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Dachbodenausbau by Michael Lameraner und Florian Kerschbaumer HLUW Yspertal, 3A, 2008.

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Präsentation zum Thema: "Dachbodenausbau by Michael Lameraner und Florian Kerschbaumer HLUW Yspertal, 3A, 2008."—  Präsentation transkript:

1 Dachbodenausbau by Michael Lameraner und Florian Kerschbaumer HLUW Yspertal, 3A, 2008

2 Aufgabenstellung Ein Dachboden mit einem Giebeldach hat den Querschnitt eines gleichschenk- ligen Dreiecks. Man möchte den Dach- boden ausbauen und einen Raum ohne schiefe Wände gewinnen, der möglichst groß sein soll. Wo müssen die Wände eingebaut sein?

3 Grundlagen Diese Aufgabe hat mit Extremwerten zu tun. Ehe wir in die Welt der Extremwerte eintauchen, erklären wir auf den nächsten Folien einige wichtige theoretische Grundlagen.

4 Was sind Extremwerte? Der lokal kleinste und der lokal größte Wert einer Funktion y heißt Extremwert Charakteristisch: an diesen Stellen befindet sich eine waagrechte Tangente Das heißt y = 0

5 Maximum und Minimum Erkennung Maximum: degressive Krümmung (y < 0), dh., der Anstieg nimmt von li nach re immer mehr ab. positiv 0 negativ Erkennung Minimum: progressive Krümmung (y > 0), d.h., der Anstieg nimmt laufend zu. negativ 0 positiv

6 Wie werden Extremwertaufgaben behandelt? Überlegung der Gegebenheit des gestellten Problems Bestimmung des Ziels: Welche Größe soll ein Extremwert sein? zB y Kommen mehrere Variablen vor, so sucht man einen Zusammenhang zwischen ihnen und y Die Funktion y bestimmen und differenzieren. y = 0…Extremwert

7 Was ist Differenzieren? Beim Differenzieren sucht man den Anstieg der Kurve in jedem beliebigen Punkt. Bei Potenzfunktionen kann dies sehr einfach mit der angegebenen Formel berechnet werden: y = x n y = n. x n-1

8 Nochmals die Aufgabe: Ein Dachboden mit einem Giebeldach hat den Querschnitt eines gleichschenk- ligen Dreiecks. Man möchte den Dach- boden ausbauen und einen Raum ohne schiefe Wände gewinnen, der möglichst groß sein soll. Wo müssen die Wände eingebaut sein?

9 Ansatz: c und h sind gegeben. Das Volumen des Dachbodenraums ist: V = x. z. a Maximum, x und z…Variable z c h x a

10 Strahlensatz Mit Hilfe des Strahlensatzes suchen wir den Zusammenhang der Variablen x und z c/2 : h = x/2 : (h-z) |. (h-z) c. (h-z)/2. h = x/2 |. 2 x = c. (h-z)/h c/2 z h x/2 h - z z c h x a

11 Nun können wir das Ergebnis in die Volumenformel einfügen.

12 zur Erinnerung: x = c. (h-z)/h V = x. z. a V = z. a. c. (h-z)/h wir multiplizieren z in die Klammer: V = a. (c/h). (zh-z²)

13 Jetzt wird differenziert und z berechnet: V (z) = a. ( c/h) (h-2z) = 0 2z = h z = h/2

14 Nun berechnen wir mit dem Ergebnis von vorhin, wie breit der Dachboden sein soll: x = c. (h-z)/h x = c. (h-h/2)/h x = c. h / (h. 2) x = c/2 z = h/2

15 Ergebnis Das größte Volumen wird erreicht, wenn man den Raum auf halber Höhe des Dach- bodens mit der halben Länge der Grund- linie baut. z c h/2 x h

16 Modell des Dachbodens 18 cm 9 cm Dachfläche Seite Dachboden vorne z c = 11 cm x h = 5,8 cm

17 Bilder des Modells Vorderseite Seitlicher Blick ins Haus

18 Berechnungen am Modell Für unser Modell haben wir folgende Ergebnisse: z = h/2 5,8/2 = 2,9 cm x = c/2 11/2 = 5,5 cm z = c = 11 cm x 5,5 cm 2,9 cm

19 V = x. z. a V = 5,5. 2,9. 18 V = 287,1 cm³ Das größtmögliche Volumen des Dachbodens bei unserem Modell beträgt 287,1 cm³.


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