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Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1 zu 2.2.2 Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen  Risikofaktoren bestimmen auf lineare.

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1 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS zu Varianz-Kovarianz-Ansatz mit Renditen  Risikofaktoren bestimmen auf lineare Weise den Marktpreis eines Portfolios: Delta-Normal-Methode  Annahme unproblematisch bei originären Finanzprodukten  Annahme problematisch bei einigen derivativen Finanzprodukten  z.B. Aktienoptionen Änderung des Optionswertes abhängig von der Höhe des Kurses des Underlying  nicht-linearer Fall: Delta-Gamma-Methode  Taylor-Reihe: Wertänderung  V in Umgebung von S 0 durch Ableitung von V nach S in S 0

2 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Taylor-Approximation: Option (  c = Delta der Option)  Berechnung des VaR  Wertänderung der Optionsposition entspricht ungefähr der Wertänderung einer Position aus  c Einheiten des Underlying  Option  Position aus  c Aktien = Deltaäquivalent Ä  - Anteilsvektor der Deltaäquivalente ä  T = (ä  1, ä  2,..., ä  N ) mit - - 

3 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Portfolio aus 2 Positionen: europäische Calls auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und einem Zins von 5% p.a.. Der Wert einer dieser Optionen beträgt 2,53 DM. Die Option hat ein Delta von 0, Shortposition mit 330 Einheiten des Underlyings. Die Rendite des Underlyings hat einen Erwartungswert von  r = 0 und eine Standardabweichung von  r = 1,5%. Betrachtet wird ein Konfidenzniveau von 97,5 %.

4 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Exponentielles Glätten  Verfahren zur Prognose aus Zeitreihen  Annahme: zeitlich jüngere Werte einer Zeitreihe geben mehr Information über die Zukunft als die zeitlich älteren Werte  Stärkere Gewichtung der jüngeren Werte  Mittelwerte, Volatilitäten und Korrelationen schwanken im Zeitablauf!    Elemente der geglätteten Zeitreihe  t * (Summe der Gewichtungen = 1, wenn obere Summationsgrenze  )

5 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  theoretische Anforderung: unendlich viele Beobachtungen!!  Rekursionsformel: jedes Zeitreihenglied kann aus dem letzten exponentiell geglät- teten Wert korrigiert um einen Anteil des „Fehlers“ der letzten Periode gebildet werden  Bestimmung des nächsten geglätteten Wertes basiert nur auf letztem geglättetem Wert und der neuesten Beobachtung !

6 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Varianz der glätteten Zeitreihe  bei Liquidationsdauer von 1 Tag  sehr klein   Volatilität als Volatilität der Vorperiode korrigiert um einen Anteil des „Fehlers“

7 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Wechselkurs DEM/FRF Als Parameter wird die tägliche Rendite aus dem Halten der Währung definiert. Das Beispiel stammt aus einer Zeit, in der das Europäische Währungssystem unter Spannungen stand. Die Tabelle zeigt den Kurs des FRF gegenüber der DEM, die tägliche Rendite, die Schätzung einer empirischen Standardabweichung der letzten 90 Tage und die Schätzung durch exponentielles Glätten mit = 0,03.

8 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Vorteile  bessere Reaktion auf Änderungen der Volatilität als empirische Standardabweichungen  Bei Extremwerten (Schock) : Exponentielle Glättung: Vola-Schätzung steigt schnell an und fällt langsam ab Empirische Standardabweichung: Vola-Schätzung steigt langsam an und fällt schnell ab

9 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Korrelationsschätzung (bei Mittelwert von 0)  Schocks werden zeitnaher abgebildet.  aber auch exponentielle Glättung bildet Leptokurtosis der (Rendite-)Verteilungen und Volatility Clustering nicht ab

10 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS ARCH und GARCH Modelle  an Finanzmärkten häufig beobachtete zeitliche Häufung von starken oder geringen Kursveränderungen bedingt autoregressives Verhalten der Volatilität (des Underlyings)  z.B. auf einen großen Kursanstieg folgt tendenziell wieder eine große Kursveränderung mit nicht prognostizierbarem Vorzeichen  ARCH (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) bzw. GARCH (Generalized ARCH) :  Heteroskedastizität - zeitvariable Varianzen  Autoregression - Annahme, daß Volatilität abhängig von den Kursschwankungen der Vergangenheit  leptokurtische Verteilung - „fatter tails“ und stärkere Wölbung als Normalverteilung  empirische Verteilung wird treffender approximiert ?!

