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Geostatistik in der Geoinformation II Kovarianzfunktionen & stochastische Prädiktion Referent: Jens Saatkamp Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Wolf-Dieter Schuh.

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1 Geostatistik in der Geoinformation II Kovarianzfunktionen & stochastische Prädiktion Referent: Jens Saatkamp Betreuer: Prof. Dr.-Ing. Wolf-Dieter Schuh Boris Kargoll

2 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 1 Meßreihe: Modellansatz Meßwerte setzen sich zusammen aus:  Trend: modellierbar mit determinis- tischem Modell (Andreas)  stochastischem Signal  Rauschen > zufällig Ort Meßwert l(Ort) Trend = Ax Signal + Rauschen =z+n l=Ax+z+n

3 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 2 Bezug zur Geoinformation Wo tritt so etwas in Geoinformations- systemen auf? Messungen / Ermittlungen von: Grundwasserständen Stoffkonzentrationen im Wasser geochemischen Variablen (Erzgehalte) topographischen Höhenmaßen Können über Ortskoordinaten räumlich eingeordnet werden.

4 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 3 GIS > stochastisches Signal Beispiel:Geländemodell große Gebirge > angenähert durch Trend kleine „Hügel" werden hier nicht erfaßt „Hügel“ einfach als zufällig verteilt angenommen = stochastisches Signal grober Trendfeinere Betrachtung

5 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 4 Motivation Problem: An einer Stelle fehlt eine Messung. Abhilfe: Wert dort rechnerisch vorhersagen = prädizieren! Bestimmen einer Funktion. Berechnen des Funktionswertes. Ort x Signal z(x)

6 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 5 Stochastischer Ansatz Meßwert annehmen als Realisierung einer Zufallsvariable, d.h. jeder Meßwert besitzt eine eigene Verteilungsfunktion Inwieweit sind die Meßwerte stochastisch voneinander abhängig = korreliert? Inwieweit hängt die Korrelation der Meßwerte vom Ort ab? Aufgabe:  untersuchen des räumlichen Zusammenhangs  Verteilungsfunktionen betrachten

7 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 6 Grundlagen: Momente von Zufallsvariablen Erwartungswert: E {z(x i )}=m z Autokorrelation: r x i x j =E {z(x i ) * z(x j )} Erwartungswert des Produktes zweier Meßwerte aus einer Meßreihe Autokovarianz: Cov (x i, x j ) = E {[z(x i ) - m z } ] * [z(x j ) - m z ]} Erwartungswert des Produktes der Abweichungen zweier Meßwerte vom Mittelwert Sonderfall i=j: Varianz

8 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 7 Schwache Stationarität die Meßreihe muß schwach stationär sein Mittelwert der Messungen unabhängig vom betrachteten Ort: m x i = const.  Meßreihe schwankt um einen konstanten Wert hier: m x i = 0  Autokorrelation = Autokovarianz

9 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 8 Schwache Stationarität Autokorrelation (hier =Autokovarianz) ist:  nur abhängig vom Abstand zwischen den Meßstellen = relative Lage auf der x-Achse  nicht abhängig von der absoluten Lage auf der x-Achse Cov (x i,x j ) =Cov (|x j -x i |)=Cov(s) Definition:s= |x j -x i | Varianz ist endlich

10 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 9 Wie den Zusammenhang ermitteln? Idee: Ermitteln einer Kovarianzfunktion

11 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 10 Diagramm Berechnung der Kovarianzen für alle möglichen Meßwertkombinationen  nur „Nachbarwerte“ betrachten! d.h. weglassen aller Kovarianzen von Punkten, deren Abstand auf der x-Achse z.B. mehr als 100 beträgt Auftragen im Diagramm in Abhängigkeit vom Abstand s der Meßstellen untereinander s > Abstand z i *z j > Kovarianz

12 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 11 Klassenbildung Problem: keine Funktion erkennbar Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen s > Abstand z i *z j > Kovarianz

13 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 12 Mittelbildung Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen Bilden des Mittels in jeder Abstandsklasse für den Abstand 0 eigene Klasse bilden = Varianz s > Abstand z i *z j > Kovarianz

14 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 13 Funktion s > Abstand z i *z j > Kovarianz Lösung: Abstandsintervalle = Abstandsklassen Bilden des Mittels in jeder Abstandsklasse  empirische Kovarianz- funktion

