Meßreihe: Modellansatz

Präsentation zum Thema: "Meßreihe: Modellansatz"—  Präsentation transkript:

0 Geostatistik in der Geoinformation II
Kovarianzfunktionen & stochastische Prädiktion Referent: Jens Saatkamp Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Wolf-Dieter Schuh Boris Kargoll

1 Meßreihe: Modellansatz
Ort Meßwert l(Ort) Trend = Ax Signal + Rauschen =z+n l=Ax+z+n Meßwerte setzen sich zusammen aus: Trend: modellierbar mit determinis-tischem Modell (Andreas) stochastischem Signal Rauschen > zufällig Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

2 Bezug zur Geoinformation
Wo tritt so etwas in Geoinformations-systemen auf? Messungen / Ermittlungen von: Grundwasserständen Stoffkonzentrationen im Wasser geochemischen Variablen (Erzgehalte) topographischen Höhenmaßen Können über Ortskoordinaten räumlich eingeordnet werden. Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

3 GIS > stochastisches Signal
Beispiel: Geländemodell große Gebirge > angenähert durch Trend kleine „Hügel" werden hier nicht erfaßt „Hügel“ einfach als zufällig verteilt angenommen = stochastisches Signal grober Trend feinere Betrachtung Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

4 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Motivation Signal z(x) Problem: An einer Stelle fehlt eine Messung. Abhilfe: Wert dort rechnerisch vorhersagen = prädizieren! Bestimmen einer Funktion. Ort x Berechnen des Funktionswertes. Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

5 Stochastischer Ansatz
Meßwert annehmen als Realisierung einer Zufallsvariable, d.h. jeder Meßwert besitzt eine eigene Verteilungsfunktion Inwieweit sind die Meßwerte stochastisch voneinander abhängig = korreliert? Inwieweit hängt die Korrelation der Meßwerte vom Ort ab? Aufgabe: untersuchen des räumlichen Zusammenhangs Verteilungsfunktionen betrachten Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

6 Grundlagen: Momente von Zufallsvariablen
Erwartungswert: E {z(xi)}=mz Autokorrelation: rxixj=E {z(xi) * z(xj)} Erwartungswert des Produktes zweier Meßwerte aus einer Meßreihe Autokovarianz: Cov (xi, xj) = E {[z(xi) - mz} ] * [z(xj) - mz]} Erwartungswert des Produktes der Abweichungen zweier Meßwerte vom Mittelwert Sonderfall i=j: Varianz Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

7 Schwache Stationarität
die Meßreihe muß schwach stationär sein Mittelwert der Messungen unabhängig vom betrachteten Ort: mxi = const. Meßreihe schwankt um einen konstanten Wert hier: mxi = 0 Autokorrelation = Autokovarianz Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

8 Schwache Stationarität
Autokorrelation (hier =Autokovarianz) ist: nur abhängig vom Abstand zwischen den Meßstellen = relative Lage auf der x-Achse nicht abhängig von der absoluten Lage auf der x-Achse Cov (xi,xj) =Cov (|xj-xi|)=Cov(s) Definition: s= |xj-xi| Varianz ist endlich Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

9 Wie den Zusammenhang ermitteln?
Idee: Ermitteln einer Kovarianzfunktion Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

10 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Diagramm Berechnung der Kovarianzen für alle möglichen Meßwertkombinationen nur „Nachbarwerte“ betrachten! d.h. weglassen aller Kovarianzen von Punkten, deren Abstand auf der x-Achse z.B. mehr als 100 beträgt Auftragen im Diagramm in Abhängigkeit vom Abstand s der Meßstellen untereinander s > Abstand zi*zj > Kovarianz Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

11 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Klassenbildung s > Abstand zi*zj > Kovarianz Problem: keine Funktion erkennbar Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

12 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Mittelbildung s > Abstand zi*zj > Kovarianz Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen Bilden des Mittels in jeder Abstandsklasse für den Abstand 0 eigene Klasse bilden = Varianz Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

13 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
> Abstand zi*zj > Kovarianz Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen Bilden des Mittels in jeder Abstandsklasse empirische Kovarianz-funktion Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

