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Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt. Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem.

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Präsentation zum Thema: "Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt. Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem."—  Präsentation transkript:

1 Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n mal und zähle die Häufigkeit k, mit der dabei „Kopf“ oben liegt. Diskrete Verteilung, die mit zunehmendem n normal wird n = 4 n = 8n = 32

2 Die Binomialverteilung Man wiederhole ein Zufallsexperiment n mal und bestimme die Häufigkeit k, mit der ein bestimmtes Ereignis E eintritt. Multiplikationssatz der WKn für unabhängige Versuche & Additionssatz auf die disjunkten Folgen anwenden! Es sei: Bei n Wiederholungen kann das Ereignis „k-mal E“ auf genau Weisen eintreten. Da sich die einzelnen n über k Folgen gegenseitig ausschliessen, folgt mit dem Additionssatz: [Tafel-Entwicklung]

3 Die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Die Wahrscheinlichkeit, daß höchstens k mal E auftritt, ist: Die Wahrscheinlichkeit, daß mindestens k+1 mal E auftritt, ist:

4 Wahrscheinlichkeitsfunktion Binomialverteilung: Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit den Parametern p und n. Definition: definiert die Wahrscheinlichkeitsfunktion, oder Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Binomialverteilung. Sie tritt auf bei der Betrachtung der Anzahl der Erfolge einer Folge von unabhängi- gen Versuchen (Bernoulli-Folge), wobei p die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem Versuch ist und q = 1- p gilt. n ist die Anzahl der Wiederholungen des Ver- suchs. p und n sind die beiden Parameter der Binomialverteilung

5 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion: Kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichte- funktion bis zu einer Grenze x. Definition: definiert die Verteilungsfunktion der Binomialverteilung. Allgemein: Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. Sie gibt die Wahrscheinlichkeit für Erfolge bis zu einer oberen Schranke x an.

6 Verteilungsfunktion für diskrete Variable Mit der Verteilungsfunktion kann man die Wahrscheinlichkeit für beliebige Intervalle der Zufallsvariable bestimmen. Es gilt für diskrete Zufallsvariablen: Allgemeine Eigenschaften sind:

7 Die Poissonverteilung Sind einzelne Ereignisse selten, so kann die Wahrscheinlichkeit statt mit der Binomialverteilung über die Poissonverteilung ausgedrückt werden. Die Poissonverteilung ist eine einfache Alternative zur Binomialverteilung für Seltene Ereignisse. Gilt: So approximiert die Possonverteilung die Binomialverteilung gut. Die poissonverteilung hat nur den Parameter l, der sowohl Mittelwert wie Varianz beschreibt. Wahrscheinlichkeitsfunktion:

8 Vergleich: Binomial - Poisson Fast exakte Übereinstimmung beider Verteilungen. Für

9 Die Normalverteilung Die Normalverteilung (Gauss‘sche Glockenkurve) ist eine symmetrische Verteilung. Ihre Form ist durch die Standardabweichung und den Mittelwert eindeutig festgelegt. Sie resultiert aus dem Modell unabhängiger sich überlagernder Zufallsfehler („Galton-Brett“) [Tafelbeispiel Galton, Binomial] x f (x)

10 Die Normalverteilung Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (Fläche unter der Normalkurve) kann man nicht auf eine geschlossene Form bringen. Sie ist aber für standardisierte Variablen (z-Standardisierung) austabelliert und elektronisch implementiert (z.B. in Excel) x F(x)F(x)

11 Die Normalverteilung Die Fläche unter der Kurve ist bei der Normalverteilung eine Funktion der Standardabweichung (in Einheiten von s angebbar) [Tabellenbenutzung, Excel, Aufgabenbeispiel zu IQ‘s]

12 z - Standardisierung Wahrscheinlichkeitsdichte z - Standardisierung zur Überführung in Standardnormalverteilung Wahrscheinlichkeitsdichte -3z-2z-1z01z2z3z f (z) z

13 Wahrscheinlichkeitsbestimmung  Benutze austabellierte Standardnormalverteilung Verteilungsfunktion (Fläche der Dichtefunktion) Eigenschaften zbzb zaza

14 Approximation der Binomialverteilung Die Binomialverteilung hat ebenfalls Mittelwert und Varianz: Giltso kann die Binomialverteilung durch die Normalverteilung approximiert werden. Dann gilt [Beispiele]

15 Fehler 1. und 2. Art In der Population gilt Hypothesenwahrscheinlichkeiten : bedingte WKn Correct Rejection Miss (Fehler 2. Art) False Alarm (Fehler 1. Art) Hit H0H0 H1H1 H0H0 H1H1 Entscheidung für

16 Mittelwerteabstand aus WK Tatsächlich gilt Wie groß ist der Mittelwerteabstand der Likelihoodfunktionen ? H0H0 H1H1 H0H0 H1H1 Entscheidung für Man klassifiziere man nach „Distraktor“ (H0) und „Target“ (H1) 11

17 Mittelwerteabstand z - Berechnung für jede einzelne Verteilung H0 – Verteilung: p = 0.59 z 0 = F -1 {0.59} = 0.23 Correct Rejection H1 – Verteilung: p = 0.59 z 1 = F -1 {0.077} = Miss p = 0.077

18 Abstand in z- Standardisierung Annahme: beide Likelihoodfunktionen haben dieselbe Varianz Nun betrachte im z 1 Wert den Abstand des Kriteriums k in Bezug auf  0 : Es gilt: Ferner: (standardisierter Abstand)


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