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Plenum – Krümmung und Wendepunkte Johannes-Kepler- Gymnasium Wendepunkte.

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Präsentation zum Thema: "Plenum – Krümmung und Wendepunkte Johannes-Kepler- Gymnasium Wendepunkte."—  Präsentation transkript:

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2 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Johannes-Kepler- Gymnasium Wendepunkte

3 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Lernangebot 1.Weitere markante Punkte? Wendepunkte. 2.Das Krümmungsverhalten eines Graphen.

4 Plenum – Krümmung und Wendepunkte f(x)= -2/3x 3 +10x²+22x –20 Wie finden wir Hoch-/Tiefpunkte? f(x)= -4x+20 f(x 0 ) > 0 TP f(x)= -2x²+20x+22 Notwendige Bedingung: f(x 0 ) = 0 Hinreichende Bedingung: f(x) = 0 Hinreichende Bedingung: f(x) = 0 VZW der ersten Ableitung -/+ TP +/- HP f(x)= -4x+20 f(x 0 ) < 0 HP oder

5 Plenum – Krümmung und Wendepunkte f(x) = 1/20(x 4 + 3x³- 10x²- 24x) notwendige Bedingung: f(x 0 ) = 0 1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24) = 0 mögliche Extremstellen bei: x = -3,2237; x = -0,9617; x = 1,9354 f(x) = 1/20(4x³ + 9x²- 20x - 24) f(x) = 1/20(12x² + 18x – 20) hinreichende Bedingung: f(x) = 0 und f(x) 0 f(-3,2237) = +2,33 > 0 Tiefpunkt f(-0,9617) = - 1,31 < 0 Hochpunkt f(1,9354) = +2,99 > 0 Tiefpunkt

6 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Mit Derive

7 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Anwendungsaufgabe: Kurvenlage Kurvenlage Die beste Linie, längs der ein Rennfahrer sein Motorrad durch einen Rennkurs steuern kann, heißt Ideallinie. An welchen Stellen muss ein Rennfahrer seine Kurvenlage wechseln, wenn die Ideallinie durch f(x)= –0,05x 4 + 1,2x² + 2 beschrieben wird (–5 x 5) ?

8 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Krümmung Die Stellen mit minimaler/maximaler Steigung heißen Wendestellen, denn dort wendet man beim Entlangfahren auf der Kurve den Lenker um: Übergang von Rechtskrümmung in Linkskrümmung oder umgekehrt. Perspektivwechsel Hoch- und Tiefpunkte Wendepunkte

9 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Links- und Rechtskrümmumg Vorzeichen von f ist negativVorzeichen von f ist positiv Rechtskrümmung: Steigung (also f) nimmt ab Linkskrümmung: Steigung (also f) nimmt zu

10 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Wendepunkte Wendepunkt Wendestelle Die Lage der Wendepunkte gibt Auskunft über den Verlauf des Graphen, da diese Punkte Bereiche entgegengesetzter Krümmung voneinander trennen.

11 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Alle Ableitungen Wie finden wir Wendestellen? Also wenn: f(x) = 0 und VZW der zweiten Ableitung f(x)=0 und f(x) Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht. oder f(x)

12 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Alle Ableitungen Wo ist die Geschwindigkeit am höchsten? f(x)=0 und VZW der zweiten Ableitung f(x)=0 und f(x) 0 Maximale Geschwindigkeit wird an der Maximumstelle der ersten Ableitung erreicht. oder f(x)= –0,05x 4 + 1,2x² + 2 f(x)= -0,2x³ + 2,4x f(x)= -0,6x² + 2,4 f(x) = -1,2x

13 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Zusammenfassung Bei der Frage nach den Wendepunkten hat sich alles um eine Ableitung verschoben: Man betrachtet f(x) statt f(x), f(x) statt f(x) und VZW der zweiten Ableitung statt VZW der ersten Ableitung. Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: f(x w ) = 0 Hinreichende Bedingung Nr. 1: f(x w ) = 0 VZW von f Hinreichende Bedingung Nr. 2: f(xw) = 0 f(xw) 0

14 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Beispielaufgabe Strecke in m t in sec Zu welchem Zeitpunkt ist das Tempo des Läufers maximal? s(t)=0,0056t 4 – 0,2t 3 + 2,4t 2 Weg-Zeit-Diagramm für einen 100m-Sprinter.

15 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Lösung Notwendige Bedingung für mögliche Wendestellen: s(t)= 0 0,0672t²-1,2t + 4,8 = 0 Ergebnis: t 1 6,049 t 2 11,808 sind die möglichen Wendestellen s(11,808) = 0, > 0 also min. Geschwindigkeit für t 2 = 11,808s (relatives Minimum der Geschwindigkeit) Genauere Prüfung mit der hinreichenden Bedingung: s(t)=0 s(t)0 s(6,049) = -0, < 0 also max. Geschwindigkeit für t 1 = 6,049s (relatives Maximum der Geschwindigkeit) s(t)=0,0056t 4 – 0,2t 3 + 2,4t 2

16 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Sattelpunkt Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente.

17 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Die Fragen 1.Wie finde ich Wendepunkte? 2.Wie finde ich heraus, ob ein Graph an einer Stelle eine Links- oder eine Rechtskrümmung besitzt? Die Fragen

18 Plenum – Krümmung und Wendepunkte Aufgaben Stunde12 BASICsLBS S. 148 Nr. 2a, b AB A2 LBS S.148 Nr. 4h, 5f TOPsAB A1, A3 LBS S. 148 Nr. 8a LBS S.148 Nr. 9 LBS S. 151 Nr. 10 LBS S. 148 Nr. 8b


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