1 zusammen, so gilt Die Ausdrücke vor den Werten y o und y 1 sind Funktionen von x. Wir bezeichnen sie mit Offensichtlich gilt und Lineare Interpolation -1

4 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/4 Ihre allgemeine Form lautet: Für n = 3 Lagrange Polynome -1

5 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/5 Lagrange Polynome -2 Mit diesen Interpolationsfunktionen läßt sich eine Funktion y(x) etwa folgendermaßen nähern: x0x1x2x3x0x1x2x3

6 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/6 Taylor-Reihenentwicklung Folgende Festlegungen führen zur Taylor-Entwicklung: Entwicklungsfunktionen Polynome von (x - x o ) Entwicklungkoeffizienten Wert und Ableitung an Stelle x 0 : Art der Näherung y und stimmen an der Stelle x 0 in Wert und allen Ableitungen bis zur Ordnung n überein.

7 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/7 Taylor-Reihenentwicklung -2 Ergebnis der Näherung Verstümmelungsfehler gleich erstes vernachlässigtes Glied Konvergenz

8 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/8 Stückweise Näherung Häufig möchte man sich bei der Näherung auf Polynome niederer Ordnung beschränken. Um trotzdem kompliziertere Verläufe darstellen zu können, unterteilt man den Bereich, in dem die Funktion genähert werden soll, in m-Teilbereiche (Basisgebiete, Elemente), für die man je separat eine Näherung bestimmt. Man fordert Stetigkeit der Näherungen an den Anschlußstellen und erreicht das dadurch, daß je eine Stützstelle auf dem Rand liegt. Es gilt dann sind die im Teilbereich j gültigen Interpolations- oder Ansatz-Funktionen je der Ordnung nj Die Näherung heißt stückweise stetig.

9 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/9 Numerische Integration Verfahren nach Newton Cotes -1 Ausgang: Lagrange Interpolation Integration: Tabellierung: Die Werte des sind für verschiedene Ordnungen von Lagrange-Funktionen tabelliert.

10 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/10 Numerische Integration Verfahren nach Newton Cotes -2 Tabelle der normierten Integrale: n Ordnung der Näherung, j Stützstelle, Integralwert

11 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/11 Numerische Integration Verfahren nach Gauß -1 Ausgang: Entwicklung nach Funktionen Wo N j (x) Legendere Polynome N j = f (x j ) Funktionswerte an Gauß-Punkten x i und die Anpassung von so erfolgt, daß die Fläche unter beiden Kurven übereinstimmt. Integration: Tabellierung: Tabelliert sind die Gauß-Punkte und die Integrale.

12 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/12 Numerische Integration Verfahren nach Gauß -2 Tabellen normierter Integrale werden in der Vorlesung angegeben. Für ihren praktischen Einsatz verweisen wir auf numerische Bibliotheken. Routinen für Gauß-Integrationen gibt es für Integration in karthesischen Koordinaten und für Integrationen in Dreieckskoordinaten.

13 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/13 Numerische Integration Zusammenfassung 1.Unterteile Integrationsgebiet a, b in Teilgebiete a i, b i 2.Nähere Funktion in Teilgebiete durch bekannte Funktionen 2.1Lagrange 2.2Gauß 3.Integriere Näherungslösung

14 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/14 Konvergenzverbesserung Ist die Konvergenzordnung mit 0 (h h-1 ) bekannt, so gilt Daraus kann man zwei Methoden zur Lösugnsverbesserung ableiten: a)Richardson-Extrapolation Verändert man h q h, so gilt Eliminiert man a, so gilt Dies ist die Richardson-Extrapolation. b)Romberg-Tableau Wiederholt man eine Rechnung mit verschiedenen Maschenweiten h 0, h 1,... h n, so kann man auf je zwei Ergebnisse eine Richardson-Extrapolation anwenden. Dies führt zum folgenden Rechenschema (Romberg-Tableau).

15 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/15 Numerisches Differenzieren -1

16 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/16 Numerisches Differenzieren -2 Daraus ergibt sich folgende Strategie zur Bestimmung von Ableitungen diskretisierter Funktionen. 1.Stelle Taylor-Reihen-Entwicklung bis zur n-ten Ableitung auf. 2.Ist n größer 1, so müssen n-1 Ableitungen niederer Ordnung eliminiert werden. Dazu sind n-1 weitere Taylor-Entwicklungen an der selben Stelle x i aufzustellen (z.B. y i-1, y i+2, y i-2,...). 3.Eliminiert man die Ableitungen niederer Ordnung, so erhält man Das erste vernachlässigte Glied

17 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/17 Näherung von Differentialen durch Differenzen -1 A)Berechnung von A 1 )Aus y i+1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied: Der Abbruchfehler ist A 2 )Aus y i-1 folgt durch Abbruch nach dem zweiten Glied: Der Abbruchfehler ist

18 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/18 Näherung von Differentialen durch Differenzen -2 Allgemein gilt: Zur Approximation eines Differentialquotienten nach Ordnung sind mindestens Funktionswerte an n+1 Maschenpunkten nötig. Der Abbruchfehler ist von der Ordnung x n+1 und der Diskretisierungsfehler hat die Ordnung x A 3 ) Kombiniert man beide Näherungen, so erhält man: Der Abbruchfehler ist Nach dem Mittelwert der Differentialrechnung gibt es einen Wert derart, daß = 0 wird. In der Regel ist

19 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/19 Näherung von Differentialen durch Differenzen -3 B)Berechnung von Aus der Summe von y i+1 und y i-1 folgt: Spezialfall

20 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/20 Näherungen höherer Ordnung -1 Näherungen höherer Ordnung an Differentiale erhält man mit Hilfe der Lagrange-Interpolation. Es gilt Daher für n = 2 ist und entsprechend

21 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/21 Näherungen höherer Ordnung -2 Daraus kann man Ableitungen an den Punkten x 2, x 1 und x 2 bestimmen. (Es gilt x 1 - x 0 = x x 2 - x 0 = 2 x). Die Fehlerordnung ist 0 ( x 2 ), wobei der Fehler der zentralen Ableitung etwa halb so groß wie der bei Vorwärts- bzw. Rückwärtsableitung ist.

22 Universität Stuttgart Wissensverarbeitung und Numerik I nstitut für K ernenergetik und E nergiesysteme Numerik partieller Differentialgleichungen, SS 01Teil 1: Kp. 11/22 Ist Ausgang der Näherung eine Diskretisierung der abhängigen Variablen, so gilt und für die Ableitungen Die Qualität dieser Näherung hängt jetzt stark von der Art der Anpassung von und y, also von der Art der Wichtung und der Basisfunktionen, ab. Es ist auch möglich, den a i die Bedeutung von Ableitungen zu geben (siehe Taylorreihen). Bildung von Differentialen bei Funktionsentwicklungen


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