14 Mathematische Kovarianzfunktionen
empirische Kovarianzfunktionen > diskrete Werte Wie erreicht man kontinuierliche Werte? mathematische Kovarianzfunktionen müssen positiv definit sein, d.h. positiv definite Kovarianzmatrizen erzeugen ermitteln z.B. mit einem Gauß-Markoff-Modell Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

15 Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen
Funktionen müssen positiv definit sein! Cov s Cov e-as e-as² s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

16 Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen
Weitere Ansätze: Sinc-Funktion Funktionen der Form cos(as), sin(as) beliebige Linearkombinationen, Produkte, Quotienten der hier genannten Funktionen Cov sinc(as)= as sin as s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

17 Merkmale von Kovarianzfunktionen
Amplitude maximale Kovarianz Cov s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

18 Merkmale von Kovarianzfunktionen
Amplitude maximale Kovarianz Krümmung im Ursprung Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten Cov s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

19 Merkmale von Kovarianzfunktionen
Amplitude maximale Kovarianz Krümmung im Ursprung Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten Halbwertsbreite Abstand, bis zu dem die Kovarianz auf die Hälfte zurückgeht Cov s Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

20 Beispiel 1 Meßreihe über 560km jeden Kilometer eine Messung
empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 80*e-4,4*10-3*s² Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

21 Beispiel 2 Meßreihe über 560km jeden Kilometer eine Messung
empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 50*e-1,2*10-3*s² Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

22 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Anwendung Wie kann die ermittelte Kovarianzfunktion zur Prädiktion genutzt werden? Kollokation Kolmogoroff-Wiener-Prädiktion Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

23 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Schätzfunktion Annahme: „wahre“ Funktion f(x) existiert für beliebige Orte x beschreibt das Signal Ansatz: schätzen von f(x) durch eine Funktion n: Anzahl der Meßwerte bekannt: z(xi) Meßwerte gesucht: li (x) Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

24 Kleinste Quadrate - Schätzung
Erwartungswert des quadratischen Schätzfehlers: eingesetzt: Minimumaufgabe: minimieren von e² in Abhängigkeit von den li: ermitteln der li Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

25 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Ergebnis Ergebnis: D sind Kovarianzmatrizen: linke Matrix (1xn): Kovarianzen von gemessenen Werten und dem Wert an der zu prädizierenden Stelle ist also für jedes x einzeln zu ermitteln Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

26 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Ergebnis Ergebnis: D sind Kovarianzmatrizen: rechte Matrix (nxn): Kovarianzen von Meßwerten kann direkt bestimmt werden, ohne daß bekannt ist, welche Werte zu prädizieren sind ist zu invertieren Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

27 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Ergebnis Ergebnis: z ist ein nx1 Vektor: enthält die Meßwerte im voraus bekannt Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

28 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Zusammenfassung Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

29 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Anleitung zum Rechnen den Trend eliminieren (> Andreas) Berechnung der empirischen Kovarianzfunktion Modellierung der empirischen durch eine positiv definite mathematische Kovarianzfunktion Berechnung der Matrix D(xj,xi) Berechnen von D(xj,xi)-1*z für einzelne zu prädizierende x: Berechnung von D(x,xj) Bestimmen des Funktionswertes der geschätzten Funktion: Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

30 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Beispiel 1 Meßwerte zwischen 300km und 330km prädizierte Werte jeweils um 0,5km versetzt Kovarianzen berechnet mit der Funktion: 80*e-4,4*10-3*s² Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

31 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
Bewertung Vorteile dieses Ansatzes: geschätzte Funktion ist harmonisch Funktion gilt für den gesamten Bereich: vermeidet Problem der Unstetigkeiten bei Splines und anderen stückweisen Funktionen Nachteil: Funktion enthält Inverse einer nxn Matrix: großer Rechenaufwand in der Geostatistik werden in der Regel andere Verfahren verwendet: Variogramme > Kriging Wird hier dasselbe nur mit einem anderen theoretischen Ansatz gemacht? Jeff Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion

32 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion
E N D E Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion