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Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS 2002 1 2.5.2 Multivariate Monte Carlo-Simulation  in der Realität besteht zwischen der.

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1 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Multivariate Monte Carlo-Simulation  in der Realität besteht zwischen der zeitlichen Entwicklung der verschiedenen Risikofaktoren ein Zusammenhang  Berücksichtigung derartiger Abhängigkeiten durch die jeweilige Korrelation zwischen den Risikofaktoren Vorgehensweise  Festlegung der Prämissen  Simulation der Marktparameter durch (0,1)-gleichverteilte Zufallszahlen  Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S  Transformation der Zufallszahlen gemäß der zugrunde gelegten hypothetischen Verteilung der Marktparameter  Bewertung des Portfolios für die verschiedenen Simulationen  Berechnung des VaR unter Berücksichtigung des Konfidenzniveaus

2 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Ableitung der korrelierten Zufallszahlen S  gegeben: positiv semidefinite Varianz-Kovarianz-Matrix !!  Cholesky-Faktorisierung: Ableitung einer oberen Dreiecksmatrix A für die (M  M)-Kovarianz- Matrix , für die gilt:  Für einen Vektor mit M normalverteilten, unabhängigen Zufallsvariablen z‘= (z 1, z 2,...,z M ) erhält man einen Vektor s‘= (s 1, s 2,...,s M ) mit korrelierten Zufallsvariablen bezüglich der Kovarianzmatrix  durch s = A  z (2  2)-Kovarianz-Matrix  (  bezeichnet die Kovarianz zwischen den Zufallszahlen z 1 und z 2 )

3 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Sukzessive Ableitung der Matrix A:  korrelierte Zufallszahlen

4 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Ermittlung der Matrix A für eine (M  M)-Kovarianz-Matrix  :  rekursive Bestimmung der Diagonalelemente  Bestimmung der Elemente der 1. Zeile  Bestimmung der Elemente rechts von der Diagonalen

5 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Marktparameter (Zufallsvariablen) sind gemeinsam normalverteilt mit  Generierung von Zufallszahlen für jeden Marktparameter:  1-Vektoren mit unabhängigen, gleichverteilten Zufallszahlen, z.B. Z’ = (0,46; 0,60; 0,45)  Bestimmung des zugehörigen Vektors S der korrelierten Zufallszahlen

6 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Zusammenfassung der Vektoren in Simulations-Matrix, die Korrelationen zwischen Daten  Bewertung des Portfolios  Vektor der möglichen Portfoliowerte auf der Basis der Zufallszahlen der ausgewählten D Durchführungen  Anpassung der Zufallszahlen gemäß der Verteilungsannahme (evtl. Berücksichtigung des Drifts) und der Bewertungsfunktion

7 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Berechnung des Value at Risk (vgl. Historische Simulation)  Tägliche Gewinne und Verluste als Differenz zwischen dem mit den veränderten Marktparametern bewerteten Portfoliowert und dem auf der Basis der aktuellen Marktdaten ermittelten Portfoliowert  Anordnung der Werte entsprechend ihrem Wert  empirische Häufigkeitsverteilung  Berechnung des VaR durch Quantilsbildung (aufgrund der hohen Stichprobe ist simulierte Verteilung wesentlich robuster als Verteilung nach der historischen Simulation)

8 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  hohe Zahl der Simulationen macht Schätzung des VaR wesentlich robuster Vor-/Nachteile  Verteilungsannahme wird vorausgesetzt, allerdings nicht auf Normalverteilung beschränkt  sehr hoher Rechenaufwand durch häufige Neubewertung des Portfolios  Verteilungsannahme aber nur für Risikofaktoren, nicht für die simulierten Wertveränderungen des Portfolios  Nichtlinearitäten der einzelnen Positionen werden voll berücksichtigt

9 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS Vergleich der VaR-Methoden

10 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS

11 Mathematisch-Statistische Verfahren des Risikomanagements - SS  Varianz-Kovarianz-Ansatz basiert auf Normalverteilungsannahme  tatsächliche Verteilung weist i.d.R. eine höhere Kurtosis, insbesondere fat tails auf  Risiko wird tendenziell unterschätzt Vergleichende Bewertung des VaR  Historische Simulation verzichtet auf Normalverteilung  theoretisch das genaueste Risikomaß  höheres Risiko  Monte Carlo-Simulation erfaßt Optionsrisiken genauer  deswegen genauere Risikozahl, aber auch Normalverteilungsannahme  Risiko tendenziell auch zu niedrig


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