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Sekante - Tangente P(x 0 /f(x 0 ) Q(x 0 +Δx/f(x 0 + Δx)) Sekante Tangente.

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Präsentation zum Thema: "Sekante - Tangente P(x 0 /f(x 0 ) Q(x 0 +Δx/f(x 0 + Δx)) Sekante Tangente."—  Präsentation transkript:

1 Sekante - Tangente P(x 0 /f(x 0 ) Q(x 0 +Δx/f(x 0 + Δx)) Sekante Tangente

2 ΔxΔx ΔyΔy ΔxΔx ΔxΔx P Q Q wandert gegen P Sekante wird zur Tangente

3 ΔxΔx ΔyΔy P Q Steigungsdreieck

4 ΔxΔx ΔyΔy P Q

5 ΔxΔx ΔyΔy P Q

6 Δx geht gegen Null!!! ??? Tangentensteigung ΔxΔx ΔyΔy ΔxΔx ΔyΔy P ΔxΔx ΔyΔy

7 P(x 0 /f(x 0 )) Q(x 0 +Δx/ f(x 0 + Δx)) Sekante Tangente f(x 0 + Δx) f(x 0 ) ΔxΔx x0x0

8 P(x 0 /f(x 0 )) Q(x 0 +Δx/ f(x 0 + Δx)) Sekante Tangente f(x 0 + Δx) f(x 0 ) ΔxΔx x0x0

9 Einführung der Differentialrechnung von G.W. Leibniz Trick: Δx ist nicht gleich Null Δx geht gegen Null!!! So wird vermieden, dass der Nenner des Bruches Δy/Δx Null wird. Berechnung der Tangentensteigung G.W. Leibniz

10 Einführung der Differentialrechnung von Isaac Newton Entwickelt die Differentialrechnung ausgehend vom Problem der Momentangeschwindigkeit Gleichförmige Bewegung: v = s/t = konstant Ungleichförmige Bewegung: Durchschnittliche Geschwindigkeit I. Newton „Differenzenquotient“

11 Anstieg der Tangente = Momentangeschwindigkeit Zeit t Weg s ΔtΔt ΔsΔs Anstieg der Sekante: Durchschnittsgeschwindigkeit Anstieg der Tangente= Momentangeschwindigkeit:

12 Definition der Momentangeschwindigkeit Die Funktion f: R→R, s=f(t) beschreibt die Abhängigkeit des Weges von der Zeit t. Der folgende Grenzwert ergibt die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t 0 :

13 t0t0 t0+Δtt0+Δt f(t 0 ) f(t 0 +Δt) Zeit t Weg s ΔtΔt ΔsΔs 0← Δt

14 Kurvendiskussion Spezielle Punkte der Kurve sind Nullstellen: y = 0 Schnittpunkte mit der x-Achse Extremstellen: Lokale Maxima und Minima Wendepunkte

15 Lokales Maximum Monoton steigendMonoton fallend Tangentensteigung positiv Tangentensteigung negativ Tangentensteigung Null Tangentensteigung nimmt ab y‘=0 y‘‘<0

16 Lokales Minimum Tangentensteigung Null Tangentensteigung Negativ Monoton fallend Tangentensteigung Positiv Monoton steigend Tangentensteigung nimmt zu y‘=0 y‘‘>0

17 Wendepunkt Tangentensteigung nimmt ab Tangentensteigung nimmt zu y‘‘<0 y‘‘>0 Rechtskurve Linkskurve y‘‘=0 Positive Krümmung Negative Krümmung Weil sich im Bereich von W die Krümmung (y‘‘) ändert, ist y‘‘‘≠ 0


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