15 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 14 Mathematische Kovarianzfunktionen empirische Kovarianzfunktionen > diskrete Werte Wie erreicht man kontinuierliche Werte? mathematische Kovarianzfunktionen  müssen positiv definit sein, d.h. positiv definite Kovarianzmatrizen erzeugen ermitteln z.B. mit einem Gauß- Markoff-Modell

16 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 15 Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen Funktionen müssen positiv definit sein! s Cov s e-ase-as e-as²e-as²

17 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 16 Ansätze für mathematische Kovarianzfunktionen Weitere Ansätze: s Cov sinc(as)= asas sin as Sinc-Funktion Funktionen der Form cos(as), sin(as) beliebige Linearkombinationen, Produkte, Quotienten der hier genannten Funktionen

18 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 17 Merkmale von Kovarianzfunktionen s Cov Amplitude  maximale Kovarianz

19 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 18 Merkmale von Kovarianzfunktionen Amplitude  maximale Kovarianz Krümmung im Ursprung  Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten s Cov

20 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 19 Merkmale von Kovarianzfunktionen Amplitude  maximale Kovarianz Krümmung im Ursprung  Veränderung bei unmittelbar benachbarten Meßwerten Halbwertsbreite  Abstand, bis zu dem die Kovarianz auf die Hälfte zurückgeht Cov s

21 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 20 Beispiel 1 empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 80*e -4,4*10 -3 *s² Meßreihe über 560km jeden Kilometer eine Messung

22 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 21 Beispiel 2 empirische Kovarianzfunktion mathematische Kovarianzfunktion 50*e -1,2*10 -3 *s² Meßreihe über 560km jeden Kilometer eine Messung

23 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 22 Anwendung Wie kann die ermittelte Kovarianzfunktion zur Prädiktion genutzt werden?  Kollokation  Kolmogoroff-Wiener- Prädiktion

24 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 23 Schätzfunktion Annahme: „wahre“ Funktion f(x) existiert für beliebige Orte x  beschreibt das Signal Ansatz: schätzen von f(x) durch eine Funktion n: Anzahl der Meßwerte bekannt:z(x i )Meßwerte gesucht: i (x)

25 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 24 Kleinste Quadrate - Schätzung Minimumaufgabe: minimieren von  ² in Abhängigkeit von den i : eingesetzt: Erwartungswert des quadratischen Schätzfehlers:  ermitteln der i

26 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 25 Ergebnis Ergebnis: D sind Kovarianzmatrizen: linke Matrix (1xn): Kovarianzen von gemessenen Werten und dem Wert an der zu prädizierenden Stelle  ist also für jedes x einzeln zu ermitteln

27 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 26 Ergebnis Ergebnis: D sind Kovarianzmatrizen: rechte Matrix (nxn):Kovarianzen von Meßwerten  kann direkt bestimmt werden, ohne daß bekannt ist, welche Werte zu prädizieren sind ist zu invertieren

28 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 27 Ergebnis Ergebnis: z ist ein nx1 Vektor: enthält die Meßwerte im voraus bekannt

29 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 28 Zusammenfassung

30 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 29 Anleitung zum Rechnen 1.den Trend eliminieren (> Andreas) 2.Berechnung der empirischen Kovarianzfunktion 3.Modellierung der empirischen durch eine positiv definite mathematische Kovarianzfunktion 4.Berechnung der Matrix D(x j,x i ) 5.Berechnen von D(x j,x i ) -1 *z 6.für einzelne zu prädizierende x: Berechnung von D(x,x j ) 7.Bestimmen des Funktionswertes der geschätzten Funktion:

31 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 30 Beispiel 1 Meßwerte zwischen 300km und 330km prädizierte Werte jeweils um 0,5km versetzt Kovarianzen berechnet mit der Funktion: 80*e -4,4*10 -3 *s²

32 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 31 Bewertung Vorteile dieses Ansatzes:  geschätzte Funktion ist harmonisch  Funktion gilt für den gesamten Bereich: vermeidet Problem der Unstetigkeiten bei Splines und anderen stückweisen Funktionen Nachteil:  Funktion enthält Inverse einer nxn Matrix: großer Rechenaufwand in der Geostatistik werden in der Regel andere Verfahren verwendet: Variogramme > Kriging Wird hier dasselbe nur mit einem anderen theoretischen Ansatz gemacht?  Jeff

33 Kovarianzfunktionen und stochast. Prädiktion 32 E N D E


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