11 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Implizite Volatilitäten  Schätzung der Volatilität = Problem!  Schätzung von Volatilitäten bei Preisfindung von Optionen (Preisfindungsformel von Black&Scholes)  bei effizienten Märkten: alle Parameter und Optionspreis sind beobachtbar Nachteile:  Implizite Volas nur für Produkte, auf die Optionen an Börsen gehandelt werden  bei komplizierteren Optionen ist implizite Vola abhängig von zugrunde gelegtem Optionspreismodell...  Schluß von Optionspreis auf zugrundeliegende Voaltilitäts- schätzung = implizite Volatilität

12 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Historische Simulation  Neubewertung des Portefolios anhand von historischen Veränderungen der Marktfaktoren über einen bestimmten Zeitraum  Ergebnis  Wahrscheinlichkeitsverteilung, für die das  -Quantil als Value at Risk bestimmt werden kann Vorgehensweise  Festlegung der Prämissen  Ermittlung aller relevanten Marktparameter für jeden Zeitpunkt der ausgewählten Vergangenheitsperiode  Bewertung des Portfolios pro Stichtag  Berechnung des VaR  Keine Annahme über Verteilung nötig, da Veränderungen der Marktparameter aus historischen Daten gewonnen !

13 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Festlegung der Prämissen Identifikation der relevanten Marktparameter Bewertungsfunktionen für Finanztitel des Portfolios  auf der Basis beobachteter Realisationen  Erfassung der Marktparameter für jeden Zeitpunkt  auf der Basis absoluter oder relativer Änderungen über die Haltedauer (mit m = 1,…, M; b = 0,1,…, B-1)

14 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Vektor der Beobachtungen zu einem Stichtag  alle Beobachtungsvektoren zusammen  Bewertung des Portfolios  Vektor der Portfoliowerte auf der Basis der Beobachtungs- werte zu den ausgewählten Stichtagen

15 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Berechnung des Value at Risk  Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert  Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert  empirische Häufigkeitsverteilung  Berechnung des VaR durch Quantilsbildung bei 5%-Quantil und einem Beobachtungszeitraum von 100 Tagen entspricht der fünftniedrigste Wert dem VaR

16 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  keine Verteilungsannahme der Marktparameter (Schiefe +/o. Leptokurtosis wird berücksichtigt)  universell einsetzbar: Einbeziehung von Derivaten und allen entscheidenden Parametern relativ unproblematisch Vor-/Nachteile  sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des Portfolios  bei jeder Änderung des Portfolios muß der Wert des Portfolios für alle Stichtage neu berechnet werden

17 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Monte Carlo-Simulation  Neubewertung des Portefolios anhand von Zufallszahlen Vorgehensweise  Festlegung der Prämissen  Bestimmung der hypothetischen Verteilung für die Marktparameter  (Wiederholte) Simulation der Marktparameter durch Zufallszahlen  (Wiederholte) Bewertung des Portfolios für die verschiedenen Simulationen  Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus  Zufallszahlen = Realisierungen von Zufallsvariablen, die einer vorgegebenen Verteilung genügen müssen

18 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Verteilungsannahmen der Parameter hypothetische Verteilung basiert in der Regel auf - Vergangenheitsinformationen über Varianzen und Kovarianzen - subjektiver Schätzung  unabhängige Verteilungsannahme für jeden Marktparameter vs. multivariate Verteilung der Faktoren Europäische Call-Option Call auf ein Underlying mit derzeitigem Kurs von 30 DM, einem Strikepreis von 29 DM, einer impliziten Volatilität von 25% p.a., einer Restlaufzeit von 4 Monaten und einem Zins von 5% p.a.. Der Wert dieser Optionen beträgt 2,53 DM. K, t, r RF fix, lediglich die Entwicklung von S und  ist risikobehaftet. Haltedauer = 1 Tag, Konfidenzniveau von 97,5 %.

