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Wir suchen mit m = m c mod 26 d.h. wir suchen ein mit 1 mod 26 Ein solches heißt multiplikatives Inverses zu.

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1 Wir suchen mit m = m c mod 26 d.h. wir suchen ein mit 1 mod 26 Ein solches heißt multiplikatives Inverses zu.

2 Vielfache der einzelnen Zahlen modulo 26 Zahlen : 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 1... Vielfache der 2: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 0 2 4... Vielfache der 3: 0 3 6 9 12 15 18 21 24 1 4 7 10 13 16 19 22 25 2 5 8 11 14 17 20 23 0 3... Vielfache der 4: 0 4 8 12 16 20 24 2 6 10 14 18 22 0 4 8... Vielfache der 5: 0 5 10 15 20 25 4 9 14 19 24 3 8 13 18 23 2 7 12 17 22 1 6 11 16 21 0 5... Vielfache der 6: 0 6 12 18 24 4 10 16 22 2 8 14 20 0 6 12...... Vielfache der 13: 0 13 0 13 0 13... Vorüberlegung: Zu welchen findet man ein mit 1 mod 26 ?

3 Wir stellen fest: existiert zu und 26 sind mod 26 teilerfremd, d.h. ggT(, 26) = 1 Wie findet man jedoch ein solches multiplikatives Inverses ?

4 Allgemein: mit und d sind 1 mod d teilerfremd existiertd.h. ggT(, d) = 1 Wie findet man jedoch ein solches multiplikatives Inverses ?

5 Beispiele (multiplikative Inverse bestimmen): a) Wir berechnen zu = 11 mod 26 b) Wir berechnen zu = 17 mod 26

6 Euklidischer Algorithmus – zugrundeliegende Idee Bestimmung des ggT(792; 75):Die zugrundeliegende Idee: Sei a = q b + r mit a, b, q, r IN 0 0 r b-1 792 = 10 75 + 42 Dann ist ggT(a;b) = ggT(b;r). 75 = 1 42 + 33Im Beispiel gilt also: 42 = 1 33 + 9 ggT( 792; 75) = ggT(75; 42) = ggT ( 42; 33) 33 = 3 9 + 6= ggT (33; 9) = ggT (9; 6) 9 = 1 6 + 3 = ggT(6;3) = 3 6 = 2 3 + 0, also ist ggT(792; 42) = 3

7 Der erweiterte euklidischer Algorithmus Suche ganze Zahlen x und y mit der Eigenschaft, dass 3 = x 792 + y 75. 792 = 10 75 + 42 = 9 (792-10 75) – 5 75 = 9 792 - 95 75 75 = 1 42 + 33 = 4 42 – 5 (75 - 1 42) = 9 42 - 5 75 42 = 1 33 + 9 = 4 (42 – 1 33) – 1 33 = 4 42 - 5 33 33 = 3 9 + 6 = 9 – 1 (33 - 3 9) = 4 9 – 1 33 9 = 1 6 + 3 3 = 9 – 1 6 6 = 2 3

8 Aufgabe: Bestimme ganze Zahlen x und y mit 5 = x · 490 + y ·225.


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