19 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Verteilungsannahmen für S und  : S: absolute Werte der Veränderung der Werte von S sind normalverteilt, Schätzung   = 0 und  = 0,10 Volatilität  : subjektive Schätzung der Verteilung

20 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Simulation der Marktparameter - Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen - Güte der Pseudozufallszahlengeneratoren - Transformation in anders verteilte Zufallszahlen Erzeugung (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen  Zufallszahlengeneratoren:  echte Zufallszahlen erzeugt durch das Werfen eines Würfels, Lottoziehungsgeräte, Roulettespiel etc.  nur geeignet für kleine Stichprobenumfänge  Pseudozufallszahlen erzeugt mit der Hilfe mathematischer Bildungsvorschriften  Produktion möglichst vieler verschiedener Zufallszahlen aus einem Startwert mit Hilfe einer Rekursionsformel  Problem: Zyklen, Entartungen

21 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Mid-Square-Methode Algorithmus:  Quadrierung eines n-stelligen Startwertes  neuer Wert mit maximal 2  n Stellen (bei weniger als 2  n Stellen Ergänzung mit führenden Nullen)  mittlere n Stellen = Nachkommastellen der neuen Zufallszahl n = 4 x 1 = 5643  x 1 2 =  x neu,1 = 0,8439 x 2 = 8434  x 1 2 =  x neu,2 = 0,1323 x 3 = 1323  x 1 2 =  x neu,3 = 0,  Problem: häufig zu kurze Periodenlängen und Nullfolgen Startwert: 1600, 5600, 3600, 9600, 1600 Startwert: nach 6 Rekursionen Nullfolge

22 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Kongruenzverfahren (Lehmergeneratoren) rekursive Bildungsgesetz: a = 21, x 0 = 7, c = 3, m= 17 x 1 = (21  7+3) mod 17 = 150 mod 17 = 14  z 1 = 0,  n mod m: Rest, der entsteht, wenn n durch m dividiert wird  neue Zufallszahl ergibt sich als Rest der Division durch die Konstante m  weitere Division durch m ergibt (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen x 2 = (21  14+3) mod 17 = 297 mod 17 = 8  z 2 = 0,  maximale Periodenlänge von 4

23 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Güte der Pseudozufallszahlen  Algorithmus muß schnell arbeiten und wenig Speicherplatz benötigen  Folge der Zufallszahlen muß bei gleicher Startbedingung reproduzierbar sein  Zufallszahlen müssen der Gleichverteilung im Intervall [0, 1] genügen  erzeugte Zufallszahlen müssen voneinander unabhängig sein  aufgrund der Begrenztheit der Zufallszahlen können nicht alle Werte angenommen werden, aber alle Bereiche der Verteilung sollten gleich dicht besetzt sein (große Periode!)  statistische Tests (  2 -Anpassungstest, Kolmogorov-Smirnov- Anpassungstest etc.)

24 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Transformation (0,1)-gleichverteilter Zufallszahlen in anders verteilte Zufallszahlen Erzeugung von beliebig verteilten Zufallszahlen durch 1. Erzeugung von (0, 1)-gleichverteilten Zufallszahlen 2. Transformation in die gewünschte Verteilung durch Anwendung der Umkehrfunktion dieser Verteilung auf die Zufallszahlen aus 1.  F sei die monotone Verteilungsfunktion der zu erzeugenden Zahlen, d.h. F besitzt eine Umkehrfunktion  Transformation erfolgt durch Inversion:

25 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  bei sehr kleinem Stichprobenumfang oder bei unzureichender Güte der (0,1)-gleichverteilten, generierten Zufallszahlen evtl. „Klumpenbildung“  Teilung des Wertebereichs [0, 1] der Verteilungsfunktion in gleich große Intervalle  per Zufall Auswahl eines Intervalls, aus dem zufällig eine Probe entnommen wird  Wiederholung des Vorgangs so lange, bis aus jedem Intervall ein Zufallswert vorliegt  Latin-Hypercube-Methode bei gleicher Anzahl von Stichproben bessere Annäherung an die gewünschte Verteilung: Schichtung der Verteilungen der gleichverteilten Zufallszahlen

26 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  „ Probenerhebung ohne Rückstellung“ gleichmäßigere Verteilung der Zufallszahlen auf das Intervall [0,1], weniger Lücken, Erhöhung der Güte

27 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Zusammenfassung der Vektoren in Szenario-Matrix, z.B.  Bewertung des Portfolios  Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen

28 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)  Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert  Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert  empirische Häufigkeitsverteilung  Berechnung des VaR durch Quantilsbildung (aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen Simulation)


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